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第 01 讲 函数(7 类热点题型讲练)
1．掌握函数的概念以及表示方法；(重点)
2．会求函数的值，并确定自变量的取值范围．(难点)
知识点01 函数的概念
函数的概念：一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有
唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数。其中x是自变量，y是因变量。
函数值： 是 的函数，如果当 ＝ 时 ＝ ，那么 叫做当自变量为 时的函数值.
知识点02 函数的三种表示方法
①列表法：自变量与应变量的值可直接读取，不易看出自变量与应变量之间规律；对应关系明确、实用，
但数据有限，规律不明显。
②解析法：能完整反映变化过程，但对应数值需要计算；全面、准确，但较抽象。
③图象法：只能表示函数关系，不能确切得出函数；直观、形象、规律明显，但不精确。
【微点拨】
1.判断两个变量之间是否是函数关系，应考虑以下三点：（1）有两个变量；（2）一个变量的变化随另一
个变量的变化而变化；（3）自变量每确定一个值，因变量都有唯一的值与之对应。
2.对于每个确定的自变量值，函数值是唯一的，但反过来，可以不唯一，即一个函数值对应的自变量可以
是多个.比如： 中，当y的值为4时， 的值为±2.题型01 函数的概念及图象识别
例题：（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级统考开学考试）如图所示的图象分别给出了 与 的对应关系，其
中表示 不是 的函数的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2023秋·辽宁沈阳·八年级沈阳市沈东初级中学校考开学考试）下列各图中表示 是 的函数的
是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023春·河南驻马店·八年级统考期末）下列不能表示y是x的函数的是（ ）
A． B． C． D．
题型02 函数的三种表示方法之列表法
例题：（2023春·八年级单元测试）下表反映的是某地区电的使用量x（千瓦时）与应缴电费y（元）之间
的关系：
用电量x（千瓦时） 1 2 3 4 5 …
应缴电费y（元） 0.55 1.1 1.65 2.2 2.75 …
下列说法不正确的是（ ）
A．x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量 B．用电量每增加1千瓦时，
电费增加0.55元
C．若用电量为8千瓦时，则应缴电费4.4元 D．若所缴电费为3.75元，则用电量为7千瓦时
【变式1】（2022春·陕西咸阳·七年级统考期末）下表反映的是某地区电的使用量x（千瓦·时）与应交电费
y（元）之间的关系，下列说法不正确的是（ ）用电量x（千瓦·时） 1 2 3 4 …
应交电费y（元） 0.55 1.1 1.65 2.2 …
A．x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量 B．用电量每增加1千瓦·时，
电费增加0.55元
C．若用电量为8千瓦·时，则应交电费4.4元 D．若所交电费为2.75元，则用电量为6千瓦·时
题型03 函数的三种表示方法之解析式
例题：（2023春·江西抚州·七年级统考期中）如图所示，在三角形 中，已知 ，高 ，动
点 由点 沿 向点 移动（不与点 重合）．设 的长为 ，三角形 的面积为 ，则 与 之间
的关系式 ．
【变式1】（2023春·山东济南·七年级校考阶段练习）甲同学的饭卡原有 元，在学校消费为周一到周五，
平均每天消费 元，他的卡内余额y(元)与在校天数 之间的关系式为 ．
【变式2】（2023春·河南焦作·九年级校考期中）为了更好地放松心情，上周六，小红妈妈开车带着小红一
家去郊游，出发前汽车油箱内有一定量的汽油，行驶过程中油箱中剩余油量 （升）与行驶时间 （小
时）的关系如下表，请根据表格回答下列问题：
时间 （小时）
油箱剩余油量 （升）
(1)在这个变化中，___________是自变量，___________是因变量；
(2)汽车行驶前油箱里有___________升汽油，汽车每小时耗油___________升；
(3)请写出 与 的关系式；
(4)当海车行驶 小时后，油箱中还剩余多少升汽油？
题型04 函数的三种表示方法之图象法
例题：（2023春·八年级课时练习）小明和妈妈2022年3月19日通过自驾去“花溪十里河滩”游玩，早上
他们从贵安新区出发，匀速行驶一段时间后，途中遇到堵车原地等待一会儿，然后他们加快速度行驶，按
时到达“十里河滩”．游玩结束后，他们自驾匀速返回．其中x表示小明和妈妈驾车从贵安新区出发后至回到贵安新区所用的时间，y表示他们离贵安新区的距离，下面能反映y与x的关系的大致图象是
（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2023春·八年级课时练习）在地球中纬度地区，从地面到高空大约 之间，气温随高度的
升高而下降，每升高 ，气温大约下降 ；高于 但不高于 ，气温几乎不再变化，某城市地
处中纬度地区，该市某日的地面气温为 ，设该城市距离地面高度为 处的气温为 ，
则 与 的函数图像是（ ）
A． B． C． D．
题型05 求自变量的取值范围
例题：（2023秋·湖南长沙·九年级校考开学考试）函数 中，自变量 的取值范围是 ．
【变式1】（2023春·山东滨州·八年级统考期末）函数 中自变量x的取值范围是 ．
【变式2】（2023春·吉林长春·八年级期中）函数 自变量 的取值范围是 ．
题型06 求自变量的值或函数值
例题：（2023春·湖南湘西·八年级统考期末）已知 ，那么 的值为 ．
【变式1】（2023春·河南洛阳·八年级洛阳市第二外国语学校校考期中）对于函数 ，当 时，
．
【变式2】（2023春·陕西榆林·七年级校考期中）如图，三角形底边的长为8，高为 ．(1)求三角形的面积 与高 之间的关系式；
(2)当三角形的高 从2变化到4时，它的面积 从______变化到______
题型07 动点问题画函数图象
例题：（2023春·四川宜宾·八年级统考期末）如图①，在长方形 中，动点P从点B出发，沿
方向匀速运动至点A停止，已知点P的运动速度为 ，设点P的运动时间为 ，
的面积为 ，若y关于t的函数图象如图②所示，则长方形 的面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2023春·河南郑州·七年级校考期中）已知动点H以每秒x厘米的速度沿图1的边框（边框拐角
处都互相垂直）按从 的路径匀速运动，相应的 的面积 关于时间 的
关系图象如图2，已知 ，则下列说法正确的有几个（ ）
①动点H的速度是 ；
②BC的长度为 ；
③b的值为14；
④在运动过程中，当 的面积是 时，点H的运动时间是 和 ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式2】（2023春·河南焦作·九年级校考期中）如图1，四边形 是长方形，动点 从点 出发，以
的速度沿着 运动至点 停止，记点 的运动时间为 的面积为 ，
其中 与 的关系如图2所示，那么下列说法错误的是( )
A． B．长方形 的周长为
C．当 时， D．当 时，
一、单选题
1．（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）圆面积公式 ，下列说法正确的是（ ）
A．S、 是变量，r是常量 B．S是变量， 、r是常量
C．r是变量，S、 是常量 D．S、r是变量， 是常量
2．（2023秋·广东中山·九年级校联考开学考试）下列图像中，不能表示 是 的函数的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023春·河南郑州·八年级校考开学考试）下面的三个问题中都有两个变量：
①三角形一边上的高一定时，三角形的面积S与该边的长度x的关系；
②汽车以30千米/时的速度行驶，它的路程y与时间x；
③树的高度为60厘米，每个月长高3厘米，x月后树的高度为y厘米．
其中，变量y与变量x之间的函数关系可以利用如图所示的图象表示的是（ ）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
4．（2023春·贵州毕节·七年级统考期末）早上，小明从家里步行去学校，出发一段时间后，小明妈妈发现
小明的作业本落在家里，便带上作业本骑车追赶，途中追上小明两人稍作停留，妈妈骑车返回，小明继续
步行前往学校，两人同时到达．设小明在途中的时间为x，两人之间的距离为y,则下列选项中的图象能大
致反映y与x之间关系的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023春·江苏南通·八年级校考阶段练习）某天早晨 ，小明从家骑自行车去上学，途中因自行车
发生故障，就地修车耽误了一段时间，修好车后继续骑行． 赶到了学校．如图所示的函数图象反映了
他骑车上学的整个过程．结合图象，判断下列结论正确的是（ ）
A．小明修车花了
B．小明家距离学校
C．小明修好车后花了 到达学校
D．小明修好车后骑行到学校的平均速度是
二、填空题
6．（2021秋·上海·八年级统考期中）已知函数 ，如果 ，那么 ．
7．（2023秋·全国·八年级专题练习）夏天马上到了，进入 月份后，温度 随着日期 的变化而逐渐升
高，在这个过程中，自变量是 ，因变量是 ．
8．（2022·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市萧红中学校考模拟预测）函数 中，自变量x的取值范围是
．
9．（2023春·福建宁德·八年级统考期中）如图，甲、乙两辆摩托车从相距 的A，B两地同时相向而行，分别表示甲、乙两辆摩托车离A地的距离 与行驶时问 之间的函数关系．下列结论正确的
是 ．（写出所有正确结论的序号）
①乙摩托车行驶的速度是 ；
②当 时，甲车的行驶路程超过 ；
③当 时，甲摩托车离A地的距离小于乙摩托车离A地的距离；
④甲、乙两车相距不超过 时， ．
10．（2023春·河南南阳·八年级统考期中）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图①，在长方形
中，动点P从点B 出发，沿 方向匀速运动至点A停止，已知点P的运动速度为 ，
设点P的运动时间为t(s)， 的面积为 ，若y关于t的函数图象如图②所示，则长方形 的
面积为 ．
三、解答题
11．（2023秋·四川成都·八年级四川省成都市第七中学初中学校校考开学考试）父亲告诉小明：“距离地
面越高，温度越低，”并给小明出示了表格．
距离地面高度（千
米）
温度（ ）
根据上表，父亲还给小明出了下面几个问题，你和小明一起回答；
(1)如果用 表示距离地面的高度，用 表示温度，写出 与 的关系式；
(2)你能计算出距离地面 千米的高空温度是多少吗？12．（2023春·山东青岛·七年级统考期中）某超市最近销售蓝莓，根据以往的销售经验，每天的售价与销
售量之间有如下关系：
5 5 …
每千克售价（元） 60 58 56 30
9 7 …
5 6 …
每天销售量（千克） 50 60 70 200
5 5 …
(1)表格中的自变量是__________，因变量是__________．
(2)设当售价从每千克60元下降了x元时，每天销售量为y千克，直接写出y与x之间的关系式；
(3)如果周六的销售量是170千克，那这天的售价是每千克多少元？
(4)如果蓝莓的成本价是30元/千克，某天的售价定为40元/千克，当天的销售利润是多少？
13．（2023春·贵州毕节·七年级校联考期中）甲、乙两地打电话月租费是每个月18元，其中每月所交的电
话费y（元）是随时间x（分钟）的变化而变化的，试根据下表列出的几组数据回答：
通话时间：x（分钟） 1 2 3 4 5 6
电话费y（元） 20
(1)自变量是 ，因变量是 ；
(2)写出这两个变量之间的关系式： ；
(3)若小明通话10分钟，则需付费为 元；
(4)一次小明通话后，需要付费26元，则小明通话多少分钟？
14．（2023秋·四川成都·八年级四川省成都市第七中学初中学校校考开学考试）“龟兔赛跑”的故事同学
们都非常熟悉，图中的线段 和折线 分别表示“龟兔赛跑”时乌龟和兔子的路程与时间的关系，
请你根据图中给出的信息，解决下列问题．(1)乌龟每分钟爬多少米？
(2)兔子醒来，以 米 分的速度跑向终点，结果还是比乌龟晚到了 分钟，
请你算算兔子中间停下睡觉用了多少分钟？
求出兔子和乌龟相距 米时 的值．
15．（2023春·河南平顶山·七年级统考期中）人的大脑所能记忆的内容是有限的，随着时间的推移，记忆
的东西会逐渐被遗忘，德国心理学家艾宾浩斯第一个发现了记忆遗忘规律．他根据自己得到的测试数据描
绘了一条曲线（如图所示），这就是非常有名的艾宾浩斯遗忘曲线，观察图像并回答下列问题：
(1)其中自变量是 ，因变量是 ；
(2)2小时后，记忆保持量大约是 ；
(3)图中 点表示的意义是 ；在学习后 内遗忘的速度最快；
(4)有研究表明，如果及时复习，一天后记忆能保持 ．根据遗忘曲线，如不复习，会有什么样的结果？
老师要求学生“堂清”、“日清”，请结合艾宾浩斯遗忘曲线谈谈你的看法．
