文档内容
1认识三角形（培优）
一、填空题
1．如图，△ABC中，D是BC的中点，连接AD，点G、E分别是AD、AC的中点，连接EG，
BC=6，则EG的值为 ．
2．已知三角形两边的长分别是3和7，如果此三角形第三边的长取最大的整数，则这个数是
.
3．在△ABC中，AE和BD分别是∠BAC和∠ABC的角平分线，且AE和BD相交于点F，∠BAC的
度数为50°，∠ABC的度数为76°；连接FC，则∠AFC的度数为 ．
4．在等腰三角形中，若底角等于50°，则顶角的度数是
5．在钝角△ABC中，AB=4，BC=8，若AC的取值范围是 ．
6．如图，AB为圆O的切线，点A为切点，OB交圆O于点C，点D在圆O上，连接AD、CD、
OA，若∠ADC=25°，则∠B的度数为 ．
二、单选题
7．如图，A岛在B岛的北偏东50°方向，C岛在B岛的北偏东80°方向，C岛在A岛的南偏东30°方
向，从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是（ ）度．
1 / 8A．50° B．60° C．70° D．80°
8．一张小凳子的结构如图所示，∠1=∠2，∠3=100°，则∠1=( )
A．40° B．50° C．60° D．无法确定
9．如图，一只手握住了一个三角形的一部分，则这个三角形是（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．以上都有可能
10．如图，在平面直角坐标系中，AB=BC，∠ABC=90°，A(3,0)，B(0,−1)，以AB为直角边在
AB边的下方作等腰直角△ABC，则点C的坐标是（ ）
A．(1,−3) B．(−3,−1) C．(1,−4) D．(−1,−4)
11．如图，△ABC≌△AED，点E在线段BC上，∠1=50°，则∠AED的大小为（ ）
2 / 8A．60° B．56° C．62° D．65°
三、解答题
12．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B=82°，∠C=40°，求∠DAE的度数．
四、计算题
13．如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点．
（1）若BC=10，EF=4，求△MEF的周长；
（2）若△MEF是等边三角形，求∠EBF的度数．
14．按要求完成下列各小题．
（1）在△ABC中，AB=8，BC=2，AC的长为偶数，求△ABC的周长；
（2）已知△ABC的三边长分别为3，5，a，化简|a+1|−|a−8|−2|a−2|．
15．设△ABC的面积为a．
（1）如图1，延长△ABC的各边得到△A B C ，且A B=AB，B C=BC，C A=CA，记
1 1 1 1 1 1
3 / 8△A B C 的面积为S ，则S =______．（用含a的式子表示）
1 1 1 1 1
（2）如图2，延长△ABC的各边得到△A B C ，且A B=2AB，B C=2BC，C A=2CA，记
1 1 1 1 1 1
△A B C 的面积为S ，则S =________．（用含a的式子表示）
1 1 1 2 2
（3）如图3，P为△ABC内一点，连接AP、BP、CP并延长分别交边BC、AC、AB于点D、E、
F，则把△ABC分成六个小三角形，其中四个小三角形面积已在图上标明，则计算得到△ABC的面积
a=________．
五、作图题
16．如图，一组等距的平行线上有一个半圆，点O为圆心，AB为直径，点A，B，C，D是半圆弧与
平行线的交点.只用无刻度的直尺作图.（保留作图痕迹）
（1）在图1中作出BD边上的中线CE.
（2）在图2中作∠BCD的角平分线CF.
六、综合题
17．
（1）已知：a(a+1)﹣(a2+b)=3，a(a+b)+b(b﹣a)=13，求代数式ab的值．
（2）已知等腰 △ ABC的两边分别为a、b，且a、b满足a2+b2﹣6a﹣14b+58=0，求 △ ABC的周
长．
18．如图，在△ABC中，AE是边BC上的高线．
（1）若AD是BC边上的中线，AE=3cm，S =12cm2．求DC的长．
ΔABC
（2）若AD是∠BAC的平分线，∠B=40°，∠C=50°，求∠DAE的大小．
19．图1是某种手机支架在水平桌面上放置的实物图，图2是其侧面的示意图，其中支杆
AB=BC=22cm，可绕支点C,B调节角度，DE为手机的支撑面，DE=20cm，支点A为DE的中点，
且DE⊥AB．
4 / 8（1）若支杆BC与桌面的夹角∠BCM=72°，求支点B到桌面的距离．
（2）在（1）的条件下，若支杆BC与AB的夹角∠ABC=112°，求支撑面下端E到桌面的距离．
七、实践探究题
20．综合与实践
折纸是一门古老而有趣的艺术，小明在课余时间进行了关于折纸中角的问题的探索．
初步探索
（1）如图1，四边形纸片ABCD中，AB∥DC,BC∥AD,∠C=100°，点E是线段DC上一点，
将纸片ABCD沿BE折叠，点C的对应点为点C'，测得∠EBC'=20°，求∠1和∠2的度数；
深入探究
（2）如图2，小明将纸片换成一张长方形纸片ABCD（∠A=∠B=∠C=∠D=90°），点E，F
分别是线段AD，BC上的一点，他先将纸片沿EF折叠，点A，B的对应点分别为点A',B'，A'B'与
线段AD交于点G，点H是线段DC上一点，再将纸片沿GH折叠，点D的对应点为点D'，使得点B'
恰好在GD'上，测得∠EFB'=62°，则∠DGH=______
5 / 8答案解析部分
1．【答案】1.5
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的中位线定理
2．【答案】9
【知识点】三角形三边关系
3．【答案】128°
【知识点】三角形内角和定理
4．【答案】80°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
5．【答案】4＜AC＜4√3或4√5＜AC＜12
【知识点】三角形三边关系；勾股定理
6．【答案】40°
【知识点】三角形内角和定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；切线的性质
7．【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；方位角
8．【答案】B
【知识点】余角、补角及其性质；三角形内角和定理
9．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；三角形相关概念
10．【答案】C
【知识点】坐标与图形性质；等腰三角形的概念
11．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；等腰三角形的性质
12．【答案】∠DAE的度数为21°．
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形的性质
13．【答案】（1）△MEF的周长为14；
（2）∠EBF=30°．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
14．【答案】（1）△ABC的周长为18
（2）|a+1|−|a−8|−2|a−2|=−3
【知识点】三角形三边关系；化简含绝对值有理数
15．【答案】（1）7a
6 / 8（2）19a
（3）315
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
16．【答案】（1）解：过点O作OE⊥BD于点E，连接CE，
即CE就是所求作的线段；
（2）解：过点O作OF⊥BD叫圆O于点F，作射线CF，即CF就是所求作的角平分线.
【知识点】垂径定理；尺规作图-作角的平分线
17．【答案】（1）解：a(a+1)﹣(a2+b)=3，
a2+a﹣a2﹣b=3，
a﹣b=3，
两边同时平方得：a2﹣2ab+b2=9①，
a(a+b)+b(b﹣a)=13，
a2+ab+b2﹣ab=13，
a2+b2=13②，
把②代入①得：13﹣2ab=9，
13﹣9=2ab，
∴ab=2；
（2）解：a2+b2﹣6a﹣14b+58=0，
7 / 8a2﹣6a+9+b2﹣14b+49=0，
(a﹣3)2+(b﹣7)2=0，
∴a﹣3=0，b﹣7=0，
∴a=3，b=7，
当3为腰时，三边为3，3，7，因为3+3＜7，不能构成三角形，此种情况不成立，
当7为腰时，三边为7，7，3，能构成三角形，此时△ABC的周长=7+7+3=17．
【知识点】代数式求值；三角形三边关系；数学思想；非负数之和为0
18．【答案】（1）解：∵AE=3cm，S =12cm2，
ΔABC
∴BC=12×2÷3=8（cm），
∵AD是BC边上的中线，
1
∴DC= BC=4cm
2
（2）解：∵∠B=40°，∠C=50°，
∴∠BAC=90°，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD=45°，
∠ADE是△ABD的一个外角，
∴∠ADE=∠B+∠BAD=40°+45°=85°，
在直角三角形ADE中，∠DAE=90°−85°=5°
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的外角性质；直角三角形的性质
19．【答案】（1）支点B到桌面的距离20.9cm
（2）支撑面下端E到桌面的距离为27.3cm
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；锐角三角函数的定义；解直角三角形的其他实际
应用
20．【答案】（1）40°，60°；（2）17°
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）；对顶角及其性质
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