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第 01 讲 函数(7 类热点题型讲练)
1．掌握函数的概念以及表示方法；(重点)
2．会求函数的值，并确定自变量的取值范围．(难点)
知识点01 函数的概念
函数的概念：一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有
唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数。其中x是自变量，y是因变量。
函数值： 是 的函数，如果当 ＝ 时 ＝ ，那么 叫做当自变量为 时的函数值.
知识点02 函数的三种表示方法
①列表法：自变量与应变量的值可直接读取，不易看出自变量与应变量之间规律；对应关系明确、实用，
但数据有限，规律不明显。
②解析法：能完整反映变化过程，但对应数值需要计算；全面、准确，但较抽象。
③图象法：只能表示函数关系，不能确切得出函数；直观、形象、规律明显，但不精确。
【微点拨】
1.判断两个变量之间是否是函数关系，应考虑以下三点：（1）有两个变量；（2）一个变量的变化随另一
个变量的变化而变化；（3）自变量每确定一个值，因变量都有唯一的值与之对应。
2.对于每个确定的自变量值，函数值是唯一的，但反过来，可以不唯一，即一个函数值对应的自变量可以
是多个.比如： 中，当y的值为4时， 的值为±2.题型01 函数的概念及图象识别
例题：（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级统考开学考试）如图所示的图象分别给出了 与 的对应关系，其
中表示 不是 的函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用函数的定义，对于给定的 的值， 都有唯一的值与其对应，进而判断得出结论．
【详解】解：A、由图象可知，对于给定的 的值， 都有2个值与其对应，故此选项能表示 不是 的函
数，符合题意；
B、由图象可知，对于给定的 的值， 都有唯一的值与其对应，故此选项能表示 是 的函数，不符合题
意；
C、由图象可知，对于给定的 的值， 都有唯一的值与其对应，故此选项能表示 是 的函数，不符合题
意；
D、由图象可知，对于给定的 的值， 都有唯一的值与其对应，故此选项能表示 是 的函数，不符合题
意；
故选：A．
【点睛】本题考查了函数的定义，在一个变化过程中有两个变量 和 ，对于给定的 的值， 都有唯一
的值与其对应，那么就说 是 的函数， 是自变量，熟练掌握此定义是解题的关键．
【变式1】（2023秋·辽宁沈阳·八年级沈阳市沈东初级中学校考开学考试）下列各图中表示 是 的函数的
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据函数的定义可知，满足对于 的每一个取值， 都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可
确定函数的图象．
【详解】A、对于每一个 的值，不都是有唯一一个 值与其对应，所以 不是 的函数，故本选项不符合
题意；
B、对于每一个 的值，不都是有唯一一个 值与其对应，所以 不是 的函数，故本选项不符合题意；C、对于每一个 的值，不都是有唯一一个 值与其对应，所以 不是 的函数，故本选项不符合题意；
D、对于每一个 的值，都有唯一一个 值与其对应，所以 是 的函数，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了函数的定义．解题的关键是掌握函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量 ， ，
对于 的每一个取值， 都有唯一确定的值与之对应，则 是 的函数， 叫自变量．
【变式2】（2023春·河南驻马店·八年级统考期末）下列不能表示y是x的函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据函数的定义，一个x只能对应一个y，函数的表示方法有图象法，列表法和关系式法，根据
定义判断即可．
【详解】解：A选项是列表法表示的函数，，一个x只对应了一个y，所以y是x的函数，故本选项不符合
题意；
B选项从图象上看，一个x对应了两个y，不符合函数定义，故本选项符合题意；
C选项从图象上看，一个x对应了一个y，符合函数定义，故本选项不符合题意；
D选项是关系式法表示的函数，一个x对应了一个y，符合函数定义，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了函数的定义，掌握函数的概念是解题关键．
题型02 函数的三种表示方法之列表法
例题：（2023春·八年级单元测试）下表反映的是某地区电的使用量x（千瓦时）与应缴电费y（元）之间
的关系：
用电量x（千瓦时） 1 2 3 4 5 …
应缴电费y（元） 0.55 1.1 1.65 2.2 2.75 …
下列说法不正确的是（ ）
A．x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量 B．用电量每增加1千瓦时，
电费增加0.55元
C．若用电量为8千瓦时，则应缴电费4.4元 D．若所缴电费为3.75元，则用电量为7千瓦时
【答案】D
【分析】根据表格数据可得每度电的费用及二者的函数关系，据此求解即可．
【详解】解：A、由于应交电费随用电量的增加而增大，故x、y都是变量，x是自变量，y是因变量，故选
项正确，不符合题意；
B、根据表格中的数据可知：用电量每增加1千瓦时，电费增加0.55元，故选项正确，不符合题意；C、用电量为8千瓦时时，应交电费=0.55×8=4.4（元），故选项正确，不符合题意；
D、由表可知：所交电费为3.85元时，用电量为7千瓦时，故选项错误，符合题意；
故选D．
【点睛】题目主要考查根据表格得出相应的函数关系，理解题意，由表格得出相关信息是解题关键．
【变式1】（2022春·陕西咸阳·七年级统考期末）下表反映的是某地区电的使用量x（千瓦·时）与应交电费
y（元）之间的关系，下列说法不正确的是（ ）
用电量x（千瓦·时） 1 2 3 4 …
应交电费y（元） 0.55 1.1 1.65 2.2 …
A．x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量 B．用电量每增加1千瓦·时，
电费增加0.55元
C．若用电量为8千瓦·时，则应交电费4.4元 D．若所交电费为2.75元，则用电量为6千瓦·时
【答案】D
【分析】根据表格数据可得每度电的费用及二者的函数关系，据此求解即可．
【详解】解：A、由于应交电费随用电量的增加而增大，故x、y都是变量，x是自变量，y是因变量，故选
项正确，不符合题意；
B、根据表格中的数据可知：用电量每增加1千瓦时，电费增加0.55元，故选项正确，不符合题意；
C、用电量为8千瓦时时，应交电费=0.55×8=4.4（元），故选项正确，不符合题意；
D、由表可知：所交电费为2.75元时，用电量为5千瓦时，故选项错误，符合题意；
故选D．
【点睛】题目主要考查根据表格得出相应的函数关系，理解题意，由表格得出相关信息是解题关键．
题型03 函数的三种表示方法之解析式
例题：（2023春·江西抚州·七年级统考期中）如图所示，在三角形 中，已知 ，高 ，动
点 由点 沿 向点 移动（不与点 重合）．设 的长为 ，三角形 的面积为 ，则 与 之间
的关系式 ．
【答案】
【分析】根据三角形的面积公式，可得答案．
【详解】解：由题意，得
．故答案为： ．
【点睛】本题考查了函数关系式，利用三角形的面积是解题关键．
【变式1】（2023春·山东济南·七年级校考阶段练习）甲同学的饭卡原有 元，在学校消费为周一到周五，
平均每天消费 元，他的卡内余额y(元)与在校天数 之间的关系式为 ．
【答案】
【分析】用208减去 天内的消费，即可确定函数关系式．
【详解】解：依题意，他的卡内余额y(元)与在校天数 之间的关系式为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了函数关系式，理解题意列出关系式是解题的关键．
【变式2】（2023春·河南焦作·九年级校考期中）为了更好地放松心情，上周六，小红妈妈开车带着小红一
家去郊游，出发前汽车油箱内有一定量的汽油，行驶过程中油箱中剩余油量 （升）与行驶时间 （小
时）的关系如下表，请根据表格回答下列问题：
时间 （小时）
油箱剩余油量 （升）
(1)在这个变化中，___________是自变量，___________是因变量；
(2)汽车行驶前油箱里有___________升汽油，汽车每小时耗油___________升；
(3)请写出 与 的关系式；
(4)当海车行驶 小时后，油箱中还剩余多少升汽油？
【答案】(1)时间 ；油箱剩余油量
(2) ，
(3)
(4) 升
【分析】（1）根据函数的定义，即可求解．
（2）读表并找规律可得到结果；
（3）将找出的规律用包含 、 的式子表示出来即可；
（4）汽车行驶 小时代入（2）中即可得出结果．
【详解】（1）解：依题意，时间 是自变量；油箱剩余油量 是因变量，
故答案为：时间 ；油箱剩余油量 ；
（2）解：当 时，汽车有油 升，故行驶前油箱有 升汽油，
观察表发现，每行驶 小时，油箱中的油少 升，故汽车每小时耗油 升；
故答案为： ； ；
（3）解：汽车每小时耗油 升，则 小时耗油 升，
则： ；（4）当 时，
，
即当汽车行驶 小时后，油箱中剩余油量为 升．
【点睛】本题考查用表格表示函数关系，注意，在实际应用中，还需要考虑字母在实际生活中的意义．
题型04 函数的三种表示方法之图象法
例题：（2023春·八年级课时练习）小明和妈妈2022年3月19日通过自驾去“花溪十里河滩”游玩，早上
他们从贵安新区出发，匀速行驶一段时间后，途中遇到堵车原地等待一会儿，然后他们加快速度行驶，按
时到达“十里河滩”．游玩结束后，他们自驾匀速返回．其中x表示小明和妈妈驾车从贵安新区出发后至
回到贵安新区所用的时间，y表示他们离贵安新区的距离，下面能反映y与x的关系的大致图象是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据匀速行驶路程逐渐增加，堵车时路程不变，加速行驶时路程迅速增加，返回时路程逐渐减少，
可得答案．
【详解】解：A．匀速行驶路程逐渐增加，堵车时路程不变，加速行驶时路程迅速增加，返回时路程逐渐
减少，故A符合题意；
B．加速行驶时路程应迅速增加，故B不符合题意；
C．参观时路程不变，故C不符合题意；
D．返回时路程逐渐减少，故D错误；
故选：A．
【点睛】本题考查了函数图象，理解题意是解题关键：匀速行驶路程逐渐增加，堵车时路程不变，加速行
驶时路程迅速增加，返回时路程逐渐减少．
【变式1】（2023春·八年级课时练习）在地球中纬度地区，从地面到高空大约 之间，气温随高度的
升高而下降，每升高 ，气温大约下降 ；高于 但不高于 ，气温几乎不再变化，某城市地
处中纬度地区，该市某日的地面气温为 ，设该城市距离地面高度为 处的气温为 ，
则 与 的函数图像是（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【分析】分别求出 和 解析式即可解答．
【详解】解：由题意可知，当高度x=0时，y=20℃；
当x=11时，y=20-11×6=-46℃，
∴y=-6x+20（ ）
当 时，y=-46
根据一次函数的性质可知，只有B选项的图像符合题意．
故答案为：B．
【点睛】本题主要考查了运用函数图像描述实际问题的能力，根据题意确定函数解析式成为解答本题的关
键．
题型05 求自变量的取值范围
例题：（2023秋·湖南长沙·九年级校考开学考试）函数 中，自变量 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据二次根式有意义，被开方数非负，即可求解．
【详解】解：根据题意，得 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查确定函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表
达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为 ；（3）当
函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
【变式1】（2023春·山东滨州·八年级统考期末）函数 中自变量x的取值范围是 ．
【答案】x为任意实数
【分析】根据式子的特点可知自变量x的取值范围是全体实数．
【详解】解：根据式子的特点可知自变量x的取值范围是全体实数，
故答案为：x为任意实数．
【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：①当函
数解析式是整式时，字母可取全体实数；②当函数解析式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当函数
解析式是二次根式时，被开方数为非负数．【变式2】（2023春·吉林长春·八年级期中）函数 自变量 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据分母不为 可得： ，然后进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得： ，
解得： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查函数自变量的取值范围，熟练掌握分母不为 是解题的关键．
题型06 求自变量的值或函数值
例题：（2023春·湖南湘西·八年级统考期末）已知 ，那么 的值为 ．
【答案】4
【分析】理解函数定义，代入求解．
【详解】解： ．
故答案为：4
【点睛】本题考查求函数值，理解函数的相关定义是解题的关键．
【变式1】（2023春·河南洛阳·八年级洛阳市第二外国语学校校考期中）对于函数 ，当 时，
．
【答案】
【分析】直接把 代入函数 中求出y的值即可．
【详解】解：在 中，当 时， ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了求一个函数的函数值，正确把自变量的值代入函数关系式中进行求解是解题的关
键．
【变式2】（2023春·陕西榆林·七年级校考期中）如图，三角形底边的长为8，高为 ．
(1)求三角形的面积 与高 之间的关系式；(2)当三角形的高 从2变化到4时，它的面积 从______变化到______
【答案】(1)
(2)8，16
【分析】（1）根据三角形面积计算公式求解；
（2）将x值代入函数关系式，求得y值得解．
【详解】（1）解：因为三角形的面积 底 高，
所以三角形的面积为 ．
所以 与 之间的关系式为 ．
（2）解： 时， ；
时， ；
∴当三角形的高 从2变化到4时，它的面积 从8变化到16．
【点睛】本题考查三角形面积计算，确定函数解析式，求函数值；掌握面积公式是解题的关键．
题型07 动点问题画函数图象
例题：（2023春·四川宜宾·八年级统考期末）如图①，在长方形 中，动点P从点B出发，沿
方向匀速运动至点A停止，已知点P的运动速度为 ，设点P的运动时间为 ，
的面积为 ，若y关于t的函数图象如图②所示，则长方形 的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由函数图象得：当 时，点P到达点C；当 时，点P到达点D，然后求出 和 的长即
可．
【详解】解：由函数图象得：当 时，点P到达点C；当 时，点P到达点D；
∴ ， ，
∴长方形 的面积为 ，
故选：C．【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象，根据y与x的函数图象求出长方形的长和宽是解决本题的
关键．
【变式1】（2023春·河南郑州·七年级校考期中）已知动点H以每秒x厘米的速度沿图1的边框（边框拐角
处都互相垂直）按从 的路径匀速运动，相应的 的面积 关于时间 的
关系图象如图2，已知 ，则下列说法正确的有几个（ ）
①动点H的速度是 ；
②BC的长度为 ；
③b的值为14；
④在运动过程中，当 的面积是 时，点H的运动时间是 和 ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】先根据点H的运动，得出当点H在不同边上时 的面积变化，并对应图2得出相关边的边长，
最后经过计算判断各个说法．
【详解】解：当点H在 上时，如图所示，
，
，
此时三角形面积随着时间增大而逐渐增大，
当点H在 上时，如图所示， 是 的高，且 ，
∴ ，此时三角形面积不变，
当点H在 上时，如图所示， 是 的高，C，D，P三点共线，，点H从点C点D运动， 逐渐减小，故三角形面积不断减小，
当点H在 上时，如图所示， 是 的高，且 ，
，此时三角形面积不变，
当点H在 时，如图所示，
，点H从点E向点F运动， 逐渐减小，故三角形面积不断减小直至零，
对照图2可得 时，点H在 上，
，
∴ ， ，
∴动点H的速度是 ，
故①正确，
时，点H在 上，此时三角形面积不变，
∴动点H由点B运动到点C共用时 ，
∴ ，
故②错误，
，点H在 上， ，
∴动点H由点D运动到点E共用时 ，
∴ ，
故③错误．
当 的面积是 时，点H在 上或 上，点H在 上时， ，
解得 ，
点H在 上时，
，
解得 ，
∴ ，
∴从点C运动到点H共用时 ，
由点A到点C共用时 ，
∴此时共用时 ，
故④错误．
故选：A．
【点睛】本题考查动点函数的图象，掌握三角形的面积公式，函数图象的性质，理解函数图象上的点表示
的意义是解决本题的关键．
【变式2】（2023春·河南焦作·九年级校考期中）如图1，四边形 是长方形，动点 从点 出发，以
的速度沿着 运动至点 停止，记点 的运动时间为 的面积为 ，
其中 与 的关系如图2所示，那么下列说法错误的是( )
A． B．长方形 的周长为
C．当 时， D．当 时，
【答案】D
【分析】通过图②发现： 、 、 时， 的面积为 的变化趋势发生变化得到长方形的长和宽，从
而判断出 、 选项正确； 秒时点 在 上运动根据三角形面积公式可判断 正确； 时，
点 可能在 上，也可能在 上，求出此时的 值即可．
【详解】解： 时， 的面积 越来越大，
时，动点 在 上运动，
．
时， 的面积 不变，
时，动点 在 上运动，
．A选项正确，不符合题意．
长方形 的周长 ，
B选项正确，不符合题意．
，
当 秒时，动点 在 上运动， ，
C选项正确，不符合题意．
，
∴ 时，点 在 或 上，
当点 在 上时，
，
解得： ，
当点 在 上时，
，
解得： ，
平方厘米时， 或 ．
D选项错误，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查动点问题的函数图象，三角形的面积公式，进行分类讨论是解决此类问题常用的方法．
一、单选题
1．（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）圆面积公式 ，下列说法正确的是（ ）A．S、 是变量，r是常量 B．S是变量， 、r是常量
C．r是变量，S、 是常量 D．S、r是变量， 是常量
【答案】D
【分析】在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量，由此即可判断．
【详解】解：A、 是常量， 是变量，故不符合题意；
B、 是变量，故不符合题意；
C、 是变量，故不符合题意；
D、S、r是变量， 是常量，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查常量，变量，解题的关键是掌握常量，变量的定义．
2．（2023秋·广东中山·九年级校联考开学考试）下列图像中，不能表示 是 的函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据函数的概念，对于自变量 的每一个值， 都有唯一的值和它对应，判断即可．
【详解】解：A、对于自变量 的每一个值， 都有唯一的值和它对应，所以能表示 是 的函数，故A不
符合题意；
B、对于自变量 的每一个值， 都有唯一的值和它对应，所以能表示 是 的函数，故B不符合题意；
C、对于自变量 的每一个值， 都有唯一的值和它对应，所以能表示 是 的函数，故C不符合题意；
D、对于自变量 的每一个值， 不是有唯一的值和它对应，所以不能表示 是 的函数，故D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了函数的概念，熟练掌握函数的概念是解题的关键．
3．（2023春·河南郑州·八年级校考开学考试）下面的三个问题中都有两个变量：
①三角形一边上的高一定时，三角形的面积S与该边的长度x的关系；
②汽车以30千米/时的速度行驶，它的路程y与时间x；
③树的高度为60厘米，每个月长高3厘米，x月后树的高度为y厘米．
其中，变量y与变量x之间的函数关系可以利用如图所示的图象表示的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】A
【分析】①根据三角形的面积公式判断即可；②根据“路程 速度 时间”判断即可；③根据“树高 原高
度 后来所长的高度”判断即可．
【详解】解：三角形的面积 与该边的长度 的关系为 ， 一定，故①符合题意；
汽车以 千米/时的速度行驶，它的路程 与时间 的关系式为 ，故②符合题意；
树的高度为 厘米，每个月长高 厘米， 月后树的高度为 厘米， ，故③不符合题意；
所以变量 与变量 之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是①②．
故选： ．
【点睛】本题考查了利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象表示的意义，理解问题的过程，就
能够通过图象得到函数问题的相应解决．
4．（2023春·贵州毕节·七年级统考期末）早上，小明从家里步行去学校，出发一段时间后，小明妈妈发现
小明的作业本落在家里，便带上作业本骑车追赶，途中追上小明两人稍作停留，妈妈骑车返回，小明继续
步行前往学校，两人同时到达．设小明在途中的时间为x，两人之间的距离为y,则下列选项中的图象能大
致反映y与x之间关系的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】对整个过程分段：小明出发至妈妈出门追，妈妈出门追至追上，停留，两人分开至同时到达，分
别分析讨论．
【详解】由题意可得，小明从家出发到妈妈出门追这段时间，y随x的增大而增大，妈妈出门追至追上小
明这段时间，y随x的增大而减小，停留阶段，y随x的增大不变，小明和妈妈分别去学校、回家的这段时
间，y随x的增大而增大；
故选：B．
【点睛】本题考查根据函数图象获取信息，将实际运动情况分段考虑，与图象对应是解题的关键．
5．（2023春·江苏南通·八年级校考阶段练习）某天早晨 ，小明从家骑自行车去上学，途中因自行车
发生故障，就地修车耽误了一段时间，修好车后继续骑行． 赶到了学校．如图所示的函数图象反映了
他骑车上学的整个过程．结合图象，判断下列结论正确的是（ ）
A．小明修车花了B．小明家距离学校
C．小明修好车后花了 到达学校
D．小明修好车后骑行到学校的平均速度是
【答案】A
【分析】根据函数图象可知小明家距离学校 ， 为修车时间， 为修好车骑车
去学校，根据以上信息进行分析计算即可判断．
【详解】解：根据图象 为修车时间 分钟，故A正确；
小明家距离学校 ，故B错误；
小明修好车后花了 分钟到达学校，故C错误；
小明修好车后骑行到学校的平均速度是 ，故D错误；
故选：A．
【点睛】本题考查函数图象的识别，正确理解函数图象的实际意义是解题的关键．
二、填空题
6．（2021秋·上海·八年级统考期中）已知函数 ，如果 ，那么 ．
【答案】
【分析】把 代入 求解．
【详解】解：把 代入 得 ，
解得 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查一次函数的性质，解题关键是熟练掌握一次函数的性质．
7．（2023秋·全国·八年级专题练习）夏天马上到了，进入 月份后，温度 随着日期 的变化而逐渐升
高，在这个过程中，自变量是 ，因变量是 ．
【答案】 日期 温度
【分析】由自变量和因变量的概念，即可判断．
【详解】解：∵温度随着日期的变化而变化，
∴自变量是日期，因变量是温度．
故答案为：日期，温度．
【点睛】本题考查了自变量，因变量，关键是掌握自变量，因变量的定义．
8．（2022·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市萧红中学校考模拟预测）函数 中，自变量x的取值范围是
．
【答案】
【分析】根据分式有意义的条件，“分母不能为0”，可得， ，求解即可．
【详解】解：要使得函数 有意义，则
解得故答案为：
【点睛】此题考查了函数自变量的取值范围以及分式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握相关基础知识．
9．（2023春·福建宁德·八年级统考期中）如图，甲、乙两辆摩托车从相距 的A，B两地同时相向而行，
分别表示甲、乙两辆摩托车离A地的距离 与行驶时问 之间的函数关系．下列结论正确的
是 ．（写出所有正确结论的序号）
①乙摩托车行驶的速度是 ；
②当 时，甲车的行驶路程超过 ；
③当 时，甲摩托车离A地的距离小于乙摩托车离A地的距离；
④甲、乙两车相距不超过 时， ．
【答案】①②④
【分析】先求出甲乙的速度，再逐项分析即可．
【详解】由图可得，甲摩托车行驶的速度是 ,
乙摩托车行驶的速度是 ，故①正确；
当 时，甲车的行驶路程超过 ，故②正确；
当 时，甲摩托车离A地的距离 ，乙摩托车离A地的距离 ，即甲摩托车
离A地的距离等于乙摩托车离A地的距离；
由图可得，当 时，甲摩托车离A地的距离大于乙摩托车离A地的距离；故③错误；
设 小时时甲、乙两车相距为 ，则 ，解得 或 ，
故甲、乙两车相距不超过 时， ，故④正确；
综上，结论正确的是①②④；
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了函数图象，主要利用了路程、速度、时间三者之间的关系，准确识图获取必要的信息
是解题的关键．
10．（2023春·河南南阳·八年级统考期中）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图①，在长方形
中，动点P从点B 出发，沿 方向匀速运动至点A停止，已知点P的运动速度为 ，设点P的运动时间为t(s)， 的面积为 ，若y关于t的函数图象如图②所示，则长方形 的
面积为 ．
【答案】54
【分析】根据 的面积只与点P的位置有关，结合图2求出长方形的长和宽,再根据矩形面积公式计算
即可解答．
【详解】解：∵动点P从点B 出发，沿 方向匀速运动至点A停止，点P的运动速度为 ，
当点P在 之间运动时， 的面积随时间x增大而增大，
由图②知，当 时，点P到达点C处，
∴ ，
当点P在 之间运动时， 的面积不变，
由图②知，点P从点C运动到点D所用时间为 ，
∴ ，
∴长方形 的面积为 ；
故答案为：54．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是根据y与x的函数图象求出长方形的长和宽．
三、解答题
11．（2023秋·四川成都·八年级四川省成都市第七中学初中学校校考开学考试）父亲告诉小明：“距离地
面越高，温度越低，”并给小明出示了表格．
距离地面高度（千
米）
温度（ ）
根据上表，父亲还给小明出了下面几个问题，你和小明一起回答；
(1)如果用 表示距离地面的高度，用 表示温度，写出 与 的关系式；
(2)你能计算出距离地面 千米的高空温度是多少吗？
【答案】(1)
(2)距离地面 千米的高空温度是
【分析】 结合表格数据即可求得 与 的关系式；
将 代入 中所求关系式求得 的值即可．【详解】（1）解：由表格数据可得，高度每增加 千米，温度就下降 ，
则 ；
（2）当 时， ，
即距离地面 千米的高空温度是 ．
【点睛】本题考查函数关系式，结合表格数据求得函数关系式是解题的关键．
12．（2023春·山东青岛·七年级统考期中）某超市最近销售蓝莓，根据以往的销售经验，每天的售价与销
售量之间有如下关系：
5 5 …
每千克售价（元） 60 58 56 30
9 7 …
5 6 …
每天销售量（千克） 50 60 70 200
5 5 …
(1)表格中的自变量是__________，因变量是__________．
(2)设当售价从每千克60元下降了x元时，每天销售量为y千克，直接写出y与x之间的关系式；
(3)如果周六的销售量是170千克，那这天的售价是每千克多少元？
(4)如果蓝莓的成本价是30元/千克，某天的售价定为40元/千克，当天的销售利润是多少？
【答案】(1)每千克售价，每天销量
(2)
(3)36元
(4)1500元
【分析】（1）根据表格内容可求解此题；
（2）由題意根据每千克售价每下降1元每天销售量就增加5千克进行求解；
（3）将 代入（2）题结果并进行计算；
（4）根据当天的销售利润等于每千克的利润乘以销售的千克数进行代入计算．
【详解】（1）解：由题意得，自变量是每千克售价，因变量是每天销量，
故答案为：每千克售价，每天销量；
（2）解：由题意得售价每下降1元销售量就增大5千克，
∴当售价从每千克60元下降了x元时，每天销售量为
即y与x之间的关系式为 ；
（3）解：当 时， ，
解得： ，
∴ ，
即这天的售价是每千克36元；
（4）解：由（2）题结果可得，当 时，
，∴ （元）
答：这天的销售利润是1500元．
【点睛】此题考查了运用函数解决实际问题的能力，关键是能准确理解题目间数量关系，并运用函数知识
进行求解．
13．（2023春·贵州毕节·七年级校联考期中）甲、乙两地打电话月租费是每个月18元，其中每月所交的电
话费y（元）是随时间x（分钟）的变化而变化的，试根据下表列出的几组数据回答：
通话时间：x（分钟） 1 2 3 4 5 6
电话费y（元） 20
(1)自变量是 ，因变量是 ；
(2)写出这两个变量之间的关系式： ；
(3)若小明通话10分钟，则需付费为 元；
(4)一次小明通话后，需要付费26元，则小明通话多少分钟？
【答案】(1)通话时间，电话费
(2)
(3)22
(4)小明通话20分钟
【分析】（1）根据图表可以知道：电话费随通话时间的变化而变化，因而通话时间是自变量、电话费是
因变量；
（2）根据表格中的数据可知通话时间每增加1分钟，费用增加 元，由此即可写出对应的关系式；
（3）把 代入（2）中所求关系式中进行求解即可；
（4）在关系式中令 即可求得x的值，即小明的通话时间．
【详解】（1）解：由表格中的数据可知电话费随通话时间的变化而变化，
∴通话时间是自变量、电话费是因变量，
故答案为：通话时间，电话费；
（2）解：由题意得， ，
故答案为： ；
（3）解：在 中，当 时， ，
∴小明通话10分钟，则需付费为22元，
故答案为：22；
（4）解：在 中，当 时，则 ，
解得 ，
∴小明通话20分钟．
【点睛】本题主要考查了用关系式表示变量之间的关系，求函数值和自变量的值，因变量和自变量的定义
等等，正确根据表格中的数据表示出通话时间与电话费之间的关系式是解题的关键．14．（2023秋·四川成都·八年级四川省成都市第七中学初中学校校考开学考试）“龟兔赛跑”的故事同学
们都非常熟悉，图中的线段 和折线 分别表示“龟兔赛跑”时乌龟和兔子的路程与时间的关系，
请你根据图中给出的信息，解决下列问题．
(1)乌龟每分钟爬多少米？
(2)兔子醒来，以 米 分的速度跑向终点，结果还是比乌龟晚到了 分钟，
请你算算兔子中间停下睡觉用了多少分钟？
求出兔子和乌龟相距 米时 的值．
【答案】(1)乌龟每分钟爬 （米）
(2)i)兔子中间停下睡觉用了47.5分钟，ii) 或
【分析】（1）利用乌龟始终运动，中间没有停留，而兔子中间有休息的时刻，即可得出折线 的意义
和全程的距离；根据图象中点 、 实际意义可得速度；
（2） 利用兔子的速度，求出兔子走完全程的时间，再求解即可．
分兔子睡觉前相距 米时和兔子睡觉后相距 米时两种情况解答即可．
【详解】（1）解： 乌龟是一直跑的而兔子中间有休息的时刻，
折线 表示赛跑过程中兔子的路程与时间的关系；
由图象可知：赛跑的全过程为 米；
结合图象可得：
兔子在起初每分钟跑 （米），乌龟每分钟爬 （米）．
（2）解： 兔子跑了 米停下睡觉，用了 分钟，
剩余 米，所用的时间为： （分钟），
兔子睡觉用了： （分钟）．
所以兔子中间停下睡觉用了 分钟．
兔子睡觉前相距 米时，
，
兔子睡觉后相距 米时，
，．
综上所述： 或 ．
【点睛】本题考查用函数图象表示变量之间的关系，结合题意弄清函数图象中每个点的实际意义是解题的
关键．
15．（2023春·河南平顶山·七年级统考期中）人的大脑所能记忆的内容是有限的，随着时间的推移，记忆
的东西会逐渐被遗忘，德国心理学家艾宾浩斯第一个发现了记忆遗忘规律．他根据自己得到的测试数据描
绘了一条曲线（如图所示），这就是非常有名的艾宾浩斯遗忘曲线，观察图像并回答下列问题：
(1)其中自变量是 ，因变量是 ；
(2)2小时后，记忆保持量大约是 ；
(3)图中 点表示的意义是 ；在学习后 内遗忘的速度最快；
(4)有研究表明，如果及时复习，一天后记忆能保持 ．根据遗忘曲线，如不复习，会有什么样的结果？
老师要求学生“堂清”、“日清”，请结合艾宾浩斯遗忘曲线谈谈你的看法．
【答案】(1)时间，记忆保持量
(2)
(3)记忆9小时后记忆保持量约为 ；
(4)见解析
【分析】（1）根据自变量和因变量的定义分析判断即可；
（2）观察艾宾浩斯遗忘曲线，当横坐标在 时，纵坐标在 处，即可获得答案；
（3）对照艾宾浩斯遗忘曲线的横纵轴代表的意义可得出结论。结合图像可知， 内曲线下降的最快，
即可获得答案；
（4）可以结合我们实际学习生活回答即可．
【详解】（1）解：由图像可知，其中自变量是时间，因变量是记忆保持量．
故答案为：时间，记忆保持量；
（2）由图像可知，2小时后，记忆保持量大约是 ．
故答案为： ；
（3）结合图像可知，
图中 点表示的意义是：记忆9小时后记忆保持量约为 ；在学习后 内遗忘的速度最快．
故答案为：记忆9小时后记忆保持量约为 ； ；
（4）如不复习，会很快忘掉很多，只能保持大约 的记忆保持量；老师要求学生“堂清”、“日清”，
提示我们学习后要及时复习．
【点睛】本题主要考查了函数的基本概念、函数图像的意义以及应用等知识，理解题意，通过艾宾浩斯遗
忘曲线获得所需信息是解题关键．
