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专题 5.3 分式方程
判断分式方程
【例1】下列方程中不是分式方程的是
A． B． C． D．
【解答】解： 、分母中含未知数，是分式方程，故此选项不符合题意；
、分母中含未知数，是分式方程，故此选项不符合题意；
、分母中不含未知数，不是分式方程，故此选项符合题意；
、分母中含未知数，是分式方程，故此选项不符合题意．
故选： ．
【变式训练1】下列关于 的方程：① ，② ，③ ，④
中，分式方程有
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【解答】解：关于 的方程，② ，③ 中，分母中都含有字母，都是
分式方程；
关于 的方程① ，④ 中，分母中不含未知数，故不是分式方程．
综上所述，是分式方程的有②、③，共2个．
故选： ．
【变式训练2】下列方程：① ；② ，③ ，④ ，是分式方程
的有
A．①② B．②③ C．③④ D．②③④
【解答】解：①的方程分母中不含未知数，故不是分式方程；
②③④的方程分母中含未知数 ，所以是分式方程．
故选： ．【变式训练3】下列关于 的方程是分式方程的是
A． B． C． D．
【解答】解：选项 、 、 是整式方程，不符合题意；
选项 ，是分式方程，符合题意；
故选： ．
根据分式方程的解求参数
【例2】若关于 的分式方程 的解为 ，则常数 的值为
A． B． C． D．
【解答】解：方程两边同乘以 可得 ，
当 时， ，
解得： ，
经检验 是方程的解，
故选： ．
【变式训练1】已知 是分式方程 的解，那么 的值为
A．0 B．1 C．2 D．4
【解答】解： ，
，
，
，
，
，
是方程的解，
，，
经检验 是方程的解，
故选： ．
【变式训练2】已知关于 的分式方程 的解是 ，则 的值为
A．3 B． C． D．1
【解答】解：把 代入分式方程 ，得 ，
整理得 ，
解得 ．
故选： ．
【变式训练3】若分式方程 的一个解是 ，则 ．
【解答】解：把 代入原方程得， ，去分母得 ，解得， ．
分式方程与无解
【例3】若关于 的方程 无解，则 的值为
A． B．7 C．5 D．
【解答】解： ，
，
解得： ，
关于 的方程无解，
，
，
把 代入 中可得：
，
解得： ，
故选： ．
【变式训练1】若关于 的分式方程 无解，则 的值为A． B． C． 或2 D．
【解答】解： ，
，
，
关于 的分式方程 无解，
分两种情况：
当 时， ，
当 时， ，
把 代入 中可得：
，
，
综上所述： 的值为：2或 ，
故选： ．
【变式训练2】若关于 的方程 无解，则 的值为
A．2 B． C．1或2 D．2或
【解答】解： ，
，
，
，
，
原方程无解，
无解或原分式方程产生增根，无解，当 无解，
，
，
当原分式方程产生增根，无解，
，
，
把 代入 中得：
，
，
综上所述： 的值为1或2，
故选： ．
【变式训练3】计算：
（1） ；
（2）若关于 的方程 无解，求 的值．
【解答】解：（1）
；
（2） ，
，
，
分两种情况：当 时， ，
当 时， ，
把 代入 得：
，
解得： ，
综上所述： 的值为：1或2
分式方程与不等式
【例4】已知关于 的分式方程 的解为负数，则 的取值范围是
A． 且 B． C． 且 D．
【解答】解： ，
去分母，得 ．
去括号，得 ．
移项，得 ．
的系数化为1， ．
关于 的分式方程 的解为负数，
且 ．
且 ．
．
故选： ．
【变式训练1】若关于 的分式方程 的解为非负数，则 的取值范围是
A． 且 B． 且 C． 且 D． 且
【解答】解： ，，
，
，
，
，
分式方程的解为非负数，
且 ，
且 ，
且 ，
故选： ．
【变式训练2】若分式方程 的解为正数，则 的取值范围是
A． B． 且 C． D． 且
【解答】解：去分母得： ，
移项，合并同类项得： ，
系数化1，得： ，
关于 的方程 的解为正数，
，且 ，
解得： 且 ．
故选： ．
【变式训练3】已知一个三角形三边的长分别为 5，7， ，且关于 的分式方程
的解是非负数，则符合条件的所有整数 的和为
A．24 B．15 C．12 D．7
【解答】解： 一个三角形三边的长分别为5，7， ．
．即： ．
．．
解是非负数．且 ．
，且 ．
且 ．
且 ．
符合条件的所有整数 为：4或5或
符合条件的所有整数 的和为： ．
故选： ．
解分式方程
【例5】方程 的解为
A． B． C． D．该方程无解
【解答】解：去分母得： ，
解得： ，
检验：把 代入得： ，
是增根，分式方程无解．
故选： ．
【变式训练1】解分式方程 时，去分母得
A． B．
C． D．
【解答】解：分式方程整理得： ，
去分母得： ．
故选： ．
【变式训练2】解分式方程：
（1） ；（2） ．
【解答】解：（1） ，
，
方程两边都乘 ，得 ，
解得： ，
检验：当 时， ，所以 是原方程的解，
即原方程的解是 ；
（2） ，
方程两边都乘 ，得 ，
解得： ，
检验：当 时， ，所以 是原方程的解，
即原方程的解是 ．
【变式训练3】解方程：
（1） ；
（2） ．
【解答】解：（1） ，
方程两边都乘 ，得 ，
解得： ，
检验：当 时， ，所以 是原方程的解，
即原方程的解是 ；
（2） ，方程两边都乘 ，得 ，
解得： ，
检验，当 时， ，所以 是增根，
即原方程无实数根．
求分式方程的增根
【例6】若关于 的分式方程 有增根，则 的值是 ．
【解答】解： ，
，
解得： ，
分式方程有增根，
，
，
把 代入 中得：
，
，
故答案为： ．
【变式训练1】若关于 的分式方程 有增根，则 的值为
A．2 B． C． D．3
【解答】解： ，
，
，
，
，，
方程有增根，
，
，
，
故选： ．
【变式训练2】若关于 的分式方程 产生增根，则 的值为
A． B． C．1 D．2
【解答】解：去分母，得： ，
由分式方程有增根，得到 ，即 ，
把 代入整式方程，可得： ．
故选： ．
【变式训练3】关于 的分式方程： ．
（1）当 时，求此时方程的根；
（2）若这个关于 的分式方程会产生增根，试求 的值．
【解答】解：（1）把 代入方程得： ，
去分母得： ，
解得： ，
检验：当 时， ，
分式方程的解为 ；
（2）去分母得： ，
这个关于 的分式方程会产生增根，
或 ，
把 代入整式方程得： ，
解得： ；
把 代入整式方程得： ，
解得： ．分式方程的应用
【例7】 ， 两船从相距 的两地同时出发，相向而行， 船顺流航行 时与
逆流航行的 船相遇，水流的速度为 ，若设 ， 两船在静水中的速度均为
，则可列方程为
A． B．
C． D．
【解答】解：设甲、乙两船在静水中的速度均为 ，则求两船在静水中的速度可列方
程为：
．
故选： ．
【变式训练1】随着电影《你好，李焕英》热映，其同名小说的销量也急剧上升．某书店分
别用400元和600元两次购进该小说，第二次数量比第一次多1倍，且第二次比第一次进
价便宜4元，设书店第一次购进 套，根据题意，下列方程正确的是
A． B． C． D．
【解答】解： 第二次购进数量比第一次多1倍，且第一次购进 套，
第二次购进 套．
依题意得： ．
故选： ．
【例8】2019年4月4日，珊瑚中学组织七年级学生乘车前往距学校 的大观参观．学
校租用30座和48座两种客车运送学生．
（1）一部分学生乘48座客车先行，出发0.5小时后，另一部分学生乘30座的客车前往，
结果他们同时到达大观．已知30座客车的速度是48座客车速度的1.3倍，求48座客车的
速度．
解：设48座客车的速度为
填写表格：48座客车
30座客车
列出方程： ，
解： ，
答： ．
（2）若学校单独租用50座客车 辆，则有2人没有座位，则全校七年级学生人数可表示
为 人．
【解答】解：填写表格：
48座客车 130
30座客车 130
列出方程： ，
解： ，
经检验： 是原方程的解，
答：48座客车的速度为 ．
（2）全校七年级学生人数可表示为 人；
故答案为：130， ，130， ， ， ，经检验： 是原方程
的解，48座客车的速度为 ， ．
【变式训练1】某危险品工厂采用甲型、乙型两种机器人代替人力搬运产品．甲型机器人比
乙型机器人每小时多搬运 ，甲型机器人搬运 所用时间与乙型机器人搬运
所用时间相等．问乙型机器人每小时搬运多少 产品？
根据以上信息，解答下列问题．
（1）小华同学设乙型机器人每小时搬运 产品，可列方程为．
小惠同学设甲型机器人搬运 所用时间为 小时，可列方程为 ．
（2）请你按照（1）中小华同学的解题思路，写出完整的解答过程．
【解答】解：（1）小华同学设乙型机器人每小时搬运 产品，可列方程为：
；
小惠同学设甲型机器人搬运 所用时间为 小时，可列方程为： ；
故答案为： ； ；
（2）设乙型机器人每小时搬运 产品，根据题意可得：
，
解得： ，
经检验得： 是原方程的解，且符合题意，
答：乙型机器人每小时搬运 产品．
【变式训练2】我校在开学初购买了 、 两种品牌的排球，购买 品牌排球花费了2500
元，购买 品牌排球花费了2000元，且购买 品牌的排球数量是购买 品牌排球数量的2
倍，已知购买一个 品牌排球比购买一个 品牌排球多花30元．
（1）求购买一个 品牌、一个 品牌的排球各需多少元？
（2）学校决定再次购进 、 两种品牌排球共50个，恰逢两种品牌排球的售价进行调整，
品牌排球售价比第一次购买时提高了 ， 品牌排球按第一次购买时售价的9折出售，
如果学校第二次购买 、 两种品牌排球的总费用不超过3240元，那么学校第二次最多可
购买多少个 品牌排球？
【解答】解：（1）设购买一个 品牌排球需要 元，则购买一个 品牌排球需要
元，依题意得： ，
解得： ，
经检验， 是原方程的解，且符合题意，
．
答：购买一个 品牌排球需要50元，购买一个 品牌排球需要80元．
（2）设学校第二次最多可购买 个 品牌排球，则购买 个 品牌排球，
依题意得： ，
解得： ．
又 为正整数，
可以取的最大值为
答：学校第二次最多可购买30个 品牌排球．
【变式训练3】某商店准备购进 、 两种商品， 种商品每件的进价比 种商品每件的
进价多20元，用2000元购进 种商品和用1200元购进 种商品的数量相同．商店将 种
商品每件的售价定为80元， 种商品每件的售价定为45元．
（1） 种商品每件的进价和 种商品每件的进价各是多少元？
（2）商店计划用不超过1560元的资金购进 、 两种商品共40件，其中 种商品的数量
不低于 种商品数量的一半，该商店有几种进货方案？
【解答】解：（1）设 种商品每件的进价是 元，则 种商品每件的进价是 元，
由题意得： ，
解得： ，
经检验， 是原方程的解，且符合题意，
，
答： 种商品每件的进价是50元， 种商品每件的进价是30元；
（2）设购买 种商品 件，则购买 商品 件，
由题意，得 ，解得 ．
为正整数，
、15、16、17、18，
商店共有5种进货方案．
