专题5.3找规律、新定义、阅读材料（解析版）_北师大初中数学_8下-北师大版初中数学_旧版-可参考_06专项讲练_八年级数学下册单元题型精练（基础题型+强化题型）（北师大版）

专题 5.3 找规律、新定义、阅读材料 1．设 ， 都是不为0的实数，且 ， ，定义一种新运算： ，则下 面四个结论正确的是 A． B． C． D． 【解答】解： 、根据题中的新定义化简得： ， ， ， ，不符合题意； 、 ， ， ，不符合题意； 、 ， ， ，符合题意； 、 ， ， ，不符合题意． 故选： ． 2．定义新运算“※”： ※ ．若2※ ，则 的值为 A． B． C． D． 【解答】解：已知等式利用题中的新定义化简得： ， 去分母得： ，解得： ， 检验：把 代入最简公分母得： ， 分式方程的解为 ． 故选： ． 3．定义一种“ ”运算： ，例如： ，则方程 的解是 A． B． C． D． 【解答】解：根据题中的新定义得： ， 整理得： ， 去分母得： ， 解得： ， 检验：把 代入得： ， 分式方程的解为 ． 故选： ． 4．在正数范围内定义一种运算“※”，其规定则为 ※ ，如2※ ， 根据这个规则，则方程3※ 的解为 A． B．1 C． D． 【解答】解：由题意得：3※ ． ※ ，． ． ． ． ． 当 时， ． 这个方程的解为 ． 故选： ． 5．对于实数 和 ，定义一种新运算“ ”为： ，这里等式右边是实数运 算．例如： ．则方程 的解是 A． B． C． D． 【解答】解：已知等式整理得： ， 去分母得： ， 解得： ， 经检验 是分式方程的解． 故选： ． 6．定义一种新运算： ※ ，若5※ ，则 的值为 A． B． 或 C． D． 或 【解答】解：5※ ， 当 时，原方程化为： ， 解得： ；当 时，原方程化为： ， ， ， ， ， 舍去， 经检验 是原方程的解， 故选： ． 7．对于有理数 、 ，定义一种新运算“ ”为： ．例如： ．则方程 的解是 A． B． C． D．无解 【解答】解：根据题中的新定义化简得： ，即 ， 去分母得： ， 解得： ， 检验：把 代入得： ， 分式方程的解为 ． 故选： ． 8．在实数范围内定义一种运算☆，其规则为 ☆ ，根据这个规则 ☆ 的解为 A． B． C． D． 【解答】解： ☆ ，☆ 就是： ， 去分母得： ． 解得： ． 经检验， 是原方程的解． 原方程的解为： ． 故选： ． 9．定义：若分式 与分式 的差等于它们的积，即 ，则称分式 是分式 的 “ 关 联 分 式 ” ． 如 与 ， 因 为 ， ，所以 是 的“关联分式”． （1）已知分式 ，则 是 的“关联分式”（填“是”或“不是” ； （2）小明在求分式 的“关联分式”时，用了以下方法： 设 的“关联分式”为 ，则 ， ， ．请你仿照小明的方法求分式 的“关联分式”． （3）①观察（1）（2）的结果，寻找规律，直接写出分式 的“关联分式”： ； ②用发现的规律解决问题： 若 是 的“关联分式”，求实数 ， 的值． 【解答】解：（1） ， ， 是 的关联分式． 故答案是：是． （2）设 的关联分式是 ，则： ． ． ． ． （3）①由（2）知： 的关联分式为： ． 故答案为： ． ②由题意得： ． ．， ． 10．定义：若两个分式的差为2，则称这两个分式属于“友好分式组”． （1）下列3组分式： ① 与 ；② 与 ；③ 与 ．其中属于“友好分式组”的有 ②③ （只填序号）； （2）若正实数 ， 互为倒数，求证，分式 与 属于“友好分式组”； （3）若 ， 均为非零实数，且分式 与 属于“友好分式组”，求分式 的值． 【解答】解：（1）① ， ② ， ③ ， 属于“友好分式组”的有②③， 故答案为：②③． （2） ， 互为倒数， ， ， ，分式 与 属于“友好分式组”； （3） ， 与 属于“友好分式组”， ， 或 ， ① ，② ， 把①代入 ， 把②代入 ， 综上所述： 的值为 或 ． 11．阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分 数，如： 我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数 时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如 ， 这样的分式就是假分式；再如： ， 这样的分式就是真分式．类 似的，假分式也可以化为带分式（即 整式与真分式的和的形式）． 如： ；再如： 解决下列问题： （1）分式 是 真 分式（填“真”或“假” ； （2）将假分式 化为带分式的形式为 ； （3）把分式 化为带分式；如果 的值为整数，求 的整数值． 【解答】解：（1） 是真分式，故答案是：真； （2） ． 故答案是： ； （3） ； 的值为整数，且 为整数； 为3的约数， 的值为1或 或3或 ； 的值为0或 或2或 ． 12．阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而 假分数都可以化为带分数，如： ．我们定义：在分式中，对于只含有 一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分 子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如 ， ，这样的分式就是 假分式；再如： ， 这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式 （即 整式与真分式的和的形式），如： ． 解决下列问题：（1）分式 是 真 （填“真分式”或“假分式” ； （2）将假分式 化为带分式； （3）先化简 ，并求 取什么整数时，该式的值为整数． 【解答】解：（1）由题意可得， 分式 是真分式， 故答案为：真； （2） ； （3） ， ，当 或2时， 的值为整数， 又 原分式中 ， ， ， ，3， 由上可得，当 时， 的值为整数． 13．当 时，定义一种新运算： ，例如： ， ， ． （1）直接写出 2 ； （2）若 ， ， ，求出 的值． 【解答】解：（1）根据题中的新运算得： ； 故答案为：2； （2）当 时， ， ， 化简得： ， 解得： ，不合题意，舍去； 当 时， ， ， 化简得： ， 解得： ， 综上， ． 14．【阅读理解】阅读下面的解题过程：已知： ，求 的值． 解：由 知 ， ，即 ① ②，故 的值为 ．（1）第①步由 得到 逆用了法则： ； 第②步 运用了公式： ； （法则，公式都用式子表示） 【类比探究】 （2）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题： 已知 ，求 的值； 【拓展延伸】 （3）已知 ，求 的值． 【解答】解：（1）第①步由 得到 逆用了法则： ； 第②步 运用了公式： ； 故答案为： ； ； （2） ， ，即 ， ， 则原式 ； （3） ， ， ， ，即 ， ，则原式 ． 15．（1）下面是小颖同学解分式方程 的过程．请认真阅读并完成相应的 任务． 解：方程两边同______，得 ． 第一步 去括号，得 ． 第二步 移项、合并同类项，得 ． 第三步 解得 ． 第四步 ①第一步中“______”处应为 ，这一步的目的是 ．其依据是 ； ②小颖在反思上述解答过程时发现缺少了一步．请你补全这一步，并说明这一步不能缺少 的理由． （2）新概念运用：运符号“ ”，称为二阶行列式，规定它的运算法则为： ，请你根据上述规定，求出下列等式中 的值： ． 【解答】解：（1）① 分式方程的公分母为 ， 第一步中“”处应为 ，这一步的目的是去分母，其依据是等式的基本性质， 故答案为： ，去分母，等式的基本性质； ②检验：当 时， ， 是原方程的增根，原方程无解． 理由：因为分式方程可能产生增根，所以分式方程必须检验； （2）根据题中的新定义化简所求方程得： ， 去分母得： ，解得： ， 当 时， ， 是分式方程的解， 故 的值为4． 16．阅读下面材料并解决有关问题： （ 一 由 于 ， 所 以 ， 即 ， 并 且 当 时 ， ； 对 于 两 个 非 负 实 数 ， ， 由 于 ， 所 以 ，即 ，所以 ，并且当 时， ； （二 分式和分数有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性 质．小学里，把分子比分母小的数叫做真分数，类似的，我们把分子的次数小于分母的次 数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式 的和的形式，如： ； （1）比较大小： （其中 ， 2（其中 ，（填“ ”、 “ ”或“ ” ； （2）在① 、② 、③ 、④ 这些分式中，属于假分式的是 （填 序号）； （3）已知： ，求代数式 的值； （4）当 为何值时， 有最小值？并求出最小值．（写出解答过程）【解答】解：（1） ， ， ． ， ， ． 故答案为： ， ． （2） ， ①合题意． ， ②合题意，③不合题意． ， ④合题意． 故答案为：①②④． （3） ， ． ． ． （4）由题意， ， ．原式 ． 当且仅当 ，即 时，等号成立． 原式的最小值为3． 17．阅读材料：在处理分数和分式的问题时，有时由于分子大于分母，或分子的次数高于 分母的次数，在实际运算时难度较大，这时，我们可将分数（分式）拆分成一个整数（整 式）与一个真分数（真分式）的和（差 的形式，通过对它的简单分析来解决问题，我们 称这种方法为分离常数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效． 将 分 式 分 离 常 数 可 类 比 假 分 数 变 形 带 分 数 的 方 法 进 行 ． 如 ： ，这样，分式就拆分成一个分 式 与一个整式 的和的形式． 根据以上阅读材料，解答下列问题： （1）若 为整数， 为负整数，可求得 ． （2）利用分离常数法，求分式 的取值范围； （3）若分式 拆分成一个整式与一个真分式（分子为整数）的和（差 的形式为： （整式部分对应等于 ，真分式部分对应等于 ． ①用含 的式子表示出 ； ②随着 的变化， 有无最小值？如有，最小值为多少？【解答】解：（1） ， 为负整数， ， ， 故答案为： ； （2） ， ， ， ； （3）① ， 由题意可得， ， ， ， ， ； ② ， ， 当 时， 有小值27． 18．【阅读学习】阅读下面的解题过程： 已知： ，求 的值．解：由 知 ，所以 ，即 ， 所以 ． 故 的值为 ． 【类比探究】 （1）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的题目： 已知 ，求 的值． 【拓展延伸】 （2）已知 ， ， ，求 的值． 【解答】（1）由 知 ，所以 ， 即： ． ， ． （2） ， ， ， ． ． ，． 19．我们把分子是1的分数叫做分数单位，有些单位分数可以拆成两个不同的分数的差， 如 ， ， ， ， ，请用观察到的规律解方程 ，该方程的解是 ． 【解答】解：原方程化简为： ， 即 ， 方程两边同乘 ， 得： ， 解得 ． 经检验 是原方程的解， 故答案为 ． 20．观察给定的分式； ，猜想并探索规律，第 个分式是 ． 【解答】解： ， ， ， ， ， 第 个分式是： ． 故答案为： ． 21．阅读下列材料：① 的解为 ，② 的解 为 ，③ 的解为 ．请你观察上述方程与解得特征，写出 能反映上述方程一般规律的方程 ，这个方程的解为 ． 【解答】解：方程为 ，方程的解是 ， 故答案为： ， ． 22．观察下列式子，按某种规律在横线上填上适当的式子： ， ， 【解答】解： 根据已知算式可以看出：分子 的指数依次为2， ， ， ， ， 分母 的指数依次为1，2，3，4， ， ， ， 故答案为： ． 23．【探索发现】 先观察下面给出的等式，探究其隐含的规律，然后回答问题： ； ； ； （1）若 为正整数，直接写出结果： ． 【拓展延伸】 根据上面探索的规律，解决下面的问题： （2）解关于 的分式方程： ． 【解答】解：（1）， 故答案为： ； （2） ， ， ， ， ， ， 解得： ， 经检验， 是原方程的根． 24．观察下列不等式： ① ； ② ； ③ ； ④ ； 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第6个不等式： ； （2）写出你猜想的第 个不等式： （用含 的等式表示）；（3）比较 和 的大小． 【解答】解：（1）根据规律可得第6个不等式为： ， 故答案为： ； （2）根据规律可得第 个不等式为： ， 故答案为： ； （3） ， ． 25．阅读理解：下列一组方程：① ，② ，③ ， 小明通过观察， 发现了其中蕴含的规律，并顺利地求出了前三个方程的解，他的解过程如下： 由① 得 或 ； 由② 得 或 ； 由③ 得 或 ． （1）问题解决：请写出第四个方程； （2）规律探究：若 为正整数，请写出第 个方程及其方程的解； （3）变式拓展：若 为正整数，关于 的方程 的一个解是 ，求 的 值． 【解答】解：（1）第四个方程为： ，即 ． （2）可得第 个方程为： ， 解得： 或 ； （3）将原方程变形， ， 或 ， 方程的解是 ，或 ， 当 时， ， 当 时， ， 的值是12或11． 26．探索发现： ； ； ； 根据你发现的规律，回答下列问题： （1） ； ； （2）利用发现的规律计算： ； （3）利用以上规律解方程： ． 【解答】解：（1） ， ； 故答案为： ， ； （2）； （3） ， ， ， ， ． ． 解的 ． 经检验， 是原分式方程的解． ．