专题5.3二元一次方程组阅读材料（强化）（解析版）_北师大初中数学_8上-北师大版初中数学_旧版_06专项讲练

专题 5.3 二元一次方程组阅读材料 【例题精讲】 【例1】【阅读材料】 小明同学遇到下列问题： 解方程组 ，他发现如果直接用代入消元法或加减消元法求解，计算 量比较大，也容易出错．如果把方程组中的 看作一个数，把 看作一个数， 通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程： 令 ， ， 这时原方程组化为 ，解得 ， 把 代入 ， ． 得 ，解得 ． 所以，原方程组的解为 ． 【解决问题】 请你参考小明同学的做法，解决下面的问题： 解方程组 ． 【解答】解：令 ， ，原方程组可化为 ， 解得： ， ，即 ， ① ②得： ， 解得： ， ① ②得： ， 解得： ， 则方程组的解为 ． 【例2】阅读下列方程组的解法，然后解答相关问题： 解方程组 时，若直接利用消元法解，那么运算比较繁杂，采用下列解法 则轻而易举． 解：① ②，得 ，即 ．③ ② ③ ，得 ． 把 代入③，解得 ． 故原方程组的解是 （1）请利用上述方法解方程组 ．（2）猜想并写出关于 ， 的方程组 的解，并加以检验． 【解答】解：（1） ， ① ②，得 ，即 ．③ ② ③ ，得 ． 把 代入③，解得 ． 故原方程组的解是 ． （2）猜想方程的解为： ， 检验：将解代入方程组：第一个方程：左边 右边， 第二个方程：左边 右边， 所以 是方程组的解． 【题组训练】 1．阅读下列解方程组的方法，然后解答问题： 解方程组 时，小曼发现如果用常规的代入消元法，加减消元法来解，计 算量大，且易出现运算错误，她采用下面的解法测比较简单： ② ①得： ，即 ③ ③ 得： ④ ① ④得： ，代入③得所以这个方程组的解是 ． 请你运用小曼的方法解方程组 ． 【解答】解：② ①得， ，即 ③， ③ 得， ④， ① ④得， ， 将 代入③得， ， 所以这个方程组的解是 ． 2．阅读下列材料，并回答问题： 【情境1】：小红在研究学习无理数时发现： ①任意一个有理数与无理数的和为无理数； ②任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数； ③零与无理数的积为零． 【情境2】：小刚在小红研究的基础上，继续探究，又发现： 若 ，其中 ， 为有理数， 为无理数，则 且 ． 例如：若 ，其中 ， 为有理数，则 ， ． 【情境3】：后来，小陈也加入到小红和小刚的研究学习当中，并成功解决了之前困扰他 的一道题： ，其中 ， 为有理数．分析：通过变形，得： ． 又 ， 为有理数， 解得： ． 运用上述知识解决下列问题：（1）已知 ，其中 ， 为有理数，则 2 ， ； （2）已知 ，其中 ， 为有理数，求 的值． 【解答】解：（1） ， ， ， 解得： ， ； 故答案为：2， ； （2）已知等式整理得： ， ， ， 解得： ， ， 则原式 ． 4．阅读探索：解方程组 解 ： 设 ， 原 方 程 组 可 以 化 为 ， 解 得 ， 即 ： ，此种解方程组的方法叫换元法． （1）拓展提高 运用上述方法解下列方程组 ； （2）能力运用 已知关于 ， 的方程组 的解为 ，求关于 、 的方程组的解． 【解答】解：（1）设 ， ， 原方程组可变为： ， 解这个方程组得： ， 即： ， 所以： ； （2）设 ， 可得： ， 解得： ． 5．阅读材料：我们已经学过利用“代入消元法”和“加减消元法”来解二元一次方程组， 通过查阅相关资料，“勤奋组”的同学们发现在解方程组 时，可以采用一种 “整体代入”的解法． 解：将方程②变形为 ，即 ③， 把方程①代入方程③，得： ，解得 ， 把 代入方程①得 ，所以方程组的解为 ． 请你根据上述材料，解决以下问题： （1）利用“整体代入”法解方程组 ； （2）小明利用“整体代入”法解方程组 时，解得 ，求 的值． 【解答】解：（1） ， 把②变形为 ③， 把①代入③得 ， ， 把 代入①得： ， ， 方程组的解是 ； （2） ， 把②变形得 ③， 把①代入③得 ， ， ， 解得 ，的值为1． 6．阅读题：解方程组 解：设 ， ，则原方程可化为 解得 ，即 ，所以 这种解方程组的方法叫换元法． （1）运用上述方法解方程组 （2）已知关于 ， 的方程组 的解是 ，请你直接写出关于 ， 的 方程组 的解． 【解答】解：（1）设 ， ，则方程组可化为 ， 解得： ，即 ， 所以 ； （2）根据题意得： ， ， 解得： ． 7．阅读材料：善于思考的小军在解方程组 时，采用了一种“整体代换”的解法： 解：将方程②变形： ，即 ，③ 把方程①代入③，得 ， ，把 代入①，得 ， 方程组的解为 ． 请你根据以上方法解决下列问题： （1）模仿小军的“整体代换”法解方程组 ； （2）已知 ， 满足方程组 ，求 的值． 【解答】解：（1） ， 由②得： ③， 把①代入③得： ， 解得： ， 把 代入①得： ， 解得： ， 则方程组的解为 ； （2） ， 由①得： ③， 把②代入③得： ，解得： ． 8．阅读材料：善于思考的小明同学在解方程组 时，采用了一种 “整体换元”的解法． 解：把 ， 看成一个整体，设 ， ， 原方程组可化为 ， 解得 ， ． 原方程组的解为 ． 请仿照小明同学的方法，用“整体换元”法解方程组 ． 【解答】解：设 ， ， 原方程可化为 ，即 ， ② ①得， ， 把 代入②得， ， ， ， 解得 ．10．阅读探索：解方程组 ． 解：设 ， ，原方程组可化为 解得 即 ，解得 ，此种方法叫换元法，根据上述材料，解决下列问题： （1）运用换元法解求关于 ， 的方程组： 的解； （2）若关于 ， 的方程组 的解为 ，求关于 ， 的方程组 的解． 【解答】解：（1）设 ， ， 原方程组可变为： ， 解这个方程组得 ， 即 ， 所以 ； （3）由题意得， ，解得： ． 11．阅读材料：我们把多元方程（组 的非负整数解叫做这个方程（组 的“好解”．例如： 就是方程 的一组“好解”； 是方程组 的一组“好 解”． （1）求方程 的所有“好解”； （2）关于 ， ， 的方程组 有“好解”吗？若有，请求出对应的“好 解”；若没有，请说明理由． 【解答】解：（1）当 时， ； 当 时， ，解得 ； 当 时， ，解得 ， 所以方程 的所有“好解”为 或 或 ； （2）有． ， ② ①得 ，则 ， ① ②得 ，则 ， 、 、 为非负整数， ，解得 ，、1、2，3， 当 时， ， ；当 ， ， ；当 时， ， ，当 时， ， ， 关于 ， ， 的方程组 的“好解”为 或 或 或 ． 12．阅读下列解方程组的方法，然后解答问题： 解方程组 时，小明发现如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，计 算量大，且易出现运算错误，他采用下面的解法则比较简单： ② ①得： ，即 ．③ ③ 得： ．④ ① ④得： ，代入③得 ． 所以这个方程组的解是 ． （1）请你运用小明的方法解方程组 ． （2）猜想关于 、 的方程组 的解是 ； （3）请你按照上面的规律写一个方程组，使它的解与（2）中方程组的解相同（所写方程 组未知数的系数大于 ．【解答】解：（1） ， ② ①得， ，即 ③， ③ 得， ④， ① ④得， ， 将 代入③得， ， 所以这个方程组的解是 ． （2）猜想方程组的解为是 ． ， 看原方程组中第一个方程， 的系数比 的系数大2，等号右边的数比 的系数大4，第二 个方程也是这样的关系，再观察新的方程组也同样呈现第一个方程组的特点， 故原方程组的解为 ． （3）由（2）得方程组的解为 ．所写方程组未知数的系数大于100即可， 满足题意的方程组为 （答案不唯一）． 13．先阅读，再解方程组． 解方程组 ．解：设 ， ，则原方程组化为 ．解得 ，即 ． 原方程组的解为 ． 这种解方程组的方法叫做“换元法”． （1）已知方程组 的解是 ，求方程组 的解． （2）用换元法解方程组 （其中 ． 【解答】解：（1）把方程组 变形为 ， 方程组 的解是 ， ，解得 ， 方程组 的解为 ； （2）设 ， ，则原方程组化为 ，解得 ， 即 ， ， 解方程组 ，解得 ，所以原方程组的解为 ． 14．阅读下列解方程组的方法，然后回答问题． 解方程组 ． 解：由① ②得 即 ③． ③ 得 ④． ② ①得 ．从而可得 ． 方程组的解是 ． （1）请你仿上面的解法解方程组 ； （2）猜测关于 ， 的方程组 的解是什么，并利用方程组的 解加以验证． 【解答】解：（1） ， ② ①，得 ③， ① ③ ，得 ， 解得： ， 把 代入③，得 ， 解得； ，所以原方程组的解是 ； （2） ， ① ②，得 ， ③， ③ ①，得 ， 解得： ， 把 代入③，得 ， 解得； ， 所以原方程组的解 ． 15．阅读探索 （1）知识积累 解方程组 ． 解：设 ， ．原方程组可变为 ，解这个方程组得 ，即 ，所以 ，这种解方程组的方法叫换元法． （2）拓展提高运用上述方法解下列方程组： ． （3）能力运用 已知关于 ， 的方程组 的解为 ，请直接写出关于 、 的方程组 的解是 ． 【解答】解：（2）设 ， ， 原方程组可变为： ， 解这个方程组得： ， 即： ， 所以： ； （3）设 ， 可得： ， 解得： ． 16．仔细阅读下面解方程组的方法，然后解决有关问题：解方程组 时，如果直接消元，那将时很繁琐的，若采用下面的解法， 则会简单很多． 解：① ②，得： ，即 ③ ③ ，得： ④ ② ④，得： 将 代入③得： 方程组的解为： （1）请你采用上述方法解方程组： （2）请你采用上述方法解关于 ， 的方程组 ． 【解答】解：（1） ，① ②，得： ，即 ③ ③ ，得： ④ ② ④，得： ， 将 代入③得： ， 方程组的解为： ； （2）解：① ②，得： ， ， ③ ③ ，得： ④ ② ④，得： ， 将 代入③得： ， 方程组的解为： ． 17．阅读下列解方程组的方法，然后解决有关问题． 解方程组 时，我们如果直接考虑消元，那么非常麻烦，而采用下列解法 则轻而易举． （1） （2），得 ，即 （3） （3） ，得 （4） （2） （4），得 ，从而 所以原方程组的解是 （1）请你用上述方法解方程组 （2）试猜测关于 、 的二元一次方程组 的解是什么？并加 以验证． 【解答】解：（1）（1） （2） 得： ，将 代入（1）得： ， 则方程组的解为 ； （2）猜测原方程组的解是 ， 将 ， 代入第一个方程左边 ，右边 ，左边 右边； 代入第二个方程左边 ，右边 ，左边 右边， 则 是方程组的解． 18．阅读下列解方程组的方法： 解方程组 时，我们如果考虑直接消元，那将是非常麻烦的，而采用下面的 解法会比较简单．由① ②，得 ，所以 ③．由③ ，得 ④，② ④，得 ，从而 ．所以原方程组的解是 ． 请解决下列问题： （1）解方程组 ； （2）解关于 ， 的方程组 ． 【解答】解：（1）① ②求出 ③，② ③ 得： ， 将 代入③得 ； 故方程组的解为： ；（2）① ②求出 ③，① ③ 得 ， 将 代入③得， ， 故方程组的解为： ． 19．阅读下列材料： 小明同学遇到下列问题： 解方程组 ，他发现如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算 量比较大，也容易出错．如果把方程组中的 看作一个数，把 看作一个数， 通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程： 令 ， ． 这时原方程组化为 解得 把 代入 ， ． 得 解得 所以，原方程组的解为 请你参考小明同学的做法，解决下面的问题： （1）解方程组（2）若方程组 的解是 ，求方程组 的解． 【解答】解：（1）令 ， ， 原方程组可化为 ， 解得： ， ， 解得 原方程组的解为 ； （2）令 ， ， 原方程组可化为 ， 依题意，得 ， ， 解得 ． 20．阅读下列材料，然后解答后面的问题． 我们知道方程 有无数组解，但在实际生活中我们往往只需要求出其正整数解．例：由 ，得 ， 、 为正整数） 则有 ．又 为正整数，则 为整数． 由2与3互质，可知： 为3的倍数，从而 ，代入 ． 的正整数解为 问题：（1）若 为自然数，则满足条件的整数 值有 4 个 （2）请你写出方程 的所有正整数解： （3）若 ，请用含 的式子表示 ，并求出它的所有整数解． 【解答】解：（1）由题意得： ， ， ， ， 解得： ， ， ， ，共4个； 故答案为：4； （2）方程整理得： ， 当 时， ；当 时， ， 则方程的正整数解为 ， ； 故答案为： ， （3）根据题意得： ， 根据题意得： ， ， ， ， 解得： ， ， ， ，1， ，5， 相应的 ， ，4， ，2， ，1， ；它的所有整数解为 ， ， ， ， ， ， ， ． 21．先阅读下列知识， 然后回答后面的问题： （1） 二元一次方程组 的解的情况有以下三种： 当 时， 方程组有 无数 解 ． 当 时， 方程组有 解 ． 当 时， 方程组有 解 ． （2） 判断二元一次方程组 的解的情况： ． 判断二元一次方程组 的解的情况： ． 判断二元一次方程组 的解的情况： ． （3） 小明在解下面的二元一次方程组时， 碰到了一个非常“严重”的问题， 发现“ ”， 他知道这是不可能的， 但是又找不到错误的原因， 请你 解释一下： 解方程组： ．解： 由①得 ，代入②得 ，得 ． 请指出出现这种错误的原因 ． 【解答】解： （1） 二元一次方程组 的解的情况有以下三种： 当 时， 方程组有无数解 ． 当 时， 方程组有无解 ． 当 时， 方程组有唯一解 ． 故答案为无数；无；唯一； （2） ， 二元一次方程组 有无数解； ， 二元一次方程组 无解； ， 二元一次方程组 有唯一解； 故答案为无数解；无解；唯一解；（3） ， 二元一次方程组 无解， 小明出现了 的这种错误 ． 22．阅读下列解方程组的方法，然后回答问题． 解方程组 解：由① ②得 即 ③ 得 ④ ② ④得 ，从而可得 原方程组的解是 ． （1）请你仿照上面的解法解方程组 ； （2）请大胆猜测关于 、 的方程组 的解是什么？ 【解答】解：（1） ， ① ②得 ，即 ③， ① ③ 得 ， 把 代入③得 ， 解得 ，所以原方程组的解为 ； （2） ． 23．阅读下列材料，解答下面的问题： 我们知道方程 有无数个解，但在实际生活中我们往往只需求出其正整数解． 例：由 ，得： 、 为正整数）．要使 为正整数 则 为正整数，由2，3互质，可知： 为3的倍数，从而 ，代入 ． 所以 的正整数解为 问题： （1）请你直接写出方程 的一组正整数解 ． （2）若 为自然数，则满足条件的正整数 的值有 个． ．5 ．6 ．7 ．8 （3）七年级某班为了奖励学生学习的进步，购买为单价3元的笔记本与单价为5元的钢笔 两种奖品，共花费48元，问有几种购买方案，写出购买方案？ 【解答】解：（1）由 ，得 ， 要使 是正整数，则 是正整数，所以需要 ， 故当 时， ，所以 的一组正整数解可以是： ． 故答案是： ； （2）若 是自然数，则满足条件的正整数 有4，5，6，7，9，15共6个， 故答案是： ； （3）设购买单价为3元的笔记本 本，单价为5元的钢笔 支． 则根据题意得： ，其中 、 均为自然数． 于是有： ， 则有： ， 解得： ． 由于 为正整数，则 为正整数，且为5的倍数． 当 时， ； 当 时， ， 当 时， ． 答：有三种购买方案：即购买单价为3元的笔记本1本，单价为5元的钢笔9支； 或购买单价为3元的笔记本6本，单价为5元的钢笔6支； 或购买单价为3元的笔记本11本，单价为5元的钢笔3支． 25．阅读下列材料： 小明同学遇到如下问题： 解方程 ，他发现如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量 比较大，也容易出错．如果把方程组中的 看作一个数，把 看作一个数，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程：令 ， ，这时方 程 组 化 为 解 得 ， 把 代 入 ， 得 ，解得 ． 请你参考小明同学的做法，解决下面的问题：解方程组： ． 【解答】解：令 ， ，方程组化为 ， ① ②得： ，即 ， 将 代入①得： ， 将 ， 代入得： ， 解得： ， ， 则方程组的解为 ．