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专题 5.3 二元一次方程组阅读材料
【例题精讲】
【例1】【阅读材料】
小明同学遇到下列问题：
解方程组 ，他发现如果直接用代入消元法或加减消元法求解，计算
量比较大，也容易出错．如果把方程组中的 看作一个数，把 看作一个数，
通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程：
令 ， ，
这时原方程组化为 ，解得 ，
把 代入 ， ．
得 ，解得 ．
所以，原方程组的解为 ．
【解决问题】
请你参考小明同学的做法，解决下面的问题：
解方程组 ．【例2】阅读下列方程组的解法，然后解答相关问题：
解方程组 时，若直接利用消元法解，那么运算比较繁杂，采用下列解法
则轻而易举．
解：① ②，得 ，即 ．③
② ③ ，得 ．
把 代入③，解得 ．
故原方程组的解是
（1）请利用上述方法解方程组 ．
（2）猜想并写出关于 ， 的方程组 的解，并加以检验．【题组训练】
1．阅读下列解方程组的方法，然后解答问题：
解方程组 时，小曼发现如果用常规的代入消元法，加减消元法来解，计
算量大，且易出现运算错误，她采用下面的解法测比较简单：
② ①得： ，即 ③
③ 得： ④
① ④得： ，代入③得
所以这个方程组的解是 ．
请你运用小曼的方法解方程组 ．2．阅读下列材料，并回答问题：
【情境1】：小红在研究学习无理数时发现：
①任意一个有理数与无理数的和为无理数；
②任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数；
③零与无理数的积为零．
【情境2】：小刚在小红研究的基础上，继续探究，又发现：
若 ，其中 ， 为有理数， 为无理数，则 且 ．
例如：若 ，其中 ， 为有理数，则 ， ．
【情境3】：后来，小陈也加入到小红和小刚的研究学习当中，并成功解决了之前困扰他
的一道题： ，其中 ， 为有理数．分析：通过变形，得：
．
又 ， 为有理数， 解得： ．
运用上述知识解决下列问题：
（1）已知 ，其中 ， 为有理数，则 ， ；
（2）已知 ，其中 ， 为有理数，求 的值．4．阅读探索：解方程组
解 ： 设 ， 原 方 程 组 可 以 化 为 ， 解 得 ， 即 ：
，此种解方程组的方法叫换元法．
（1）拓展提高
运用上述方法解下列方程组 ；
（2）能力运用
已知关于 ， 的方程组 的解为 ，求关于 、 的方程组
的解．5．阅读材料：我们已经学过利用“代入消元法”和“加减消元法”来解二元一次方程组，
通过查阅相关资料，“勤奋组”的同学们发现在解方程组 时，可以采用一种
“整体代入”的解法．
解：将方程②变形为 ，即 ③，
把方程①代入方程③，得： ，解得 ，
把 代入方程①得 ，
所以方程组的解为 ．
请你根据上述材料，解决以下问题：
（1）利用“整体代入”法解方程组 ；
（2）小明利用“整体代入”法解方程组 时，解得 ，求 的值．6．阅读题：解方程组
解：设 ， ，则原方程可化为
解得 ，即 ，所以
这种解方程组的方法叫换元法．
（1）运用上述方法解方程组
（2）已知关于 ， 的方程组 的解是 ，请你直接写出关于 ， 的
方程组 的解．7．阅读材料：善于思考的小军在解方程组 时，采用了一种“整体代换”的
解法：
解：将方程②变形： ，即 ，③
把方程①代入③，得 ， ，把 代入①，得 ，
方程组的解为 ．
请你根据以上方法解决下列问题：
（1）模仿小军的“整体代换”法解方程组 ；
（2）已知 ， 满足方程组 ，求 的值．8．阅读材料：善于思考的小明同学在解方程组 时，采用了一种
“整体换元”的解法．
解：把 ， 看成一个整体，设 ， ，
原方程组可化为 ，
解得 ， ．
原方程组的解为 ．
请仿照小明同学的方法，用“整体换元”法解方程组 ．10．阅读探索：解方程组 ．
解：设 ， ，原方程组可化为 解得 即 ，解得
，此种方法叫换元法，根据上述材料，解决下列问题：
（1）运用换元法解求关于 ， 的方程组： 的解；
（2）若关于 ， 的方程组 的解为 ，求关于 ， 的方程组
的解．11．阅读材料：我们把多元方程（组 的非负整数解叫做这个方程（组 的“好解”．例如：
就是方程 的一组“好解”； 是方程组 的一组“好
解”．
（1）求方程 的所有“好解”；
（2）关于 ， ， 的方程组 有“好解”吗？若有，请求出对应的“好
解”；若没有，请说明理由．12．阅读下列解方程组的方法，然后解答问题：
解方程组 时，小明发现如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，计
算量大，且易出现运算错误，他采用下面的解法则比较简单：
② ①得： ，即 ．③
③ 得： ．④
① ④得： ，代入③得 ．
所以这个方程组的解是 ．
（1）请你运用小明的方法解方程组 ．
（2）猜想关于 、 的方程组 的解是 ；
（3）请你按照上面的规律写一个方程组，使它的解与（2）中方程组的解相同（所写方程
组未知数的系数大于 ．13．先阅读，再解方程组．
解方程组 ．
解：设 ， ，则原方程组化为 ．解得 ，即 ．
原方程组的解为 ．
这种解方程组的方法叫做“换元法”．
（1）已知方程组 的解是 ，求方程组 的解．
（2）用换元法解方程组 （其中 ．14．阅读下列解方程组的方法，然后回答问题．
解方程组 ．
解：由① ②得 即 ③．
③ 得 ④．
② ①得 ．从而可得 ．
方程组的解是 ．
（1）请你仿上面的解法解方程组 ；
（2）猜测关于 ， 的方程组 的解是什么，并利用方程组的
解加以验证．15．阅读探索
（1）知识积累
解方程组 ．
解：设 ， ．原方程组可变为 ，解这个方程组得 ，即
，所以 ，这种解方程组的方法叫换元法．
（2）拓展提高
运用上述方法解下列方程组： ．
（3）能力运用
已知关于 ， 的方程组 的解为 ，请直接写出关于 、 的方程组
的解是 ．16．仔细阅读下面解方程组的方法，然后解决有关问题：
解方程组 时，如果直接消元，那将时很繁琐的，若采用下面的解法，
则会简单很多．
解：① ②，得： ，即 ③
③ ，得： ④
② ④，得：
将
代入③得：
方程组的解为：
（1）请你采用上述方法解方程组：
（2）请你采用上述方法解关于 ， 的方程组 ．17．阅读下列解方程组的方法，然后解决有关问题．
解方程组 时，我们如果直接考虑消元，那么非常麻烦，而采用下列解法
则轻而易举．
（1） （2），得 ，即 （3）
（3） ，得 （4）
（2） （4），得 ，从而
所以原方程组的解是
（1）请你用上述方法解方程组
（2）试猜测关于 、 的二元一次方程组 的解是什么？并加
以验证．18．阅读下列解方程组的方法：
解方程组 时，我们如果考虑直接消元，那将是非常麻烦的，而采用下面的
解法会比较简单．由① ②，得 ，所以 ③．由③ ，得
④，② ④，得 ，从而 ．所以原方程组的解是 ．
请解决下列问题：
（1）解方程组 ；
（2）解关于 ， 的方程组 ．19．阅读下列材料：
小明同学遇到下列问题：
解方程组 ，他发现如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算
量比较大，也容易出错．如果把方程组中的 看作一个数，把 看作一个数，
通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程：
令 ， ．
这时原方程组化为 解得
把 代入 ， ．
得 解得
所以，原方程组的解为
请你参考小明同学的做法，解决下面的问题：
（1）解方程组
（2）若方程组 的解是 ，求方程组 的解．20．阅读下列材料，然后解答后面的问题．
我们知道方程 有无数组解，但在实际生活中我们往往只需要求出其正整数解．
例：由 ，得 ， 、 为正整数）
则有 ．又 为正整数，则 为整数．
由2与3互质，可知： 为3的倍数，从而 ，代入 ．
的正整数解为
问题：（1）若 为自然数，则满足条件的整数 值有 个
（2）请你写出方程 的所有正整数解：
（3）若 ，请用含 的式子表示 ，并求出它的所有整数解．21．先阅读下列知识， 然后回答后面的问题：
（1） 二元一次方程组 的解的情况有以下三种：
当 时， 方程组有 解 ．
当 时， 方程组有 解 ．
当 时， 方程组有 解 ．
（2） 判断二元一次方程组 的解的情况： ．
判断二元一次方程组 的解的情况： ．
判断二元一次方程组 的解的情况： ．
（3） 小明在解下面的二元一次方程组时， 碰到了一个非常“严重”的问题，
发现“ ”， 他知道这是不可能的， 但是又找不到错误的原因， 请你
解释一下：
解方程组： ．
解： 由①得 ，代入②得 ，得 ．
请指出出现这种错误的原因 ．22．阅读下列解方程组的方法，然后回答问题．
解方程组
解：由① ②得 即
③ 得 ④
② ④得 ，从而可得
原方程组的解是 ．
（1）请你仿照上面的解法解方程组 ；
（2）请大胆猜测关于 、 的方程组 的解是什么？23．阅读下列材料，解答下面的问题：
我们知道方程 有无数个解，但在实际生活中我们往往只需求出其正整数解．
例：由 ，得： 、 为正整数）．要使 为正整数
则 为正整数，由2，3互质，可知： 为3的倍数，从而 ，代入 ．
所以 的正整数解为
问题：
（1）请你直接写出方程 的一组正整数解 ．
（2）若 为自然数，则满足条件的正整数 的值有 个．
．5 ．6 ．7 ．8
（3）七年级某班为了奖励学生学习的进步，购买为单价3元的笔记本与单价为5元的钢笔
两种奖品，共花费48元，问有几种购买方案，写出购买方案？25．阅读下列材料：
小明同学遇到如下问题：
解方程 ，他发现如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量
比较大，也容易出错．如果把方程组中的 看作一个数，把 看作一个数，
通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程：令 ， ，这时方
程 组 化 为 解 得 ， 把 代 入 ， 得
，解得 ．
请你参考小明同学的做法，解决下面的问题：解方程组： ．
