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2021-2022学年七年级数学下册尖子生同步培优题典【北师大版】
专题5.3简单的轴对称图形
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑
色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1．（2022春•永丰县校级月考）若（a﹣2）2+|b﹣4|＝0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．8或10
【分析】根据非负数的性质列式求出a、b的值，再分a是腰长与底边两种情况讨论求解．
【解答】解：根据题意得，a﹣2＝0，b﹣4＝0，
解得a＝2，b＝4，
①a＝4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、2，
∵4、4、2能组成三角形，
∴三角形的周长为10，
②a＝2是腰长时，三角形的三边分别为4、2、2，
不能组成三角形，
综上所述，三角形的周长为10．
故选：C．
2．（2022•平顶山一模）如图，AB∥CD，EF＝DF，若∠A＝50°，则∠E等于（ ）
A．50° B．55° C．60° D．65°
【分析】首先利用平行线的性质求得∠EFD的度数，然后利用等腰三角形的性质求得∠E的度数即可．【解答】解：∵∠A＝50°，AB∥CD，
∴∠EFD＝∠A＝50°，
∵EF＝DF，
∴∠E＝∠D＝65°，
故选：D．
3．（2022•卫辉市校级模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，过点A作AD∥BC，则∠DAB
的度数为（ ）
A．40° B．42° C．50° D．80°
【分析】根据等腰三角形的性质得出∠B＝∠C＝40°，根据平行线的性质求出∠BAD即可．
【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝100°，
∴∠B＝∠C＝40°，
AD∥BC，
∴∠BAD＝40°．
故选：A．
4．（2022•南海区一模）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，BD是∠ABC的角平分线，则
∠ADB的度数等于（ ）
A．70° B．100° C．105° D．120°
【分析】由已知根据等腰三角形的性质易得两底角的度数，结合角平分线的性质和三角形内角和定理即
可求解．
【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝40°，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣40°）÷2＝70°，
又∵BD为∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝35°，
∴∠ADB＝180°﹣（40°+35°）＝105°．
故∠ADB的度数为105°．
故选：C．
5．（2022•永嘉县模拟）木工师傅将一把三角尺和一个重锤如图放置，就能检查一根横梁是否水平，能解
释这一现象的数学知识是（ ）
A．角平分线定理 B．等腰三角形的三线合一
C．线段垂直平分线定理 D．两直线垂直的性质
【分析】根据等腰三角形的性质确定答案即可．
【解答】解：木工师傅将一把三角尺和一个重锤如图放置，
当重锤经过等腰三角形的底边的中点时，就能检查出这根横梁水平，否则就不水平，
所以解释这一现象的数学知识是等腰三角形的三线合一，
故选：B．
6．（2022•珠海二模）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线交AC，BC于点D，E．若△ABC的周长为
30，BE＝5，则△ABD的周长为（ ）
A．10 B．15 C．20 D．25
【分析】利用线段的垂直平分线的性质证明△ABD的周长＝AB+AC即可解决问题．
【解答】解：∵BC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E，
∴DB＝DC，BE＝EC．∵BE＝5，
∴BC＝2BE＝10．
∵△ABC的周长为30，
∴AB+AC+BC＝30．
∴AB+AC＝20．
∴△ABD的周长＝AB+AD+BD＝AB+AD+DC＝AB+AC＝20，
故选：C．
7．（2021秋•博白县期末）如图，△ABC中，EF是AB的垂直平分线，与AB交于点D，BF＝6，CF＝2，
则AC的长度为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到FA＝BF＝6，结合图形计算，得到答案．
【解答】解：∵EF是AB的垂直平分线，BF＝6，
∴FA＝BF＝6，
∴AC＝FA+CF＝6+2＝8，
故选：C．
8．（2020秋•长垣市月考）如图为三条两两相交的公路，某石化公司拟建立一个加油站，计划使得该加油
站到三条公路的距离相等，则加油站的可选位置有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】从已知提供的条件结合角平分线的性质进行思考，在三角形内部三条角平分线相交于同一点，
三外角平分线有三交点，除去深水湖泊那里的交点，共有三个；
【解答】解：在三角形内部三条角平分线相交于同一点，三外角平分线有三交点，除去深水湖泊那里的
交点，共有三个，故选：C．
9．（2018秋•濉溪县期末）如图，在等边三角形 ABC中，∠DFE＝120°，那么AD与CE的大小关系是（
）
A．AD＞CE B．AD＜CE C．AD＝CE D．不能确定
【分析】根据等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】解：AD＝CE，
理由：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠ACB＝60°，
∵∠DFE＝120°，
∴∠EFC＝60°，
∴∠BDC＝60°+∠ACD，∠AEF＝40°+∠ACE，
∴∠BDC＝∠AEB，
∴∠ADE＝∠BEC，
∵AC＝BC，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴AD＝CE．
故选：C．
10．（2019秋•松滋市期末）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，用尺规作图法作出射线AE，AE交BC于点
D，CD＝2，P为AB上一动点，则PD的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．无法确定
【分析】当DP⊥AB时，根据垂线段最短可知，此时 DP的值最小．再根据角平分线的性质定理可得
DP＝CD解决问题；
【解答】解：当DP⊥AB时，根据垂线段最短可知，此时DP的值最小．由作图可知：AE平分∠BAC，
∵DC⊥AC，DP⊥AB，
∴DP＝CD＝2，
∴PD的最小值为2，
故选：A．
二．填空题（共8小题）
11．（2022•长兴县开学）等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝4∠B，则∠C＝ 3 0 °．
【分析】根据等腰三角形的性质可得∠B＝∠C，再根据三角形的内角和定理即可解答．
【解答】解：在△ABC中，AB＝AC，∠A＝4∠B，
∴∠B＝∠C，
∴∠C＝180°÷（4+1+1）＝180°÷6＝30°．
故答案为：30．
12．（2021秋•延庆区期末）等腰三角形一边长为5，另一边长为8，则其周长是 1 8 或 2 1 ．
【分析】由于等腰三角形的底边与腰不能确定，故应分5为底边与8为底边两种情况进行讨论．
【解答】解：当5为底边时，腰长为8，则这个等腰三角形的周长＝5+8+8＝21；
当8为底边时，腰长为5，则这个等腰三角形的周长＝5+5+8＝18；
故这个等腰三角形的周长是18或21．
故答案为：18或21．
13．（2017秋•温县期末）如图，已知直线AB∥CD，且线段AD＝CD，若∠1＝65°，则∠2的度数是 50 °
．
【分析】根据两直线平行，同位角相等可得∠ACD＝∠1＝65°，再根据等腰三角形的性质和三角形内角
和定理可求∠2的度数，从而求解．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠1＝∠ACD＝65°，
∵AD＝CD，
∴∠DCA＝∠CAD＝65°，∴∠2的度数是：180°﹣65°﹣65°＝50°．
故答案为：50°．
14．（2021春•郫都区期末）如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA，点D是OB上的动点，若PC＝1cm，则PD
的长的最小值为 1 cm ．
【分析】过P点作PE⊥OB于E，如图，根据角平分线的性质得到PE＝PC＝1cm，然后根据垂线段最短
求解．
【解答】解：过P点作PE⊥OB于E，如图，
∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，PE⊥OB，
∴PE＝PC＝1cm，
∵点D是OB上的动点，
∴PD的最小值为1cm．
故答案为1cm．
15．（2021秋•江津区期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝80°，DE，FG分别是AB，AC边的垂直平分线，
点E、F在BC上，则∠FAE的度数为 20 ° ．
【分析】根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB，根据线段垂直平分线的性质得到 EA＝EB，FA＝FC，根据等腰三角形的性质、结合图形计算，得到答案．
【解答】解：∵∠BAC＝80°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC＝100°，
∵DE，FG分别是AB，AC边的垂直平分线，
∴EA＝EB，FA＝FC，
∴∠EAB＝∠ABC，∠FAC＝∠ACB，
∴∠FAE＝∠EAB+∠FAC﹣∠BAC＝100°﹣80°＝20°，
故答案为：20°．
16．（2018春•鲤城区校级期末）如图，已知等边△ABC的边长为10，P是△ABC内一点，PD平行AC，
PE平行AD，PF平行BC，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，则PD+PE+PF＝ 1 0 ．
【分析】作辅助线，根据平行四边形的判定和性质及等边三角形的性质，可证PD+PE+PF＝AB＝10．
【解答】解：过E点作EG∥PD，过D点作DH∥PF，
∵PD∥AC，PE∥AD，
∴PD∥GE，PE∥DG，
∴四边形DGEP为平行四边形，
∴EG＝DP，PE＝GD，
又∵△ABC是等边三角形，EG∥AC，
∴∠BGE＝∠A＝60°，∠GEB＝∠C＝60°，
∴△BEG为等边三角形，
∴EG＝PD＝GB，
同理可证：DH＝PF＝AD，
∴PD+PE+PF＝BG+GD+AD＝AB＝10．17．（2022•瓯海区一模）小芳和小林为了研究图中“跑到画板外面去的两直线 a，b所成的角（锐角）”
问题，设计出如下两个方案：
小林的方案 小芳的方案
测 ， 的度数． 测∠1，∠ACB的度数．
已知小林测得∠α＝β115°，小芳作了AB＝BC，并测得∠1＝80°，则直线a，b所成的角为 45 ° ．
β【分析】设直线a，b交于点D．根据邻补角定义求出∠DAB＝180°﹣∠ ＝65°，∠BAC＝∠ ﹣∠1＝
35°．根据等腰三角形的性质得出∠ACB＝∠BAC＝35°，利用三角形β 外角的性质求出∠β DBA＝
∠ACB+∠BAC＝70°，最后根据三角形内角和定理求出∠ADB＝180°﹣∠DAB﹣∠DBA＝45°．
【解答】解：如图，设直线a，b交于点D．
由题意可得，∠DAB＝180°﹣∠ ＝180°﹣115°＝65°，
∠BAC＝∠ ﹣∠1＝115°﹣80°＝β35°．
∵AB＝BC，β
∴∠ACB＝∠BAC＝35°，
∴∠DBA＝∠ACB+∠BAC＝70°，
∴∠ADB＝180°﹣∠DAB﹣∠DBA＝180°﹣65°﹣70°＝45°．
即两直线a，b所成的角（锐角）为45°．
故答案为：45°．
18．（2022春•源城区月考）如图，在△ABC中，BC＝8，AB的中垂线交BC于E，AC的中垂线交BC于
G，则△AGE的周长等于 8 ．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EB，GA＝GC，再根据三角形的周长公式计算即可．【解答】解：∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
同理，GA＝GC，
∴△AGE的周长＝AE+EF+GA＝BE+EG+GC＝BC＝8，
故答案为：8．
三．解答题（共6小题）
19．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，点D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，E，F为垂足，求证：D在
∠BAC的角平分线上．
【分析】证明△BDE≌△DCF得到DE＝DF，然后根据角平分线的性质定理的逆定理得到结论．
【解答】解：∵点D是BC的中点，
∴BD＝CD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEB＝∠DFC＝90°，
在△BDE和△DCF中，
，
∴△BDE≌△DCF（AAS），
∴DE＝DF，
而DE⊥AB，DF⊥AC，
∴D在∠BAC的角平分线上．
20．（2021秋•汉阴县校级期末）如图，已知△ACD的周长是14，AB﹣AC＝2，BC的垂直平分线交AB于
点D，BC交AB于点D，交BC于点E，求AB和AC的长．【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DB＝DC，根据三角形的周长公式和已知列出方程组，解方程
组即可．
【解答】解：∵BC的垂直平分线交AB于点D，
∴DB＝DC．
∵△ACD的周长是14，
∴AD+AC+CD＝14，即AC+AB＝14，
则 ，
∴AB＝8，AC＝6．
21．（2022春•盐湖区月考）如图，在△ABC中，∠ABC＝20°，∠ACB＝65°，DE，FG分别为AB，AC的
垂直平分线，E，G分别为垂足．
（1）求∠DAF的度数．
（2）若BC的长为50，求△DAF的周长．
【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠BAC，根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，FA＝
FC，根据等腰三角形的性质得到∠DAB＝∠ABC＝20°，∠FAC＝∠ACB＝65°，计算即可；
（2）根据三角形的周长公式计算，得到答案．【解答】解：（1）∵∠ABC＝20°，∠ACB＝65°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝95°，
∵DE，FG分别为AB，AC的垂直平分线，
∴DA＝DB，FA＝FC，
∴∠DAB＝∠ABC＝20°，∠FAC＝∠ACB＝65°，
∴∠DAF＝∠BAC﹣∠DAB﹣∠FAC＝10°；
（2）由（1）可知，DA＝DB，FA＝FC，
∴△DAF的周长＝DA+DF+FA＝DB+DF+FC＝BC＝50．
22．（2020秋•平舆县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D．
（1）若∠B＝39°，求∠CAD的度数；
（2）若点E在边AC上，EF∥AB交AD的延长线于点F．求证：AE＝FE．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠BAD＝∠CAD，根据三角形的内角和即可得到∠BAD＝
∠CAD＝90°﹣39°＝51°；
（2）根据等腰三角形的性质得到∠BAD＝∠CAD根据平行线的性质得到∠F＝∠CAD，等量代换得到
∠BAD＝∠F，于是得到结论．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，AD⊥BC于点D，
∴∠BAD＝∠CAD，∠ADC＝90°，
又∠B＝39°，
∴∠BAD＝∠CAD＝90°﹣39°＝51°；
（2）∵AB＝AC，AD⊥BC于点D，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵EF∥AB，
∴∠F＝∠BAD，
∴∠CAD＝∠F，
∴AE＝FE．23．（2021•路南区三模）如图，△ABC是等边三角形，D、E、F分别是AB、BC、AC上一点，且∠DEF
＝60°．
（1）若∠1＝50°，求∠2；
（2）连接DF，若DF∥BC，求证：∠1＝∠3．
【分析】（1）根据等边三角形的性质和三角形的内角和解答即可；
（2）根据平行线的性质和三角形的内角和解答即可．
【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠A＝∠C＝60°，
∵∠B+∠1+∠DEB＝180°，
∠DEB+∠DEF+∠2＝180°，
∵∠DEF＝60°，
∴∠1+∠DEB＝∠2+∠DEB，
∴∠2＝∠1＝50°；
（2）连接DF，
∵DF∥BC，
∴∠FDE＝∠DEB，
∵∠B+∠1+∠DEB＝180°，∠FDE+∠3+∠DEF＝180°，
∵∠B＝60°，∠DEF＝60°，
∴∠1＝∠3．
24．（2021秋•宜州区期末）如图，点D在等边△ABC的外部，E为BC边上的一点，AD＝CD，DE交AC
于点F，AB∥DE．
（1）判断△CEF的形状，并说明理由；
（2）若BC＝10，CF＝4，求DE的长．【分析】（1）利用平行线的性质，证明∠CEF＝∠ABC，∠CFE＝∠CAB，然后利用三个角相等的三角
形是等边三角形即可解答；
（2）连接BD，根据已知易证BD是线段AC的垂直平分线，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得
BD平分ABC，最后根据角平分线和平行证明△BDE是等腰三角形即可解答．
【解答】解：（1）△CEF是等边三角形，
理由：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC，
∵AB∥DE，
∴∠CEF＝∠ABC，∠CFE＝∠CAB，
∴∠CEF＝∠CFE＝∠ECF
∴△CEF是等边三角形；
（2）连接BD，∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，
∵AD＝CD，
∴BD是线段AC的垂直平分线，
∴BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵AB∥DE
∴∠ABD＝∠BDE，
∴∠BDE＝∠CBD，
∴BE＝DE，
∴BC＝BE+EC＝DE+CF
∴DE＝BC﹣CF＝10﹣4＝6．
