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特训07 期末选填压轴题（历年经典考题汇编）
一、单选题
1．（2022上·广东深圳·七年级校考期中）对于正数 ，规定 ，例如
，则
的结果是（ ）
A． B．4 C． D．4
【答案】A
【分析】计算出 的值，总结出其规律，再求所求的式子的值即可．
【解析】解： ，
， ，
，
．
故选：A．
1【点睛】本题考查数字的变化类、有理数的混合运算，代数式求值，解答本题的关键是明确题意，利用题
目中的新规定解答．
2．（2022上·福建泉州·七年级校考期末）如图，数轴上顺次有A、B、D、E、P、C六个点，且任意相邻
两点之间的距离都相等，点A、B、C对应的数分别为a、b、c，下列说法：①若 ，则D是原点；
②若 ，则原点在B、D之间；③若 ，则 ；④若原点在D、E之间，则
，其中正确的结论有（ ）
A．①②③ B．①③ C．③④ D．①③④
【答案】B
【分析】设相邻两点之间的距离为x，则 ， ，①原式变形可得 ，①正确；②由
数轴知， ， ，若 ，则原点在B、A之间；故②错误；③若 ，则 ，③正确；④若
原点在D、E之间，则 ，可得 ， ，可判断
.即 取值不一定小于0，故④错误；
【解析】解：设相邻两点之间的距离为x，则 ， ，
①若 ，则 ，
∴ ，即点D是原点，①正确；
②若 ，由数轴知， ，
∴ ， ，
若 ，则原点在B、A之间；故②错误；
③若 ，则 ， ，
∴ ，故③正确；
④若原点在D、E之间，则 ，
，
∴ .
∴
2∴ .可知 取值不一定小于0，
∴ 不一定成立，故④错误；
故选：B．
【点睛】本题主要考查数轴比较实数大小，数轴表示数，绝对值的化简，不等式的性质，运用数形结合思
想是解题的关键．
3．（2021上·天津和平·七年级耀华中学校考期中）|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|的最小值是a，
，那么 的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．不确定
【答案】C
【分析】根据绝对值的意义，先求出a的值，然后进行化简，得到 ，则 ， ，再进行
化简计算，即可得到答案．
【解析】解：∵|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|的最小值是a，
∴当 时，|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|有最小值8，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴
∴
=
=
3=
=
=0；
故选：C．
【点睛】本题考查了绝对值的意义，求代数式的值，解题的关键是掌握绝对值的意义，正确的求出 ，
， ．
4．（2022上·浙江绍兴·九年级校考期末）大数据时代出现了滴滴打车服务，二孩政策的放开使得家庭中有
两个孩子的现象普遍存在．某城市关系要好的A，B，C，D四个家庭各有两个孩子共8人，他们准备使用
滴滴打车软件，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名(乘同一辆车的4个孩子不考虑位置)，其中A
家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4个孩子恰有2个来自于同一个家庭的乘坐方式共有（ ）
A．18种 B．24种 C．36种 D．48种
【答案】B
【分析】根据题意，分2种情况讨论：①A户家庭的孪生姐妹在甲车上，甲车上剩下两个要来自不同的家
庭，②A户家庭的孪生姐妹不在甲车上，每种情况下分析乘坐人员的情况，可得其乘坐方式的数目．
【解析】解：根据题意，分2种情况讨论：
①A户家庭的孪生姐妹在甲车上，甲车上剩下两个要来自不同的家庭，
可以在剩下的三个家庭中任选2个，再从每个家庭的2个小孩中任选一个，来乘坐甲车，
有 种乘坐方式；
②A户家庭的孪生姐妹不在甲车上，
需要在剩下的三个家庭中任选1个，让其2个小孩都在甲车上，
对于剩余的2个家庭，从每个家庭的2个小孩中任选一个，来乘坐甲车，
有 种乘坐方式；
则共有 种乘坐方式；
故选：B．
【点睛】本题考查了有理数乘法的应用，关键是依据题意，分析“乘坐甲车的4名小孩恰有2名来自于同
一个家庭”的可能情况．
5．（2023·重庆沙坪坝·重庆一中校考一模）在多项式 中，除首尾项a、 外，其余各项都
可闪退，闪退项的前面部分和其后面部分都加上绝对值，并用减号连接，则称此为“闪减操作”．每种
“闪减操作”可以闪退的项数分别为一项，两项，三项．“闪减操作”只针对多项式 进行．
4例如： “闪减操作”为 ， 与 同时“闪减操作”为 ，…，下列说法：
①存在对两种不同的“闪减操作”后的式子作差，结果不含与e相关的项；
②若每种操作只闪退一项，则对三种不同“闪减操作”的结果进行去绝对值，共有8种不同的结果；
③若可以闪退的三项 ， ， 满足：
，则 的最小值为 ．
其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】①根据“闪减操作”的定义，举出符合条件的式子进行验证即可；
②先根据“闪减操作”的定义进行运算，再分类讨论去绝对值，即可判断；
③根据“闪减操作”的定义和绝对值的几何意义，求出 ， ， 的最小值，即可得出结论．
【解析】① “闪减操作”后的式子为 ， “闪减操作”后的式子为 ，对
这两个式子作差，得：
，
结果不含与e相关的项，故①正确；
②若每种操作只闪退一项，共有三种不同“闪减操作”：
“闪减操作”结果为 ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
“闪减操作”结果为 ，
当 时， ，
当 时， ，
5当 时， ，
当 时， ，
“闪减操作”结果为 ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
共有12种不同的结果，故②错误；
③∵ ，在数轴上表示点 与 和 的距离之和，
∴当距离取最小值 时， 的最小值为 ，
同理： ，在数轴上表示点 与 和 的距离之和，
∴当距离取最小值 时， 的最小值为 ，
，在数轴上表示点 与 和 的距离之和，
∴当距离取最小值 时， 的最小值为 ，
∴当 ， ， 都取最小值时，
，
此时， 的最小值为 ，故③正确；
故选C．
【点睛】本题主要考查了新定义运算，绝对值的几何意义，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键．
6．（2021·浙江杭州·统考一模）a是不为2的有理数，我们把 称为a的“哈利数”．如：3的“哈利
数”是 ＝﹣2，﹣2的“哈利数”是 ，已知a＝3，a 是a 的“哈利数”，a 是a 的“哈利
1 2 1 3 2
6数”，a 是a 的“哈利数”，…，依此类推，则a ＝（ ）
4 3 2019
A．3 B．﹣2 C． D．
【答案】C
【分析】分别求出数列的前5个数得出该数列每4个数为一周期循环，据此可得答案．
【解析】∵a＝3，
1
∴a＝ ＝﹣2，
2
a＝ ，
3
a＝ ，
4
a＝ ，
5
∴该数列每4个数为1周期循环，
∵2019÷4＝504…3，
∴a ＝a＝ ．
2019 3
故选：C．
【点睛】本题考查了数字的规律变化，通过观察数字，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问
题是解题的关键．
7．（2021上·北京海淀·七年级人大附中校考期末）已知有理数 满足： ．如图，在
数轴上，点 是原点，点 所对应的数是 ，线段 在直线 上运动（点 在点 的左侧）， ，
下列结论
① ；
②当点 与点 重合时， ；
③当点 与点 重合时，若点 是线段 延长线上的点，则 ；
④在线段 运动过程中，若 为线段 的中点， 为线段 的中点，则线段 的长度不变．
其中正确的是（ ）
7A．①③ B．①④ C．①②③④ D．①③④
【答案】D
【分析】根据平方式和绝对值的非负性求出a和b的值，然后根据数轴上两点之间距离的计算方法和中点
的表示方法去证明命题的正确性．
【解析】解：∵ ， ，且 ，
∴ ， ，解得 ， ，故①正确；
当点 与点 重合时，
∵ ， ，
∴ ，故②错误；
设点P表示的数是 ，
当点 与点 重合时，点B表示的数是2，
， ， ，
∴ ，故③正确；
设点B表示的数是 ，则点C表示的数是 ，
∵M是OB的中点，
∴点M表示的数是 ，
∵N是AC的中点，
∴点N表示的数是 ，
则 ，故④正确．
故选：D．
【点睛】本题考查数轴的性质，解题的关键是掌握数轴上两点之间距离的求解，中点的表示方法．
8．（2020上·山西吕梁·七年级统考期末）“幻方”在中国古代称为“河图”、“洛书”，又叫“纵横图”.
其主要性质是在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任意一横行，一纵行及对角线的几个数
之和都相等.图（l）所示是一个 幻方.有人建议向火星发射如图（2）所示的幻方图案，如果火星上有智
能生物，那么他们可以从这种“数学语言”了解到地球上也有智能生物（人）.图（3）是一个未完成的
幻方，请你类比图（l）推算图（3）中 处所对应的数字是（ ）
8A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】设第1列第3行的数字为x,P处对应的数字为p,根据每一横行、每一竖列以及斜对角线上的点数的
和相等，可得x+1+（-2）=x +（-3）+p，可得P处数字．
【解析】解：设第1列第3行的数字为x,P处对应的数字为p,根据题意得，
x+（-2）+1=x+(-3)+p，解得p=2，
故选：B．
【点睛】本题通过九方格考查了有理数的加法．九方格题目趣味性较强，本题的关键是找准每一横行、每
一竖列以及两条斜对角线上的数字的和相等，据此列方程求解．
9．（2023下·重庆九龙坡·八年级重庆实验外国语学校校考期末）有依次排列的两个不为零的整式
，用后一个整式与前一个整式求和后得到新的整式 ，用整式 与前一个整
式 作差后得到新的整式 ，用整式 与前一个整式 求和后得到新的整式
，依次进行作差、求和的交替操作得到新的整式．下列说法：①当 时， ；
② ；③ ；④ ．其中，正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】根据依次进行作差、求和的交替操作、发现规律，然后再依次判断即可解答．
【解析】解：由题意依次计算可得：
，
，
9，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
当 时， ，即①正确；
由 ，则②正确；
由变形过程中，不会出现整式为负的情况，故③错误；
观察发现： ，以此类推可得： ，即 ，故④
正确．
故选：D．
【点睛】题考查了整式的加减、数字规律等知识点，正确理解题意和熟练进行整式的运算并发现规律是解
题的关键．
10．（2023上·浙江台州·七年级统考期末）如图，在两个完全相同的大长方形中各放入五个完全一样的白
色小长方形，得到图（1）与图（2）．若 ，则图（1）与图（2）阴影部分周长的差是（ ）
10A．m B． C． D．
【答案】C
【分析】设小长方形的宽为 ，长为 ，大长方形的宽为 ，表示出 、 、 、 之间的关系，然后求出
阴影部分周长之差即可．
【解析】解：设小长方形的宽为 ，长为 ，大长方形的宽为 ，
由图（1）得 ；
由图（2）得 ， ；
，
，
图（1）中阴影部分的周长为： ，
图（2）中阴影部分的周长为： ，
阴影部分的周长之差为： ，
故选：C．
【点睛】本题考查了整式的加减，列代数式，正确得出各图中阴影部分周长的代数式是解题的关键．
11．（2022上·湖南湘西·八年级统考期末）一列数 ， ， ，…， ，其中则 ， ，
，……， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意和题目中的数据，可以计算出这列数的前几个数据，从而可以发现数字的变化特点，然
11后即可求得所求式子的值．
【解析】∵ ，
，
，
，
∴这列数是 、 、 、 、 、 、 ，发现这列数每三个循环，
由 ，且
∴
故选：B．
【点睛】本题主要考查了数字类规律问题，同时考查了有理数的加减乘除乘方的运算，注意观察总结规律，
并能正确的应用规律是解答此题的关键
12．（2022下·浙江宁波·七年级校考期中）将大小不一的正方形纸片①、②、③、④放置在如图所示的长
方形ABCD内（纸片之间不重叠），那么阴影部分⑥与阴影部分⑤的周长之差与正方形（ ）（填编
号）的边长有关．
A．① B．② C．③ D．④
【答案】B
【分析】设①的边长为a,②的边长是m．长方形⑤的长和宽之和等于正方形①的边长，长方形⑥（包含④
时）的长和宽之和等于正方形①的边长与长方形②的边长之和，据此可以求出阴影部分⑤、⑥的周长，即
可求解．
12【解析】设①的边长为a，②的边长是m．
∵图形①、②、③、④是正方形，
∴长方形⑤的长和宽之和等于正方形①的边长，长方形⑥（包含④时）的长和宽之和等于正方形①的边长
与长方形②的边长之和，
∴阴影部分⑤的周长是2a，阴影部分⑥的周长是2(a+m)，
∴阴影部分⑥﹣阴影部分⑤＝2(a+m)﹣2a＝2m．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了根据图形列代数式的知识，根据图形的特点得出，长方形⑤的长和宽之和等于正
方形①的边长，长方形⑥（包含④时）的长和宽之和等于正方形①的边长与长方形②的边长之和，是解答
本题的关键．
13．（2020·浙江杭州·模拟预测）若 ，
则使p最接近 的正整数n是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【分析】先用“裂项法”变形化简得到p，再根据分子不变，分母越大分数值越小，所以先确定n=4时的p
值，看其与 的大小，即可求出结论．
【解析】解：原式
当 时，
当 时，
当分子不变时，分母越大分数值越小，
∴当n=6和n=7时的分数值均小于n=4和n=5时，
∴当n=4时最接近 ．
13故选：A．
【点睛】本题考查分式的加减法，熟练运用“裂项法”进行变形化简是解题的关键．
14．（2023上·浙江宁波·七年级统考期末）已知关于x的一元一次方程 的解是 ，
关于y的一元一次方程 的解是 （其中b和c是含有y的代数式），则下列结论
符合条件的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据 ， 得到 ，得到 的解为 ，类比
得到答案．
【解析】∵ ， 得到 ，
∴ 的解为 ，
∵方程 的解是 ，
∴ ，
故选B．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解即使得方程左右两边相等的未知数的值，正确理解定义是解题的关
键．
15．（2022上·七年级单元测试）实验室里，水平桌面上有半径相同的甲、乙、丙三个圆柱形容器(容器足
够高)，用两个相同的管子在容器的 高度处连通(即管子底端离容器底 )．现三个容器中，只有甲中
有水，水位高 ，如图所示，若每分钟同时向乙和丙注入相同量的水，开始注水1分钟，乙的水位上升
，则开始注入( )分钟的水量后，乙的水位高度比甲的水位高度高 ．
14A．3 B．6 C．3或6 D．3或9.3
【答案】D
【分析】在容器乙中的水未注入容器甲之前，注入的水仅存放在乙、丙容器内；在容器乙中的水注入容器
甲之后，注入容器乙和丙中的水流入到甲容器中，在注入的过程中产生 的高度差．
【解析】解：当容器乙中的水未注入容器甲之前，
由题意，注入单个容器中水位上升的高度与时间的关系为 /分钟， 所以当乙中水位为 时满足条
件，所用时间为： (分钟)；
当容器乙中的水注入容器甲之后，当甲容器中的水位为 ，容器乙中的水位为 时，满足题意，
设注水时间为x，则 ，解得 (分钟)，
要使乙中水位高出甲 ，则需注水的时间为： 分钟．
故选：D．
【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，根据题意分析产生水位差的两种情况是解答本题的关键点，建
立方程时要注意甲容器中原有的水．
16．（2022下·重庆·七年级统考期末）对于任意一个正整数 可以按规则生成无穷数串： ， ， ，…，
， ，…（其中 为正整数），规则为： ．
下列说法：
①若 ，则生成的这数串中必有 （ 为正整数）；
②若 ，生成的前2022个数之和为55；
③若生成的数中有一个 ，则它的前一个数 应为32；
15④若 ，则 的值只能是9．其中正确的个数是（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】根据规则分别求出 的值，再归纳类推出一般规律即可判断①；先分别求出
的值，再归纳类推出一般规律，然后求和即可判断②；分 为偶数和 为奇数两种情况，
分别根据规则建立方程，解方程求出 的值即可判断③；根据规则分别建立方程，解方程求出 的值
即可判断④．
【解析】解：当 时， ，
，
，
由此可知， 的值是以 循环往复的，
所以若 ，则生成的这数串中必有 （ 为正整数），说法①正确；
当 时， ，
，
，
，
，
，
则从 开始， 的值是以 循环往复的，
16因为 ，
所以若 ，生成的前2022个数之和为
，说法②错误；
若 为偶数，则 ，解得 ，符合题设，
若 为奇数，则 ，解得 ，符合题设，
所以若生成的数中有一个 ，则它的前一个数 应为32或5，说法③错误；
当 时，因为7为奇数，
所以 ，解得 为偶数，
所以 或 ，
解得 或 （舍去），
所以 或 ，
解得 或 ，均符合题意，
即若 ，则 的值是9或56，说法④错误；
综上，正确的个数是1个，
故选：A．
【点睛】本题考查了数字类规律探索、一元一次方程的应用，理解规则，正确归纳类推出一般规律是解题
关键．
17．（2022上·四川达州·七年级统考期末）如图，正方形ABCD的轨道上有两个点甲与乙，开始时甲在A
处，乙在C处，它们沿者正方形轨道顺时针同时出发，甲的速度为每秒1cm，乙的速度为每秒5cm，已知
正方形轨道ABCD的边长为2cm，则乙在第2022次追上甲时的位置（ ）
17A．AB上 B．BC上 C．CD上 D．AD上
【答案】B
【分析】根据题意列一元一次方程，然后观察规律，四次一循环，即可求得结论．
【解析】解：设乙走x秒第一次追上甲，
根据题意，得5x-x=4，
解得x=1，
∴乙走1秒第一次追上甲，则乙在第1次追上甲时的位置是AB上；
设乙再走y秒第二次追上甲，
根据题意，得5y-y=8，解得y=2，
∴乙再走2秒第二次追上甲，则乙在第2次追上甲时的位置是BC上；
同理：乙再走2秒第三次次追上甲，则乙在第3次追上甲时的位置是CD上；
同理乙再走2秒第四次追上甲，则乙在第4次追上甲时的位置是DA上；
乙在第5次追上甲时的位置又回到AB上；
∴ ，
∴乙在第2022次追上甲时的位置是BC上．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解决本题的关键是寻找规律确定位置．
18．（2022上·江苏无锡·七年级校联考期末）如图，长方形ABCD中，AB＝8cm，AD＝6cm，P，Q两动点
同时出发，分别沿着长方形的边长运动，P点从B点出发，顺时针旋转一圈，到达B点后停止运动，Q点
的运动路线为B→C→D，P，Q点的运动速度分别为2cm/秒，1cm/秒，当一个动点到达终点时，另一个动
点也同时停止运动．设两动点运动的时间为t秒，要使 BDP和 ACQ的面积相等，满足条件的t值的个数
为（ ） △ △
18A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】分五种情况，根据运动的路径和△BDP和△ACQ的面积相等列出方程，求解即可．
【解析】解：由题意进行分类讨论：
①当P点在AB上，Q点在BC上时（t≤4），
BP＝2t，CQ＝6﹣t，
要使 BDP与 ACQ面积相等，则
△ △
，
解得： ；
②当P点在AD上，Q点在BC上时（4＜t≤6），
DP＝14﹣2t，CQ＝6﹣t，
要使 BDP与 ACQ面积相等，则DP＝CQ，
即14△﹣2t＝6﹣△t，
解得：t＝8（舍去）；
③当P点在AD上，Q点在CD上时（6＜t≤7），
19DP＝14﹣2t，CQ＝t﹣6，
要使 BDP与 ACQ面积相等，则
△ △
，
解得t＝ ；
④当P点在CD上，Q点在CD上时（7＜t≤11），
DP＝2t﹣14，CQ＝t﹣6，
要使 BDP与 ACQ面积相等，则DP＝CQ，
即2t﹣△14＝t﹣△6，
解得：t＝8；
⑤当P点在BC上，Q点在CD上时（11＜t≤14），
BP＝28﹣2t，CQ＝t﹣6，
要使 BDP与 ACQ面积相等，则
△ △
，
20解得：t＝ ；
综上可得共有4种情况满足题意，所以满足条件的t值得个数为4．
故选：C．
【点睛】本题考查了长方形的性质、三角形的面积以及一元一次方程的应用，读懂题意，找到等量关系，
列出方程是解题的关键，注意：需要分类讨论．
19．（2023上·江苏徐州·七年级校考期末）如图，点M在线段AN的延长线上，且线段 ，第一次
操作：分别取线段 和 的中点 、 ；第二次操作：分别取线段 和 的中点 ， ；第
三次操作：分别取线段 和 的中点 ， ；…连续这样操作2023次，则每次的两个中点所形成
的所有线段之和 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据 ， 分别为 的中点，求出 的长度，再由 的长度求出
的长度，找到 的规律即可求出 的值．
【解析】解：∵ ， 分别为 的中点，
∴ ，
∵ 分别为 的中点，
∴ ，
∵ 分别为 的中点，
∴ ，
21……
由此可得： ，
∴ ，
故选C．
【点睛】本题考查线段中点的有关计算，有理数的简便运算，相对较难，根据题意找出规律是解题的关键．
20．（2022上·山东济南·七年级济南育英中学校考期末）如图，点 在线段 的延长线上，且线段
，第一次操作：分别取线段 和 的中点 、 ；第二次操作：分别取线段 和 的
中点 ， ；第三次操作：分别取线段 和 的中点 ， ； 连续这样操作15次，则每次
的两个中点所形成的所有线段之和 ＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据线段中点定义先求出 的长度，再由 的长度求出 的长度，从而找到 的规
律，即可求出结果．
【解析】解： 线段 ，线段 和 的中点分别为 ， ，
，
22线段 和 的中点 ， ，
，
发现规律：
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了线段规律性问题，与中点有关的计算，准确根据题意找出规律是解决本题的关键，比
较有难度．
21．（2022上·天津·七年级天津外国语大学附属外国语学校校考期末）一副三角板ABC、DBE，如图1放
23置，（∠D＝30°、∠BAC＝45°），将三角板DBE绕点B逆时针旋转一定角度，如图2所示，且0°＜
∠CBE＜90°，则下列结论中正确的是（ ）
①∠DBC+∠ABE的角度恒为105°；
②在旋转过程中，若BM平分∠DBA，BN平分∠EBC，∠MBN的角度恒为定值；
③在旋转过程中，两块三角板的边所在直线夹角成90°的次数为2次；
④在图1的情况下，作∠DBF＝∠EBF，则AB平分∠DBF．
A．① B．② C．①②④ D．①②③④
【答案】B
【分析】根据直角三角形两锐角互余、角平分线的定义、角的和差逐个判断即可得．
【解析】解：
如图1，当 时
如图2，当 时
因此， 的角度不恒为 ，则①错误
如图1，当 时
由角平分线的定义得
24如图2，当 时
由角平分线的定义得
因此， 的角度恒为定值 ，则②正确
边与三角板 的三边所在直线夹角不可能成
如图1，当 时，设DE与AB的交点为F
，即
DE只与三角板 的AB边所在直线夹角成 ，次数为1次；DB只与三角板 的BC边所在直线
夹角成 ，次数为1次
如图2，当 时，延长DE交AB于点F
，即
25只有DB与三角板 的AB边所在直线夹角成 ，次数为1次
因此，在旋转过程中，两块三角板的边所在直线夹角成 的次数为3次，则③错误
如图3，作
，即 平分
如图4，作
显然 不平分 ，则④错误
综上，正确的个数只有②这1个
故选：B．
【点睛】本题是一道较难的综合题，考查了直角三角形两锐角互余、角平分线的定义、角的和差等知识点，
依据 正确分两种情况讨论是解题关键．需注意的是，不能受两个示意图的影响，而少讨论
一种情况．
22．（2018·山东济宁·七年级统考期末）如图所示，每个小立方体的棱长为1，按如图所示的视线方向看，
26图1中共有1个1立方体，其中1个看得见，0个看不见；图2中共有8个立方体，其中7个看得见，1个
看不见；图3中共有27个小立方体，其中19个看得见，8个看不见；…，则第11个图形中，其中看得见
的小立方体个数是（ ）
A．271 B．272 C．331 D．332
【答案】C
【分析】根据图①中,共有1个小立方体,其中1个看得见,0=（1-1）3个看不见,
图②中,共有8个小立方体,其中7个看得见,1=（2-1）3个看不见,
图③中,共有27个小立方体,其中19个看得见,8=（3-1）3个看不见,…,
归纳出变化规律:
第n个图中,一切看不见的棱长为1的小立方体的个数为（n-1）3,
看见立方体的个数为n3-（n-1）3,将第11个代入即可求解.
【解析】图①中,共有1个小立方体,其中1个看得见,0=（1-1）3个看不见,
图②中,共有8个小立方体,其中7个看得见,1=（2-1）3个看不见,
图③中,共有27个小立方体,其中19个看得见,8=（3-1）3个看不见,…,
第n个图中,一切看不见的棱长为1的小立方体的个数为（n-1）3,
看见立方体的个数为n3-（n-1）3,
所以则第11个图形中,其中看得见的小立方体有113-103=331个,
故选C.
【点睛】本题主要考查图形变化规律,解决本题的关键是要通过题目条件进行归纳找出图形变化规律.
二、填空题
23．（2020·浙江·七年级期末）如果有4个不同的正整数a，b，c，d满足（2021﹣a）（2021﹣b）（2021
﹣c）（2021﹣d）＝8，那么a+b+c+d的值是 ．
【答案】8086或8082
【分析】根据a、b、c、d是四个不同的正整数，可知四个括号内是各不相同的整数，结合乘积为8分类讨
27论即可解答．
【解析】解：∵a、b、c、d是四个不同的正整数，
∴四个括号内是各不相同的整数，
不妨设（2021﹣a）＜（2021﹣b）＜（2021﹣c）＜（2021﹣d），
又∵（2021﹣a）（2021﹣b）（2021﹣c）（2021﹣d）＝8，
∴这四个数从小到大可以取以下几种情况：①﹣4，﹣1，1，2；②﹣2，﹣1，1，4．
∵（2021﹣a）+（2021﹣b）+（2021﹣c）+（2021﹣d）＝8084﹣（a+b+c+d），
∴a+b+c+d＝8084﹣[（2021﹣a）+（2021﹣b）+（2021﹣c）+（2021﹣d）]，
①当（2021﹣a）+（2021﹣b）+（2021﹣c）+（2021﹣d）＝﹣4﹣1+1+2＝﹣2时，
a+b+c+d＝8084﹣（﹣2）＝8086；
②当（2021﹣a）+（2021﹣b）+（2021﹣c）+（2021﹣d）＝﹣2﹣1+1+4＝2时，
a+b+c+d＝8084﹣2＝8082．
故答案为：8086或8082．
【点睛】本题主要考查的是有理数的混合运算，根据题意得出四个括号中的数和分类讨论思想是解答本题
的关键．
24．（2022上·浙江台州·七年级统考期末）对于有理数 ， ， ，若 ，则称 是 关于
的“相关数”，例如， ，则3是2关于2的“相关数”．若 是 关于1的“相关数”，
是 关于2的“相关数”，…， 是 关于4的“相关数”．则 ．（用含 的式子
表示）
【答案】9﹣3|x﹣1|
【分析】先读懂“相关数”的定义，列出对应等式，再根据等式分析各个数的取值范围，去绝对值，进而
求出结果．
【解析】解：依题意有：|x﹣1|+|x﹣1|＝1，①
1
|x﹣2|+|x﹣2|＝1，②
2 1
|x﹣3|+|x﹣3|＝1，③
3 2
|x﹣4|+|x﹣4|＝1，④
4 3
由①可知0≤x，x≤2，若否，则①不成立，
1
由②可知1≤x，x≤3，若否，则②不成立，
1 2
28同理可知2≤x，x≤4，3≤x，x≤5，
2 3 3 4
∴x﹣1+|x﹣1|＝1，⑤
1
x﹣2+2﹣x＝1，⑥
2 1
x﹣3+3﹣x＝1，⑦
3 2
3×⑤+2×⑥+⑦，得x+x+x﹣3+3|x﹣1|＝6，
1 2 3
∴x+x+x＝9﹣3|x﹣1|．
1 2 3
故答案为：9﹣3|x﹣1|．
【点睛】本题考查绝对值和新定义问题．解题的关键在于读懂题意，列出等式，根据等式判断出五个数的
取值范围，进而去绝对值符号，最后得出结果．注意可以取特殊值，如x＝1或x＝2，来验证计算的结果
是否正确．
25．（2023下·湖南衡阳·七年级校考期末）如果x是一个有理数，我们把不超过x的最大整数记作 ．例
如， ， ， ．那么， ，其中 ．例如， ， ，
．现有 ，则x的值为 ．
【答案】 或 或
【分析】根据 为不超过x的最大整数且 ，可知 是整数，根据 ，得到a为0或 或
，根据 ，得到 ，得到x为 或 或 ．
【解析】∵不超过x的最大整数为 ， ，
∴ 是整数，
∵ ，
∴a为0或 或 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
29∴x为 或 或 ．
故答案为： 或 或 ．
【点睛】本题主要考查了新定义“不超过x的最大整数 ”，解决问题的关键是熟练掌握任意一个有理数
都可以看作一个整数和一个正小数或0的和，进行分类讨论．
26．（2018·全国·九年级专题练习）观察下列等式：
……
请按上述规律，写出第 个式子的计算结果（ 为正整数） ．（写出最简计算结果即可）
【答案】
【分析】利用材料中的“拆项法”解答即可．
【解析】解：由题意可知，第n个式子为：
故答案为： ．
【点睛】考查了规律型：数字的变化规律，有理数的混合运算．解题关键是通过观察，分析、归纳发现其
中的规律，并应用发现的规律解决问题．
27．（2020上·甘肃张掖·七年级校考期末）观察下列各式：1- = ，1- = ，1- = ，根
据上面的等式所反映的规律（1- ）（1- ）（1- ） =
【答案】
【分析】先根据已知等式探索出变形规律，然后根据规律进行变形，计算有理数的乘法运算即可．
30【解析】解：由已知等式可知： ，
，
，
归纳类推得： ，其中n为正整数，
则 ，
因此 ，
，
，
，
故答案为： ．
【点睛】此题考查的是有理数运算的规律题，根据已知等式探索出运算规律并应用是解题关键．
28．（2019上·湖北武汉·七年级统考期中）已知 、 、 是有理数，且 ， 则
的值是 ．
【答案】
【分析】由a+b+c=0和abc为负数可知这三个数中只能有一个负数，另两个为正数；然后把a+b+c=0变形，
最后代入代数式计算即可．
【解析】解：∵ ，
∴ ， ， 中只能有一个负数，另两个为正数，
不妨设 ， ， ，
∵
∴ ， ， ，
∴原式
31．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查的是有理数的混合运算．根据题意得到这三个数中只能有一个负数成为解答本题的
关键．
29．（2020上·辽宁沈阳·七年级统考期末）一组数0，2，4，8，12，18，…中的奇数项和偶数项分别用代
数式 ， 表示，如第1个数为 ，第2个数为 ，第3个数为 ，…，则第8个
数的值是 ，数轴上现有一点 从原点出发，依次以此组数中的数为距离向左右来回跳跃．第1秒时，
点 在原点，记为 ；第2秒点 向左跳2个单位，记为 ，此时点 表示的数为-2；第3秒点 向右跳4
个单位，记为 ，点 表示的数为2；…按此规律跳跃，点 表示的数为 ．
【答案】 32 30
【分析】第8个数为偶数项，代入偶数项的公式即可得出答案；根据数的规律写出前11个数的值，再结合
点的跳跃规律即可得出答案.
【解析】∵第8个数为偶数项
∴第8个数为： ；
由题可知，第4秒点 向左跳8个单位，记为 ，点 表示的数为-6；
第5秒点 向右跳12个单位，记为 ，点 表示的数为6；
…
第11秒点 向右跳60个单位，记为 ，点 表示的数为30;
故答案为32，30.
【点睛】本题考查的是找规律，难度较高，找出两种规律并巧妙结合是解决本题的关键.
30．（2022上·江苏连云港·七年级统考期末）如图是一张 方格纸的左上角的部分，用图中的方式从
左上角的格子开始涂色，直到不能涂色为止，则整个方格纸上被涂色格子的个数为 ．
32【答案】
【分析】由图可得，白色的格子分别是 从而可得第n个数是 ，则其总数是
结合方格纸的大小可求得白色格子的数量，从而可求涂色的格子的数量．
【解析】解：由题意得白色的格子数分别是 ，
∴第n个数是： ，
∴白色格子的总数是： ，
∵方格纸的规格是 ，
∴白色格子的行数是31行，
∴当 时，其白色格子的总数是∶ (个)，
∴涂色的格子的数量为： (个) ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查图形的变化规律，解答的关键是先求出白色的格子的数量，从而可求涂色的格子的
数量．
31．（2023上·广东茂名·七年级统考期末）用火柴按下图中的方式搭图形：
小明发现：按照这种方式搭图形会产生若干个正方形，若使用2022根火柴搭图形，图中会产生
个正方形．
【答案】1211
【分析】先根据已有图形得到图形个数与火柴根数规律和图形个数与正方形个数的规律，然后根据规律解
33答即可．
【解析】解：图①中火柴棒的根数 ，正方形个数为
图②中火柴棒的根数 ，正方形个数为
图③中火柴棒的根数 ，正方形个数为
第n个图形需要的火柴根数为： ，正方形个数为 ；
令 ，解得： ，
∵图n中正方形的个数为 ，
∴第404个图形中，正方形的个数为 （个）．
故答案为1211．
【点睛】本题主要考查了图形变化规律的考查，仔细观察图形得到后一个图形比前一个图形多5根火柴棒
以及正方形个数的规律是解题的关键．
32．（2023下·重庆·七年级统考期末）若一个三位正整数 （各个数位上的数字均不为0），若满足
，则称这个三位正整数为“合九数”．对于一个“合九数”m，将它的十位数字和个位数字交
换以后得到新数n；记 ，则 ，对于一个“合九数”m，若 能被8整除，
则满足条件的“合九数”m的最大值是 ．
【答案】 171
【分析】按照 的定义计算即可；设 ,则 ,由题可得
，由 能被8整除，即 是8的整数倍，得到 ，即b最大时，
“合九数”m最大，得到结果．
【解析】解： ，
设 ，则 ，
∴ ，
34又∵ ，
∴ ，
即
，
∵ 能被8整除，
∴ 是 的整数倍，
又 的整数，
∴ ，
即： ，
∵b最大时，“合九数”m最大，
所以当 时，m最大为 ．
故答案为： ， ．
【点睛】本题考查新定义运算，整式的运算，理解新定义是解题的关键．
33．（2023上·湖北武汉·七年级校考期末）如图，点O为原点，A、B为数轴上两点， ，且
，点P从点B开始以每秒4个单位的速度向右运动，当点P开始运动时，点A、B分别以每秒5
个单位和每秒2个单位的速度同时向右运动，设运动时间为t秒，若 的值在某段时间内不
随着t的变化而变化，则 ．
【答案】2.5或5.5
【分析】设经过 秒，可得 ， ， ，所以
，可知当 时， 的值在某段时间内不随着 的变化而变
化．
【解析】解： ， ，
， ，
点对应数为 ， 点对应数为5，
35设经过 秒，则 ， ， ，
当 时，
，
当 ，即 时， 的值在某段时间内不随着 的变化而变化，
当 时，
，
当 ，即 时，上式为定值 ，也不随 发生改变，
故 为2.5或5.5．
故答案为：2.5或5.5
【点睛】本题考查了数轴，解题的关键是读懂题意，用含字母的式子表示点运动后表示的数．
34．（2022上·上海·七年级校考期末）观察下列算式：
； ； ； ； ．
用你所发现的规律，化简： （ 为正整数）．
【答案】
【分析】先根据 ； ； ； ； 得
出 ，再将 变形成题目中
的形式，化简即可得到答案．
【解析】解： ， ， ， ，
，
36，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了数字的变化规律问题，解题的关键是认真阅读题目中数字变化的规律，得出
，难点在于将 变形为符
合题目的形式．
35．（2022上·江苏南京·七年级统考期中）如图是一个“数值转换机”，若输入的数 ，则输出的结
果为 ．
【答案】
【分析】把 代入数值转换机中计算即可求出结果．
【解析】解：当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
∴输出的结果是 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数混合运算顺序和运算法则，根据数值
转换机列出对应算式．
36．（2022下·湖南岳阳·七年级统考期末）已知
37，根据前面各式的规律，可得：
； 的值的个位数字是
．
【答案】 ； 7
【分析】仿照阅读材料中的等式写出 的结果即可；利用得出的规律化简，计
算即可求出值．
【解析】解：由题意可得： ；
由以上过程可知： ，
∴ ，
∵ ，个位数字为2， ，个位数字为4， ，个位数字为8， ，个位数字为6；
，个位数字为2， ，个位数字为4， ，个位数字为8， ，个位数字为6；
…；
∴ 的各位数字与 的各位数字相同，都是8，
∴ 的值的个位数字是8-1=7．
故答案为： ； 7．
【点睛】本题考查规律问题等知识，解题的关键是学会或转化的思想思考问题，学会从特殊到一般的探究
规律的方法．
37．（2023上·贵州遵义·七年级统考期末）如图，将一条长为 的卷尺铺平后折叠，使得卷尺自身的一
部分重合，然后在重合部分（阴影处）沿与卷尺边垂直的方向剪一刀，此时卷尺分为了三段，若这三段长
度由短到长的比为 ，其中没有完全盖住的部分最长，则折痕对应的刻度可能是 cm．
38【答案】 或
【分析】先根据三段长度的比求出各段的长度，从而可求出剪断处对应的刻度，设折痕对应的刻度是 ，
从尺子的左端点到折痕处的长度为： ，再根据另两段的长度建立方程，解方程即可得．
【解析】解：由题意，最长段那部分的长度为 ，
另两段的长度分别为 和 ，
因为没完全盖住的部分最长，
所以剪断处对应的刻度为 ，
设折痕对应的刻度是 ，
则 或 ，
解得 或 ，
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，正确求出剪断处对应的刻度是解题关键．
38．（2022上·广东广州·七年级统考期末）如图，在一条直线上从左到右有点A，B，C，其中点A到点B
的距离为2个单位长度，点C到点B的距离为7个单位长度，动点M在直线 上从点A出发，以每秒2
个单位长度的速度向点C移动，到达点C后停止移动；动点N在直线 上从点B出发，以每秒1个单位
长度的速度向点C移动，到达点C后停止移动；动点M，N同时出发，t秒后M，N两点间距离是1，则
．
【答案】1或3或6
【分析】分 在 左侧1个单位长度，和点 超过点 右侧1个单位长度，以及 到达 点后， 点继
续运动三种情况，进行讨论求解即可．
【解析】解：由题意，得： ， ，
∴ ，
∴ 点的运动时间为： 秒， 点的运动时间为： 秒，
①当 在 左侧1个单位长度时：
39，即： ，解得： ；
②当点 超过点 右侧1个单位长度时：
，即： ，解得： ；
③ 到达 点时， 点运动： 个单位长度，距离点 还有 个单位长度，因此点
再运动 个单位长度时，即再运动 秒后，与 相距1个单位长度，此时 ；
综上：M，N两点间距离是1时， 1或3或6；
故答案为：1或3或6．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用．解题的关键是利用数形结合，分类讨论的思想，列出方程进行求
解．
39．（2022上·湖北襄阳·七年级统考期末）如图， 在 内部，且 ， 是
的平分线， ，则下列结论：① ；② ；③
；④ ．其中正确结论有 （写序号）．
【答案】①②④
【分析】根据 ， ，得到 ，进而得到 ，根
40据 是 的平分线，得到 ，再根据角之间的和差，倍数关系，逐一进行
判断即可．
【解析】解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ；故①正确；
∴ ，
∵ 是 的平分线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故②正确；
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故③错误；
∵ ， ，
∴ ；故④正确；
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查几何图形中角度的计算．正确的识图，理清角度之间的和差，倍数关系，是解题的关键．
40．（2023上·江苏泰州·七年级统考期末）如图， 于点 ， ，射线 从
出发，绕点 以每秒 的速度顺时针向终边 旋转，同时，射线 从 出发，绕点 以每秒
的速度顺时针向终边 旋转，当 、 中有一条射线到达终边时，另一条射线也随之停止．在旋转过
41程中，设 ， ，则 与 之间的数量关系为 ．
【答案】 或
【分析】分 和 ，两种情况进行讨论求解即可．
【解析】解：由题意，得： 的运动时间为： 秒， 的运动时间为： 秒；
∴ 运动的时间相同；
设运动时间为 秒，
则： ，
∵ ，
∴ ，
当 时： ，
∴ ，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即： ；
当 ， 在 上方时：如图 ，
42，
∴ ，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即： ；
当 ， 在 下方时：如图2，
，
∴ ，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即： ；
综上： 与 之间的数量关系为 或 ；
故答案为： 或 ．
43【点睛】本题考查几何图形中角度的计算．正确的识图，理清角之间的和差关系，是解题的关键．
41．（2022上·湖北武汉·七年级校考期末）如图，点O是直线 上的一点，射线 在直线 的上方且
，有一大小为 的 可绕其顶点O旋转一周，其中射线 分别平分 、
，当 时， ．
【答案】 /12度
【分析】分两种情况讨论：当点E在直线 上方时，当点E在直线 下方时，用含x的式子分别表示出
和 ，再由 ，建立关于x的方程，即可求解．
【解析】解：设 ，
当点E在直线 上方时，则 ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
44∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
即 ；
当点E在直线 下方时，则 ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
45此时 ，
∴此情况不存在，舍去；
故答案为：
【点睛】本题考查了角的计算，画出图形，分类讨论思想和方程思想是解决问题的关键．
46
