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特训08 反比例函数 压轴题
一、解答题
1．如图，矩形 的对角线 所在的直线是 ，函数 在第一象限内的图象与对角线
交于点 ，与边 交于点 ， 的面积为2．
(1)求k的值；
(2)设P是线段 上的点，且满足以C、D、P为顶点的三角形与 相似，求点P的坐标；
(3)若M是边 上的一个动点，将 沿 对折成 ，求线段 长的最小值．
2．如图1，在平面直角坐标系中，直线 经过点 ，与x轴交于点 ，点C为 中点，
反比例函数 刚好经过点C．将直线 绕点A沿顺时针方向旋转 得直线 ，直线 与x轴交于
点D．
(1)求反比例函数解析式；
(2)如图2，点Q为射线以上一动点，当 取最小值时，求 的面积；
(3)将 沿射线 方向进行平移，得到 且 刚好落在y轴上，已知点M为反比例函数
上一点，点N为y轴上一点，若以M，N，B， 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出所有满足条件
的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．
13．如图，已知直线 与反比例函数 的图象分别交于点A和点B，与x轴交于
点C，与y轴交于点D．
(1)如图1，当点A坐标为 时，
①求直线 的解析式：
②若点P是反比例函数在第一象限直线 上方一点，当 面积为2时，求点P的坐标；
(2)将直线 向上平移2个单位得到直线 ，将双曲线位于 下方部分沿直线 翻折，若翻折后的图
象（图中虚线部分）与直线 有且只有一个公共点，求m的值．
4．我们知道，一次函数 的图像可以由正比例函数 的图像向左平移1个单位得到；爱动脑的小
明认为：函数 也可以由反比例函数 通过平移得到，小明通过研究发现，事实确实如此，并指
出了平移规律，即只要把 （双曲线）的图像向左平移1个单位（如图1虚线所示），同时函数
的图像上下都无限逼近直线 ！如图2，已知反比例数C： 与正比例函数L： 的
图像相交于点 和点B．
2(1)写出点B的坐标，并求 和 的值；
(2)将函数 的图像C与直线L同时向右平移 个单位长度，得到的图像分别记为 和 ，已知
图像 经过点 ；
则① n的值为 ；②写出平移后的图像 对应的函数关系式为 ；
③ 利用图像，直接写出不等式 的解集为 ；
5．如图1，在平面直角坐标系 中，点 ，过函数 （ ，常数 ）图象上一点
作 轴的平行线交直线 ： 于点 ，且 ．
(1)求 的值，并写出函数 （ ）的解析式；
(2)过函数 （ ）图象上任意一点 ，作 轴的平行线交直线 于点 ，是否总有 成立？
3并说明理由；
(3)如图2，若 是函数 （ ）图象上的动点，过点 作 轴的垂线交直线 于点 ，分别过点
作 的垂线交 轴于点 ，问是否存在点 ，使得矩形 的周长取得最小值？若存在，请
求出此时点 的坐标及矩形 的周长；若不存在，请说明理由．
6．定义：在平面直角坐标系中，直线 与某函数图象交点记为点P，作该函数图象中，点P及点P右
侧部分关于直线 的轴对称图形，与原函数图象上的点P及点P右侧部分共同构成一个新函数的图象，
称这个新函数为原函数关于直线 的“对称函数"．例如：图1是函数 的图象，则它关于直线
的“对称函数”的图象如图2所示，可以得出它的“对称函数”的解析式为 ，
(1)写出函数 关于直线 的“对称函数”的解析式为______；
(2)若函数 关于直线 的“对称函数”图象经过 ，则 ______；
(3)已知正方形 的顶点分别为： ， ， ， ，其中
①若函数 关于直线 的“对称函数”的图象与正方形 有3个公共点，则 ______；
②若 ，函数 关于直线 的“对称函数”的图象与正方形 有4个公共点，求n的取值范
围．
7．图形的平移变换、对称变换等是研究几何图形常用方法，小明同学用平移变换和对称变换对直线
和曲线 进行了探究：
探究一：如图1，当直线l与曲线c有且只有一个交点时，n的值是多少？
探究二：如图2，直线l与曲线c交于A，B两点，当 时，x的取值范围是 ；直线
与曲线c和直线l分别交于E，G两点，则 与 的比值是多少？
4探究三：如图3，将曲线c沿直线l翻折得另一曲线 ，直线 与两条曲线分别交于E，F两点，若
，则n的值是多少？
请完成小明提出的以上三个探究，并写出探究过程．
8．综合与实践
问题情境：在平面直角坐标系中，已知直线 轴，直线 分别与反比例函数 的图象交
于点A，与反比例函数 的图象交于点B，连接 ， ．
(1)问题解决：如图①，若点A，B的横坐标为3，试判断 的形状，并说明理由．
(2)问题探究：如图②，将直线 向右平移若干个单位后得到直线 ，它与两个函数图象的交点分别为
， ，连接 ， ，则在直线 向右平移到直线 的过程中， 的面积是否发生变化？若变
化，说明理由；若不变，求出 的面积．
(3)问题拓展：如图③，将直线 向右平移若干个单位后与反比例函数 的图象交于点C，与x
轴交于点P，与反比例函数 的图象交于点Q，连接 ， ，当P恰好是 的中点时，请直接写
5出 的面积．
9．在矩形 中， ．分别以 ， 所在直线为x轴，y轴，建立如图1所示的平面直
角坐标系．F是 边上一个动点（不与B，C重合），过点F的反比例函数 的图象与边
交于点E．
(1)当点F运动到边 的中点时，求点E的坐标；
(2)连接 、 ，求证： ；
(3)如图2，将 沿 折叠，点C恰好落在边 上的点G处，求此时反比例函数的解析式．
10．已知点 在反比例函数 的图像上，点 在 轴上，连接 ，如图
1，将 绕着 点顺时针旋转 至点 ，点 正好落在 轴上．
(1)求 的值和点 的坐标；
(2)若点 在反比例函数图像上，连接 并延长至点 ，使得 ，连接 、 ，
①如图2，连接 并延长交 轴于点 ，当 轴时，试说明 平分 ；
②如图3，连接 交 于点 ，将 沿着 翻折，记点 的对应点为 ，若点 恰好落在
线段 上，求 与 面积之比．
611．如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于点A，与x轴交于点B，
与y轴交于点C， 轴于点D， ，点C关于直线 的对称点为点E．
(1)点E是否在这个反比例函数的图象上？请说明理由；
(2)连接 、 ，若四边形 为正方形．
①求k、b的值；
②若点P在y轴上，当 最大时，求点P的坐标．
12．综合与实践
如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为 的矩形地块 种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用
木栏围住，木栏总长为 ．
【问题提出】
小组同学提出这样一个问题：若 ，能否围出矩形地块？
【问题探究】
小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：
设 为 ， 为 ．由矩形地块面积为 ，得到 ，满足条件的 可看成是反比例函数
的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为 ，得到 ，满足条件的 可看成一次函
7数 的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的 就可以看成两个函数图象交点
的坐标．
如图2，反比例函数 的图象与直线 ： 的交点坐标为 和_________，因此，木
栏总长为 时，能围出矩形地块，分别为： ， ；或 ___________m，
__________m．
（1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空．
【类比探究】
（2）若 ，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由．
【问题延伸】
当木栏总长为 时，小颖建立了一次函数 ．发现直线 可以看成是直线 通过
平移得到的，在平移过程中，当过点 时，直线 与反比例函数 的图象有唯一交
点．
（3）请在图2中画出直线 过点 时的图象，并求出 的值．
【拓展应用】
小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“ 与 图象在第一象限内交
点的存在问题”．
（4）若要围出满足条件的矩形地块，且 和 的长均不小于 ，请直接写出 的取值范围．
813．在学习反比例函数后，小华在同一个平面直角坐标系中画出了 和 的图像，两
个函数图像交于 两点，在线段 上选取一点P，过点P作y轴的平行线交反比例函数图像
于点Q（如图1），在点P移动的过程中，发现 的长度随着点P的运动而变化．为了进一步研究 的
长度与点P的横坐标之间的关系，小华提出了下列问题：
(1)设点P的横坐标为x， 的长度为y，则y与x之间的函数关系式为______ ；
(2)为了进一步研究（1）中的函数关系，决定运用列表，描点，连线的方法绘制函数的图像：
①列表：
x 1 2 3 4 6 9
y 0 m 4 n 0
表中m＝______，n＝______；
②描点：根据上表中的数据，在图2中描出各点；
③连线：请在图2中画出该函数的图像．观察函数图像，当 ______时，y的最大值为______．
(3)①已知某矩形的一组邻边长分别为m，n，且该矩形的周长W与n存在函数关系 ，求m取
最大值时矩形的对角线长．
②如图3，在平面直角坐标系中，直线 与坐标轴分别交于点A、B，点M为反比例函数
上的任意一点，过点M作 轴于点C， 轴于点D．求四边形 面积的最小值．
914．【探索发现】
如图1，四边形 、 、 都是边长为1的正方形，
在下列角中：①∠DAF，② ，③ ，④ ，试确定与图中 的和为45°的角有______．
（填写对应序号）
【问题解决】
如图1，在线段 上取点I，使得 为 ，则 ______．
【拓展应用】
如图2，反比例函数 和 的图象分别是 和 ．射线 交 于点A，射线 交
于点B，且 ，连接 ．
（1）如图3，当 轴时，
①求点A的坐标；
②在y轴上找一点P，使得 时，直接写出点P的坐标______．
（2）在如图 ，将 绕点O旋转，射线 始终在第一象限，在旋转的过程中，直接写出 的
面积为 时点A的坐标______．
1015．如图，点 为反比例函数 的图像上一点，且点 的横坐标为 ，过点 作 轴、
轴的平行线，分别交反比例函数 的图像于 、 ，过点 作 轴的平行线，交反比
例函数 的图像于 ，连接 ．
(1)当 时，求线段 的长；
(2)若 ；
①若 ，求 的值；
②求 的值；
(3)当 的值一定时，四边形 的面积是否随 的变化而变化？若不变，请用含 的代数式表示
四边形 的面积；若变化，请说明理由．
16．对于两个不同的函数，通过加法运算可以得到一个新函数，我们把这个新函数称为两个函数的“和函
数”．例如：对于函数 和 ，则函数 ， 的“和函数” ．
11(1)已知函数 和 ，这两个函数的“和函数”记为 ．
①写出 的表达式，并求出当x取何值时， 的值为 ；
②函数 ， 的图象如图①所示，则 的大致图象是______．
A． B． C． D．
(2)已知函数 和 ，这两个函数的“和函数”记为 ．
①下列关于“和函数” 的性质，正确的有______；（填写所有正确的选项）
A． 的图象与x轴没有公共点
B． 的图象关于原点对称
C．在每一个象限内， 随x的值增大而减小
D．当 时，随着x的值增大， 的图像越来越接近 的图象
②探究函数 与一次函数 （ 为常数，且 图象的公共点的个数及对应的k的取值范围，
直接写出结论．
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