专题突破卷05含参函数讨论单调性（解析版）_02高考数学_新高考复习资料_2024年新高考资料_一轮复习资料_完2024年高考数学一轮复习考点通关卷（新高考）_专题突破卷

专题突破卷 05 含参函数讨论单调性 1.导函数为一次函数型 1．已知函数 ，其中 为常数，且 ． (1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程； (2)求函数 的单调区间； 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）对函数求导，利用导数的几何意义求出切线的斜率，进而求解切线方程； （2）对函数求导，分 和 两种情况讨论函数的单调性即可； 【详解】（1）当 时，函数 ． 资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 1 学科网（北京）股份有限公司令 ，得 ，即切点坐标为 ． 导函数 ． 令 ，得 ，即切线斜率 ． 故切线方程为 ，即 ． （2）函数 的定义域为 ． 导函数 ． 讨论：①当 时， 恒成立，故函数 的单调增区间为 ． ②当 时，令 ，解得 ． 0 所以函数 的单调增区间为 ，单调减区间为 ． 综上所述，当 时，函数 的单调增区间为 ； 当 时，函数 的单调增区间为 ，单调减区间为 ． 2．已知函数 . (1)令 ，讨论 的极值； 【答案】(1)见解析 【分析】（1）求出 的导数，讨论其符号后可得 的极值. 【详解】（1） ，则 ， 若 ，则 ，此时 无极值； 资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 2 学科网（北京）股份有限公司若 ，由 得 ；由 得 ； 则 在 上为减函数，在 上为增函数， 故 在 处取极小值且极小值为 ， 综上，当 时， 无极值； 当 时， 有极小值为 ，无极大值. 3．已知函数 ， ； (1)求 函数的单调性； 【答案】(1)答案见解析 【分析】（1）对 求导，分类讨论 和 ，判断 与 得大小，即可得出答案. 【详解】（1） 的定义域为 ，则 ， 当 时，即 时， 在 上单调递增， 当 时，即 时，则 即 ， 令 得 ，令 得 ， 则 在 上单调递增，在 上单调递减， 综上所述：当 时， 在 上单调递增； 当 时，则 在 上单调递增，在 上单调递减； 4．已知 ， ． (1)求 的单调区间； 【答案】(1)答案见解析 资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 3 学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）先对 求导，分类讨论 与 两种情况，结合导数与函数单调性的关系即可得解； 【详解】（1）因为 ，所以 ， 当 时， 在 单调递减； 当 时，当 时， 单调递减；当 时， 单调递增； 故当 时， 的单调递减区间为 ，无单调递增区间； 当 时， 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 . 5．已知函数 ． (1)讨论 的单调性； 【答案】(1)答案见解析 【分析】（1）根据题意，求导得 ，然后分 ， ， 分别讨论，即可得到结果； 【详解】（1） ， ， ①当 ，即 时， ， 在区间 单调递增． ②当 ，即 时， 令 ，得 ，令 ，得 ， 所以 在区间 单调递增；在区间 单调递减． ③当 ，即 时， 若 ，则 ， 在区间 单调递增． 若 ，令 ，得 ，令 ，得 ， 所以 在区间 单调递减；在区间 单调递增． 资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 4 学科网（北京）股份有限公司综上， 时， 在区间 单调递增；在区间 单调递减； 时， 在区间 单调递增 时， 在区间 单调递减、在区间 单调递增． 2.导函数为指数型 6．已知函数 ． (1)讨论 的单调性； 【答案】(1)答案见解析 【分析】（1）先求导，再分类讨论 与 两种情况，结合导数与函数单调性的关系即可得解； 【详解】（1）因为 ，定义域为 ，所以 ， 当 时，由于 ，则 ，故 恒成立， 所以 在 上单调递减； 当 时，令 ，解得 ， 当 时， ，则 在 上单调递减； 当 时， ，则 在 上单调递增； 综上：当 时， 在 上单调递减； 当 时， 在 上单调递减， 在 上单调递增. 7．已知函数 (1)求 的单调区间； 【答案】(1)答案见解析 【分析】（1）求出函数的导函数，分 、 两种情况讨论，分别求出函数的单调区间； 【详解】（1） 定义域为 ，且 ， 资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 5 学科网（北京）股份有限公司当 时， ， 在 上单调递减． 当 时，令 ，得 ，令 ，得 ， 所以 在 上单调递增，在 上单调递减． 综上，当 时， 的单调递减区间为 ，无单调递增区间． 当 时， 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ． 8．已知函数 . (1)讨论函数 的单调性； 【答案】(1)答案见解析. 【分析】（1）求导以后对导数中的参数进行分类讨论，根据不同的分类判断函数的单调性； 【详解】（1）函数 ， ，则 ， 当 ，即 时， 恒成立，即 在 上单调递增； 当 ，即 时，令 ，解得 ， + 0 ↗ 极大值 ↘ 综上所述，当 是， 在 上单调递增； 当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减. 9．已知函数 ． (1)讨论 的单调性； 【答案】(1)答案见解析 【分析】（1）求出函数的导函数，在分 、 、 三种情况讨论，分别求出函数的单调 资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 6 学科网（北京）股份有限公司区间，即可得解； 【详解】（1）函数 定义域为 ， ， 令 ，则 ， 当 ，即 时 ， ，所以 在定义域 上单调递增； 当 ，即 时 恒成立，所以 在定义域上单调递增， 令 ，则 ，即 ， 当 ，即 时解得 ，所以当 时 ，当 时 ， 所以 在 上单调递增，在 上单调递减， 当 ，即 ，此时 恒成立，所以 在 上单调递增， 当 ，即 时 恒成立，所以 在定义域上单调递减， 令 ，则 ，即 ，解得 ， 所以当 时 ，当 时 ， 所以 在 上单调递减，在 上单调递增， 综上可得：当 时 在 上单调递增； 当 时 在 上单调递增，在 上单调递减； 当 时 在 上单调递增； 当 时 在 上单调递减，在 上单调递增. 资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 7 学科网（北京）股份有限公司10．已知函数 . (1)若 ，讨论 的单调性； 【答案】(1)答案见解析 【分析】（1）求导后直接根据b的临界情况分类讨论即可； 【详解】（1）当 时， ， ①当 时， 对任意 恒成立， 所以 的单调增区间是 ，无减区间； ②当 时，令 ，得 ，令 ，得 ， 所以 的单调增区间是 ，单调减区间是 ； 综上，当 时， 的单调增区间是 ，无减区间； 当 时， 的单调增区间是 ，单调减区间是 . 3.导函数为对数型 11．已知函数 ，求函数 的单调区间． 【答案】答案见解析. 【分析】求出函数 的导数 ，按 分类讨论求解 大于0、小于0的不等 式作答. 【详解】函数 的定义域为 ，求导得 ， 当 时， ，由 ，得 ，由 ，得 ， 因此函数 在 上单调递增，在 上单调递减； 当 时，由 ，得 或 ， 当 或 时， ，当 时， ， 因此 在 ， 上单调递增，在 上单调递减； 资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 8 学科网（北京）股份有限公司当 时， 恒成立，当且仅当 时取等号，因此 在 上单调递增； 当 时，当 或 时， ，当 时， ， 因此 在 ， 上单调递增，在 上单调递减， 所以当 时， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ； 当 时， 的单调递增区间为 ， ，单调递减区间为 ； 当 时， 的单调递增区间为 ，无单调递减区间； 当 时， 的单调递增区间为 ， ，单调递减区间为 . 12．已知函数 ， .讨论 的单调性； 【答案】答案见解析 【分析】求导可得 ，再分 ， 和 三种情况讨论导函数的正负区间与原函数 的单调性即可. 【详解】 ， 当 时， ， 在 上单调递减； 当 时， ， ，则 在 上单调递减，在 上单调递增； 当 时， ， ，则 在 上 单调递增，在 上单调递减. 综上，当 时， 在 上单调递减； 资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 9 学科网（北京）股份有限公司当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增； 当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减. 13．已知函数 ，其中 ． (1)若函数 定义域内的任意x使 恒成立，求实数a的取值范围； (2)讨论函数 的单调性． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）求导得因式分解，根据对数函数的性质，分类讨论得到 的恒成立问题，从而得解； （2）分类讨论导函数的正负即可得函数的单调性. 【详解】（1）因为 ，显然 ， 则 ， 因为 恒成立，则 ，对 恒成立， 当 时， ，则 恒成立，故 ； 当 时， ，则 恒成立，故 ； 综上， ． （2）由（1）知 ， ， ①当 时， ， 当 时， ，则 ， 单调递减， 当 时， ，则 单调递增， 即当 时， 在 上单调递减， 上单调递增； ②当 时， 资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 10 学科网（北京）股份有限公司当 时，由（1）知 在 单调递增； 当 时，当 时， ； 当 时， ； 当 时， ； 故当 和 时， ；当 时， ； 因此 在 上单调递增，在 上单调递减； 当 时，当 时， ； 当 时， ； 当 时， ； 故当 和 时， ；当 时， ； 因此 在 上单调递增，在 上单调递减； 综上：当 时， 在 上单调递减， 上单调递增； 当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减； 当 时， 在 单调递增； 当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减. 14．设函数 ， . (1)若 ， ，求曲线 在点 处的切线方程； (2)讨论函数 的单调性，并指出函数 的单调区间. 【答案】(1) (2)答案见解析 资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 11 学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）结合函数导数求出斜率，然后结合切点坐标表示出切线方程； （2）对参数 分类讨论，求出函数 的单调区间； 【详解】（1）若 ， ， ，所以 ， ，， 切线的斜率 所以曲线 在点 处的切线方程为： ，即 . （2）由可知 ， ， 当 时， 则 ； ， 当 时， 则 ； ， ∴当 时， 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ； 当 时， 单调递增区间为 ，单调递减区间为 4.导函数为二次可因式分解型 15．已知函数 ，讨论函数 的单调性. 【答案】答案见解析 【分析】求出 ,分 、 与 讨论可得函数 的单调性. 【详解】易知函数 的定义域为 ， ， 当 时， ，所以 在 上单调递增； 当 时， ，令 ，得 ；令 ，得 ， 所以 在 上单调递减，在 上单调递增； 当 时， ，令 ，得 ；令 ，得 ， 资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 12 学科网（北京）股份有限公司所以 在 上单调递减，在 上单调递增. 综上所述：当 时，所以 在 上单调递增； 当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增； 当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增. 16．已知函数 (1)当 时，求 的极值； (2)讨论 的单调性； 【答案】(1) ， (2)当 时 的单调增区间为 ， ，单调减区间为 ； 当 时 在R上单调递增； 当 时 的单调递增区间为 ， ，单调递减区间为 ； 【分析】（1）求出函数的导函数，再解关于导函数的不等式，即可得到函数的单调区间与极值； （2）求导函数 ，分 ， ， 讨论可得结果； 【详解】（1）当 时 定义域为R， 且 ， 所以当 或 时 ，当 时 ， 所以 在 处取得极大值，在 处取得极小值， 即 ， ； 资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 13 学科网（北京）股份有限公司（2）函数 定义域为R，则 ， 令 ，解得 或 ， ①当 时，则当 或 时， ， 当 时， ， 所以 的单调增区间为 ， ，单调减区间为 ； ②当 时， 恒成立，所以 在R上单调递增； ③当 时，当 或 时， ，当 时， ， 所以 的单调递增区间为 ， ，单调递减区间为 ， 综上可得当 时 的单调增区间为 ， ，单调减区间为 ； 当 时 在R上单调递增； 当 时 的单调递增区间为 ， ，单调递减区间为 ； 17．已知函数 ． (1)当 时，求函数 的极值； (2)讨论 的单调性． 【答案】(1)当 时，取得极大值3，当 时，取得极小值 (2)答案见解析 【分析】（1）求出 ，根据 的正负即可求出函数 的极值； （2）求出 ，令 ，得出 或 ，分类讨论 的取值范围即可． 【详解】（1）当 时， ， 资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 14 学科网（北京）股份有限公司则 ， 令 ，得 或 ， 当 时， ， 单调递增， 当 时， ， 单调递减， 当 时， ， 单调递增， 所以当 时，取得极大值 ， 当 时，取得极小值 ， （2） ， 令 ，则 或 ， 当 时， ， ， ， ， 则 在 和 上单调递增，在 上单调递减； 当 时， ， ， ， ， 则 在 和 上单调递增，在 上单调递减； 当 时， ， ，则 在 上单调递增； 综上所述， 当 时， 在 和 上单调递增，在 上单调递减； 当 时， 在 和 上单调递增，在 上单调递减； 当 时， 在 上单调递增． 18．已知函数 . (1)当 时，证明： . (2)讨论 的单调性. 资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 15 学科网（北京）股份有限公司【答案】(1)证明见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）由导数求出 的最小值，与 的最大值比较可证不等式成立； （2）求导后，分类讨论 ，解导函数的不等式可得结果. 【详解】（1）当 时， ， ， 令 ，得 ，令 ，得 ， 所以 在 上为减函数，在 上为增函数， 所以 ，当且仅当 时，等号成立， 而当 时， ，当 且 时， ， 所以 . （2） 的定义域为 ， ， 当 时， ，令 ，得 ，令 ，得 ， 所以 在 上为减函数，在 上为增函数. 当 时，令 ，得 或 ， 若 ，即 时，令 ，得 或 ；令 ，得 ， 所以 在 和 上为减函数，在 上为增函数； 若 ，即 时， 在 上恒成立，所以 在 上为减函数； 若 ，即 时，令 ，得 或 ，令 ，得 ，所以 在 和 上为减函数，在 上为增函数. 综上所述：当 时， 在 上为减函数，在 上为增函数； 资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 16 学科网（北京）股份有限公司当 时， 在 和 上为减函数，在 上为增函数； 当 时， 在 上为减函数； 当 时， 在 和 上为减函数，在 上为增函数. 19．已知函数 ， ． (1)求 的单调区间； 【答案】(1)答案见解析 【分析】（1）求导 ，再分 ， ， ， 讨论求解； 【详解】（1）解：因为 ，定义域为 ， 所以 ． 令 ，解得 ，或 ． ①当 ，即 时， ． 所以 在区间 上单调递增． ②当 ，即a≥0时， 当x变化时， ， 的变化情况如下表所示． x 2 － 0 ＋ 极小 单调递减 单调递增 值 所以 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增． ③当 ，即 时， 资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 17 学科网（北京）股份有限公司当x变化时， ， 的变化情况如下表所示． x 2 ＋ 0 － 0 ＋ 单调递 单调递增 极大值 极小值 单调递增 减 所以 在区间 和 上单调递增，在区间 上单调递减． ④当 ，即 时， 当x变化时， ， 的变化情况如下表所示． x 2 ＋ 0 － 0 ＋ 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以 在区间 和 上单调递增，在区间 上单调递减． 综上所述，当a≥0时， 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 ； 当 时， 的单调递增区间是 和 ，单调递减区间是 ； 当 时， 的单调递增区间是 ，无递减区间； 当 时， 的单调递增区间是 和 ，单调递减区间是 ． 20．已知函数 ，其中 . (1)求函数 的单调区间； 资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 18 学科网（北京）股份有限公司【答案】(1)答案见解析 【分析】（1）求出 ，分 、 、 讨论可得答案； 【详解】（1） ， 令 得 ， 当 时， ，则函数 在 上单调递增， 当 时， 或 时， ， 时， ，所以函数 在 ， 上单调递增，在 上单调递减， 当 时， 或 时， ， 时， ， 所以函数 在 ， 上单调递增，在 上单调递减. 综上所述，当 时，函数 的单调递增区间为 ，无单调递减区间； 当 时，函数 的单调递增区间为 ， ，单调递减区间为 ； 当 时，函数 的单调递增区间为在 ， ，单调递减区间为 . 5.导函数为二次不可分解型 21．已知函数 ，求函数 的单调增区间. 【答案】答案见解析 【分析】求定义域，求导，结合导函数特征，分类讨论，求出函数的递增区间. 【详解】 的定义域为 ， ， ， 令 ， 资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 19 学科网（北京）股份有限公司注意到 ， ①当 时， ， ，故 在 上单调递增； ②当 时， ，令 ，得 ， ， 令 ，解得 ， 所以 的递增区间为 ； 综上：当 时， 的递增区间为 ； 当 时， 的递增区间为 . 22．已知函数 ． (1)若 的图象在 处的切线与直线 垂直，求实数 的值； (2)讨论 在 上的单调性． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据某点处导数的几何意义，结合本题与直线 垂直的条件即可求出 的值. （2）对 参变分离，利用 与 交点来讨论 的零 点，进而研究 单调性. 【详解】（1）解：已知函数 ， 则 ， 因为 的图象在 处的切线与直线 垂直， 资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 20 学科网（北京）股份有限公司所以 ，则有 ，所以 的值为 . （2）由（1）知 ， 令 ，对称轴为 ，所以在 上 单调递增， 则 在 上有最小值为 ， 所以，当 ，即 时， ， 在 上单调递增， 当 ，即 时， 在 上有唯一零点，即 ， 在 上， ，在 上， ， 所以在 上， 在上单调递减，在 上， 在上单调递增. 23．已知函数 .讨论函数 的单调性； 【答案】答案见解析 【分析】分 和 和 讨论即可. 【详解】 ， ①当 时， ，令 ，解得 ，令 ，解得 ， 则 单调递增区间为 ，单调递减区间为 ； ②当 时，令 ， 因为 ， ， ， （i）当 时， ，则 ， 资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 21 学科网（北京）股份有限公司令 ，则 ，令 ，则 ， 则 单调递增区间为 与 ， 单调递减区间为 ； （ii）当 时， ， 令 ，则 ，令 ，则 ， 则 单调递减区间为 与 ， 单调递增区间为 ； 综上所述，当 时， 单调递增区间为 ，单调递减区间为 ； 当 时，则 单调递减区间为 与 ， 单调递增区间为 ； 当 时， 单调递增区间为 与 ， 单调递减区间为 ； 24．已知函数 讨论函数 的单调性； 【答案】答案见解析 【分析】对原函数求导，然后讨论导数的符号确定原函数的单调性. 资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 22 学科网（北京）股份有限公司【详解】 的定义域为 ，对 求导得： ， 令 1）若 ，则 ，即 ，所以 在 上单调递增. 2）若 ①当 时，即 ，则 ，即 ，所以 在 上单调递增. ②当 时，即 ，由 ，得 ; 当 时， , 当 时， , 综上所述，当 时， 在 上单调递增； 当 时， 在 上是单调递增的， 在 上是单调递减的. 25．设函数 ， . (1)求函数 的单调区间； 【答案】(1)单调增区间为 ，单调减区间为 . 【分析】（1）先对函数 求导，再令 求根，判断导数的正负即可； 资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 23 学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）由题意知 ，定义域为 . ， 因为 ，令 得 ， ， 当 ， ， 在 单调递增； 当 ， ， 在 单调递减； 故 的单调增区间为 ，单调减区间为 . 26．已知函数 ． (1)讨论函数 的单调性； 【答案】(1)答案见解析； 【分析】（1）求出函数 的导数 ，再分类讨论求解 为正为负时的不等式作答. 【详解】（1）函数 的定义域为 ，求导得 ， ①当 ，即 时， 恒成立，此时 在 上单调递减； ②当 ，即 时，由 解得， ， 由 解得， ，由 解得 或 ， 此时 在 上单调递增，在 和 上单调递减； ③当 ，即 时，由 解得 或 (舍)， 资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 24 学科网（北京）股份有限公司由 解得 ，由 解得 ， 此时 在 上单调递增，在 上单调递减， 所以当 时，函数 在 上单调递减； 当 时，函数 在 上单调递增，在 和 上单调递减； 当 时，函数 在 上单调递增，在 上单调递减. 6.导函数为二次指数型 27．已知函数 .讨论 的单调性； 【答案】答案见解析 【分析】直接求导得 ，分 和 讨论即可. 【详解】 ， 当 时， ， ， ， 在 上单调递增； 当 时，令 ，解得： ， 则当 时， ；当 时， ； 在 上单调递减，在 上单调递增； 综上所述：当 时， 在 上单调递增； 当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增. 28．已知函数 ． (1)讨论 的单调性； (2)若 有两个零点，求a的取值范围． 资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 25 学科网（北京）股份有限公司【答案】(1) 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增 (2) 【分析】（1）求导可得 ，分 ， 两种情况讨论，由导数与单调性的关系即 可得解； （2）由（1）可知，当 时， 在 上单调递增，所以 至多有一个零点，当 时，求出 的最小值，使 可求解 的范围． 【详解】（1）（1）因为 ， 所以 ． 因为 ， ， 所以，当 时， ，所以 在 上单调递增． 当 时，令 ，解得 ． 由 ，解得 ； 由 ，解得 所以， 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增． （2）由（1）可知，当 时， 在 上单调递增，所以 至多有一个零点． 当 时，函数 在 上单调递减，在 上单调递增， 所以，当 时， 取得最小值， ． 令 ， ， 则 ， 资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 26 学科网（北京）股份有限公司所以， 在 上单调递减． 又 ，所以要使 ，即 ，则 ． 又因为 ， 所以 在 上有一个零点． 又 令 ， ，则 ， 所以 在 上单调递增， 因为 ，所以 ，所以 ， 所以 ． 所以 在 上也有一个零点． 综上所述，要使 有两个零点，则a的取值范围是 ． 29．已知函数 ， ． (1)讨论函数 的单调性； 【答案】(1)答案见解析 【分析】（1）运用分类讨论法，先讨论 时函数 的单调性，再讨论 时函数 的单调性， 此时通过比较两个根的大小进一步分类讨论得到函数 的单调性； 资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 27 学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）若 ，则 ，令 ，得 ， 当 时， ；当 时， ． 即 在 上单调递减，在 上单调递增 若 ，则 令 ，则 ，等价于 ， 即 ，得 ， ． 若 ，即 ，则 在 单调递增，在 单调递减，在 单调递增． 若 ，即 ，则 在 上单调递增．若 ，即 ， 则 在 单调递增，在 单调递减，在 单调递增． 综上所述：当 时， 在 单调递增，在 单调递减，在 单调递增； 当 时， 在 上单调递增； 当 时， 在 单调递增，在 单调递减，在 单调递增； 当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增. 30．已知函数 ． (1)讨论 的单调性； 【答案】(1)答案见解析 【分析】（1）对函数 求导，再对 进行分类讨论，根据 和 ，即可得函数 的单 调性； 【详解】（1）由题意可得 ， 资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 28 学科网（北京）股份有限公司当 时，由 ，得 ，由 ，得 ， 则 在 上单调递减，在 上单调递增； 当 时， ，则 ， 由 ，得 ，由 ，得 或 ， 则 在 上单调递减，在 ， 上单调递增； 当 时， 在 上恒成立，则 在 上单调递增； 当 时， ，则 ， 由 ，得 ，由 ，得 或 ， 则 在 上单调递减，在 ， 上单调递增． 综上可得：当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增； 当 时， 在 上单调递减，在 ， 上单调递增； 当 时， 在 上单调递增； 当 时， 在 上单调递减，在 ， 上单调递增． 31．已知函数 ． (1)讨论函数 的导数的单调性； 【答案】(1)答案见解析 【分析】（1）根据题意整理可得 ，分类讨论判断原函数的单调性； 资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 29 学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）设 ，则 ， 注意到 ，则有： ①当 时，则 ，故 对 恒成立，故 的单调递减区间为 ； ②当 时，令 ，解得 ， 当 时， ；当 时， ； 故 的单调递增区间为 ，单调递减区间 ； 综上所述：①当 时， 的单调递减区间为 ； ②当 时， 的单调递增区间为 ，单调递减区间 . 32．已知函数 （ ， 为自然对数的底数）． (1)讨论函数 的单调性； 【答案】(1)答案见解析 【分析】（1）求导，再分 ， ， 和 四种情况讨论即可得出答案； 【详解】（1） ， （ⅰ）当 时， ，所以 ， ， 则 在 上单调递增，在 上单调递减； （ⅱ）当 时，令 ，得 ， ① 时， ， 所以 或 ， ， 则 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增； ② 时， ，则 在 上单调递增； 资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 30 学科网（北京）股份有限公司③ 时， ，所以 或 ， ， 则 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增． 综上， 时， 在 上单调递增，在 上单调递减； 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增； 时， 在 上单调递增； 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增； 7.二次求导 33．已知函数 ． (1)求曲线 在点 处的切线方程； (2)当 时，求函数 的单调性． 【答案】(1) (2)函数 在 上单调递减 【分析】（1）求导，利用导数的几何意义求斜率,根据点斜式即可求解切线方程, （2）利用导数确定函数的单调区间. 【详解】（1） ， ． ， ． 曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ． （2）令 ， 资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 31 学科网（北京）股份有限公司则 ． 令 ，得 ； 令 ，得 ． 在 上单调递减，在 上单调递增． ， ， ， 当 时， ，即 ．当且仅当 时等号成立， 当 时，函数 单调递减． 34．已知函数 设 是 的导函数，讨论函数 的单调性； 【答案】答案见解析 【分析】先对函数求导后，再令 ，然后对 求导，然后分 和 两种情况讨论 的 正负，从而可求出 的单调区间. 【详解】由 ，得 ， 设 ， ， ①当 时， 在 上恒成立， 在 上递增， ②当 时，令 得 ， 得 ， 在 上递减，在 上递增， 综上所述：当 时， 是 上的增函数， 资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 32 学科网（北京）股份有限公司当 时， 在 是减函数，在 上是增函数. 35．已知函数 ． (1)求 的极值； (2)若函数 ，求 的极小值的最大值． 【答案】(1)极小值1，无极大值 (2)1 【分析】（1）由导数判断 单调性后求解， （2）设出 的零点 ，在 中消去 ，转化为关于 的函数求解最值 【详解】（1））函数的定义域为 ． 令 ，则 ， 所以 在 上单调递增，且 ． 当 时， ；当 时， ． 所以 在 上单调递减，在 上单调递增， 所以当 时 有极小值 ，无极大值． （2）因为 ，所以 ． 由（1）知， 在 上单调递增， 当 时， ；当 时， ，则 有唯一解 ． 当 时， ；当 时， ， 即 在 上单调递减，在 上单调递增， 所以 在 处取得极小值 ，且 满足 ． 资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 33 学科网（北京）股份有限公司所以 ． 令 ，则 ． 当 时， ；当 时， ， 即 在 上单调递增，在 上单调递减， 所以 ，此时 ， 所以当 时， 的极小值的最大值为1． 36．已知函数 ，且0是 的一个极值点． (1)求 的单调区间； 【答案】(1)函数 的递增区间有 ，递减区间有 ； 【分析】(1)根据极值点的性质列方程求 ，再根据函数的单调性与导数的关系求单调区间 (1) 函数 的定义域为 ， 因为0是 的一个极值点，所以 ， 所以 ，解得 ，所以 ， 且 ， 令 ，则 ， 当 时， ，函数 单调递减，又 当 时， ， ，函数 单调递减， 资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 34 学科网（北京）股份有限公司当 时， ， ，函数 单调递增， 所以 为函数的极大值点， 所以 ，且函数 的递增区间有 ，递减区间有 ； 37．已知 ，函数 ． (1)证明 存在唯一极大值点； 【答案】(1)证明见解析 【分析】（1）求导 ，再对 求导，判断其单调性，然后结合零点存在性定理 进而可知 有唯一零点，结合极值点定义可证得结论； 【详解】（1）函数 ，求导 ， 令 ，则 又 ， ， 在 上单调递减， 当 时， ，当 时， ， 故存在 ，使得 当 ， ，故函数 在 上单调递增， 当 ， ，故函数 在 上单调递减， 所以 存在唯一极大值点； 1．已知函数 ，其中 且 .讨论函数 的单调性； 【答案】答案见解析 资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 35 学科网（北京）股份有限公司【分析】由题意 ，再分 和 两种情况讨论即可. 【详解】 定义域为 ， ， 当 时， ，故 恒成立， 此时 在 上单调递减， 当 时，令 ，解得： ， 令 ，解得： ， 故 在 上单调递减，在 上单调递增， 综上：当 时， 在 上单调递减； 当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增. 2．已知函数 .讨论函数 的单调性； 【答案】函数 在 上单调递减，在 上单调递增. 【分析】直接求导得 ，再分 和 讨论即可得到其单调性. 【详解】由题意得，函数 的定义域为 ， 则 ， ， ， 当 时， ，所以 在 上单调递减； 当 时， ，所以 在 上单调递增； 资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 36 学科网（北京）股份有限公司综上所述：函数 在 上单调递减，在 上单调递增. 3．求下列函数的单调区间 (1) ； (2) ． 【答案】(1)答案见解析； (2)答案见解析. 【分析】（1）（2）求出函数 的定义域，并求出其导函数 ，再分类讨论确定 大于0、小于 0的不等式的解集作答. 【详解】（1）函数 的定义域为 ，求导得 ， 当 时， 恒成立，函数 在(0, 上单调递減； 当 时，令 ，有 ， ， 当 ，即有 时， ， 恒成立，即 在 上恒成立， 在 上单调递增； 当 ，即有 时，令 ，解得 ， 由 ，即 ，得 或 ， 由 ，即 ，得 ， 因此函数 在 ， 上单调递增，在 上单调递减， 所以当 时， 的递减区间是 ，无递增区间； 当 时，函数 的递增区间为 ， ，递减区间为 资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 37 学科网（北京）股份有限公司； 当 时, 的递增区间是 ，无递诫区间. （2）函数 的定义域为 ， 求导得 ， 当 时，恒有 成立，当 时， ，当 时， ， 于是函数 在 上单调递减，在 上单调递增； 当 时， ，由 ，得 或 ， 若 ，即 时， 恒成立，当 时， ，当 时， ， 函数 在 上单调递增，在 上单调递减； 当 时，有 ， 恒成立，函数 在 上单调递减； 当 时，有 ，当 或 时， ，当 时， ， 因此函数 在 ， 上单调递减，在 上单调递增； 当 时，有 ，当 或 时， ，当 时， ， 因此函数 在 ， 上单调递减，在 上单调递增， 所以当 时，函数 的递减区间是 ，递增区间是 ； 当 时，函数 的递减区间是 ， ，递增区间是 ； 当 时，函数 的递减区间是 ，无递增区间； 当 时，函数 的递减区间是 ， ，递增区间是 ； 当 时，函数 的递减区间是 ，递增区间是 . 资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 38 学科网（北京）股份有限公司4．已知函数 ．求 的单调区间． 【答案】答案见解析 【分析】分情况讨论k,分别求f(x)的单调区间. 【详解】当 时， , , 的单调递增区间是 ， 单调递减区间是 ． 当 时， , 当 时， , 的单调递增区间是 和 ， , 单调递减区间是 ． 当 时， , 的单调递增区间是 ． 当 时， 得单调递增区间是 和 ， 单调递减区间是 . 5．已知函数 ， .求 的极值； 【答案】答案见解析 【分析】根据已知求出函数的定义域和导数 .通过分类讨论 时， 无极值； 时求 得 有极小值 ，无极大值. 资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 39 学科网（北京）股份有限公司【详解】 的定义域为 ，且 . ①当 时， 恒成立， 在 上单调递增，无极值， ②当 时，令 ，得 ；令 ，得 ， 所以 在 上单调递减；在 上单调递增； 在 处取极小值 ，无极大值. 综上所知，当 时， 无极值； 当 时， 有极小值 ，无极大值. 6．已知函数 ， .当 时，讨论 的单调性. 【答案】答案见解析 【分析】求出函数 的导数，再根据m的取值情况分类讨论求解函数单调性作答. 【详解】 ， ， 若 时，则 ，当 时， ，当 时， ， 即有 恒成立，当且仅当 时等号成立， 在 上为减函数，无增区间； 当 时，若 ，则 ；若 ，则 ， ，则 ， 于是 在 ， 上为减函数，在 上为增函数， 当 时，若 ，则 ， ，则 ， 所以 在 上为增函数，在 上为减函数. 所以当 时， 的递减区间为 ； 当 时， 的递减区间为 ， ，递增区间为 ； 资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 40 学科网（北京）股份有限公司当 时， 的递增区间为 ，递减区间为 . 7．已知函数 ，求函数 的单调区间. 【答案】答案见解析 【分析】求导得到 ，考虑 和 两种情况，根据导函数的正负判断函数的 单调区间即可. 【详解】函数 的定义域为 ，且 ， 当 时， ，当 时， ，当 时， ， 所以函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 . 当 时， ， 有两根－1， ， 且 ， ，则 ， 则 ， 故函数 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 . 综上可知： 当 时，函数 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 ； 当 时，函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 . 8．已知函数 （a为常数），讨论 的单调性． 资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 41 学科网（北京）股份有限公司【答案】答案见解析 【分析】先确定函数的定义域，然后对函数求导并分解因式，分 ， ， ， 讨论即可求 解. 【详解】函数 的定义域为 . 因为 ， 所以 ， 因为 ，则有： ①当 时，则 ， 令 ，得 ；令 ，得 ； 所以 在 上单调递减，在 上单调递增； ②当 时，令 ，得 ；令 ，得 或 ； 所以 在 上单调递减，在 ， 上单调递增； ③当 时， （当且仅当 时取等号）， 所以 在 上单调递增； ④当 时，令 ，得 ；令 ，得 或 ， 所以 在 上单调递减，在 ， 上单调递增； 综上所述：当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增； 当 时， 在 上单调递减，在 ， 上单调递增； 当 时， 在 上单调递增； 当 时， 在 上单调递减，在 ， 上单调递增. 资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 42 学科网（北京）股份有限公司9．已知函数 ， ． (1)讨论函数 的单调性； 【答案】(1)答案见解析 【分析】（1）求出 的定义域与导数，分 、 两种情况讨论，分析导数的符号变化，由此可 得出函数 的增区间和减区间； 【详解】（1）解：因为 ，函数 的定义域为 ， 则 . ①当 时，对任意的 ， ，函数 的增区间为 ，无减区间； ②当 时，由 可得 ，由 可得 ， 所以，函数 的减区间为 ，增区间为 . 综上所述，当 时，函数 的增区间为 ，无减区间； 当 时，函数 的减区间为 ，增区间为 . 10．已知函数 . (1)讨论 的单调性； 【答案】(1)答案见解析 【分析】（1）讨论 、 ，利用导数研究 的单调性即可； 【详解】（1）由 ， 当 ，则 ，即 在定义域上递增； 资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 43 学科网（北京）股份有限公司当 ，令 ，则 ， 当 ， ，即 递增； 当 ， ，即 递减； 此时 在 上递减，在 上递增. 11．已知函数 . (1)讨论 的单调性； 【答案】(1) 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增 【分析】（1）求出函数的导函数，再分 、 两种情况讨论，分别求出函数的单调区间； 【详解】（1）因为 定义域为 ，则 ， 当 时，令 ，解得 ，令 ，解得 ， 所以 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增； 当 时，令 ，解得 ，令 ，解得 ； 所以 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增， 综上， 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增. 12．已知函数 ． (1)讨论 的单调性； 【答案】(1)答案见解析 【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，分 、 两种情况讨论，分别求出函数的单调区间； 【详解】（1） 定义域为 ， ， 当 时 恒成立，所以 在 上单调递减， 资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 44 学科网（北京）股份有限公司当 时 ， 所以当 时 ，则 在 上单调递增， 当 时 ，则 在 上单调递减， 综上可得，当 时 在 上单调递减； 当 时 在 上单调递增，在 上单调递减. 资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 45 学科网（北京）股份有限公司