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考点一：勾股定理之大树折断模型
【例1】．如图，一棵竖直生长的竹子高为8米，一阵强风将竹子从C处吹折，竹子的顶端A刚好触地，
且与竹子底端的距离AB是4米．求竹子折断处与根部的距离CB．
解：由题意知BC+AC＝8，∠CBA＝90°，
∴设BC长为x米，则AC长为（8﹣x）米，
∴在Rt△CBA中，有BC2+AB2＝AC2，
即：x2+16＝（8﹣x）2，
解得x＝3，
∴竹子折断处C与根部的距离CB为3米．
变式训练
【变式1-1】．在一块平地上，张大爷家屋前9米远处有一棵大树．在一次强风中，这棵大树从离地面 6
米处折断倒下，量得倒下部分的长是10米．出门在外的张大爷担心自己的房子被倒下的大树砸到．大
树倒下时能砸到张大爷的房子吗？请你通过计算、分析后给出正确的回答（ ）
A．一定不会 B．可能会C．一定会 D．以上答案都不对
解：如图
由题意画出大树倒下的示意图，大树从点B刮断，绕点B倒下，树梢的轨迹为 ，
根据题意得，AB＝6，BC＝10，AF＝9，
过点F作AB的平行线交 于D，E（D在E上面），
∴BE＝BC＝10，∠F＝90°，
过点B作BG⊥DF于G，
∴∠BGF＝90°，
∵∠A＝90°，
∴∠A＝∠F＝∠BGF＝90°，
∴四边形ABGF是矩形，
∴FG＝AB＝6，BG＝AG＝9，
在Rt△BGF中，根据勾股定理得，EG＝ ＝ ＝ ，
∴EF＝FG﹣EG＝6﹣ ≈6﹣4.36＝1.64米，
而房屋一般高度为2.8到3米，
∴1.64＜2.8，
即：大树倒下时肯定能砸到张大爷的房屋，
故选：C．【变式1-2】．由于大风，山坡上的一棵树甲被从A点处拦腰折断，如图所示，其树顶端恰好落在另一棵
树乙的根部C处，已知AB＝4米，BC＝13米，两棵树的水平距离为12米，求这棵树原来的高度．
解：如图所示：延长AB，过点C作CD⊥AB延长线于点D，
由题意可得：BC＝13m，DC＝12m，
故BD＝ ＝5（m），
即AD＝9m，
则AC＝ ＝ ＝15（m），
故AC+AB＝15+4＝19（m）．
答：这棵树原来的高度是19米．
考点二：勾股定理之风吹荷花模型
【例2】．如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高12cm．若这支铅笔长
为18cm，则这只铅笔在笔筒外面部分长度不可能的是（ ）
A．3cm B．5cm C．6cm D．8cm
解：根据题意可得图形：AB＝12cm，BC＝9cm，在Rt△ABC中：AC＝ ＝ ＝15（cm），
所以18﹣15＝3（cm），18﹣12＝6（cm）．
则这只铅笔在笔筒外面部分长度在3cm～6cm之间．
观察选项，只有选项D符合题意．
故选：D．
变式训练
【变式2-1】．如图，一架梯子AB长10米，底端离墙的距离BC为6米，当梯子下滑到DE时，AD＝2米，
则BE＝ 2 米．
解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，可得：AC＝ ＝ ＝8（米），
∴DC＝AC﹣AD＝8﹣2＝6（米），
在Rt△DCE中，CE＝ ＝ ＝8（米），
∴BE＝CE﹣BC＝8﹣6＝2（米），故答案为：2．
【变式2-2】．如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度 DE＝1m，将它往前推送4m（水平
距离BC＝4m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝2m，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD的长度．解：在Rt△ACB中，
AC2+BC2＝AB2，
设秋千的绳索长为xm，则AC＝（x﹣1）m，
故x2＝42+（x﹣1）2，
解得：x＝8.5，
答：绳索AD的长度是8.5m．
1．如图，一架25m长的云梯斜靠在一面墙上，梯子底端离墙 7m，如果梯子的顶端下滑4m，那么梯子的
底部在水平方向上滑动了（ ）
A．4m B．6m C．8m D．10m
解：由题意知AB＝DE＝25米，BC＝7米，AD＝4米，
在直角△ABC中，AC为直角边，
∴AC＝ ＝24（米），
已知AD＝4米，则CD＝24﹣4＝20（米），
在直角△CDE中，CE为直角边，
∴CE＝ ＝15（米），
∴BE＝15﹣7＝8（米），
故选：C．2．一根高9m的旗杆在离地4m高处折断，折断处仍相连，此时在 3.9m远处玩耍的身高为1m的小明（
）
A．没有危险 B．有危险 C．可能有危险 D．无法判断
解：如图所示：
AB＝9﹣4＝5，AC＝4﹣1＝3，
由勾股定理得：BC＝ ＝4＞3.9，
∴此时在3.9m远处耍的身高为1m的小明有危险，
故选：B．
3．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（﹣3，0），点B的坐标是（0，4），点M是OB上一点，
将△ABM沿AM折叠，点B恰好落在x轴上的点B'处，则点M的坐标为（ ）
A．（ ，0） B．（0， ） C．（ ，0） D．（0， ）
解：
∵将△ABM沿AM折叠，
∴AB＝AB'，
又A（﹣3，0），B（0，4），
∴AB＝5＝AB'，∴点B'的坐标为：（2，0），
设M点坐标为（0，b），
则B'M＝BM＝4﹣b，
∵B'M2＝B'O2+OM2，
∴（4﹣b）2＝22+b2，
∴b＝ ，
∴M（0， ），
故选：B．
4．为了美化环境，净化城市的天空，某市要将建在西里（城中村）的一座高 50m的烟囱拆除，由于烟囱
附近的房子密集，拆除只能采取分段拆除，若烟囱折断时，顶端下来正好砸在距烟囱底部10m的地方最
安全，那么按以上要求该烟囱应从底部向上 2 4 米处折断．
解：设从底部向上x米处折断，则另外两边分别为50﹣x，10
故102+x2＝（50﹣x）2
解得x＝24（米）
故烟囱应从底部向上24米处折断．
故答案为24．
5．如图所示，某商场有一段楼梯，高BC为2米，楼梯最高点和最低点的距离AB为4米，如果在楼梯上
铺上地毯，那么要使用的地毯长度是 （ 2 +2 ）米 ．
解：在Rt△ABC中，BC＝2，AB＝4．
∴AC＝ ＝2 ．
由题意可得，楼梯所有台阶的高度之和等于BC，楼梯所有台阶的水平距离之和等于AC．
∴地毯的长度为：AC+BC＝（2 +2）米．
故答案为：（2 +2）米．6．我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭（jiā）生其中，出水一尺．
引葭赴岸，适与岸齐．问水深几何？”（丈、尺是长度单位，1丈10尺）其大意为：有一个水池，水面
是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇AB，它高出水面1尺（即BC＝1尺）．如果把
这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端B恰好到达池边的水面D处．问水的深度是多少？则水深DE
为 1 2 尺．
解：设水深为h尺，则芦苇长为（h+1）尺，
根据勾股定理，得（h+1）2﹣h2＝（10÷2）2，
解得h＝12，
∴水深为12尺，
故答案是：12．
7．细心观察图形，解答问题：
（1）OA ＝ ，OA ＝ ，OA ＝ 2 ，OA ＝ ；
2 3 4 n
（2）△OA A 的周长＝ 2 +4 ；
8 9
（3）若一个三角形的面积是 ，计算说明它是第几个三角形？
解：（1）OA ＝ ＝ ＝ ，
2
OA ＝ ＝ ＝ ，
3OA ＝ ＝ ＝ ＝2，
4
OA ＝ ＝ ＝ ．
n
故答案为： ， ，2， ；
（2）△OA A 的周长＝OA +OA +A A ＝ + +1＝2 +4，
8 9 8 9 8 9
故答案为：2 +4；
（3）设它是第n个三角形，则 × ×1＝2 ，
∴ ＝4 ，
∴n＝32，
答：它是第32个三角形．
8．如图，在水池的正中央有一根芦，池底长10尺，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，它
的顶端恰好到达池边的水面则这根芦苇的长度是 1 3 尺 ．
解：设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺，
根据勾股定理得：x2+（ ）2＝（x+1）2，
解得：x＝12，
芦苇的长度＝x+1＝12+1＝13（尺），
故答案是：13尺．
9．某船从港口A出发沿南偏东32°方向航行15海里到达B岛，然后沿某方向航行20海里到达C岛，最后
沿某个方向航行了25海里回到港口A，判断此时△ABC的形状，该船从B岛出发到C是沿哪个方向航
行的，请说明理由．解：该船从B岛出发到C是沿西偏南32°方向航行的．
理由：由题意得：AB＝15海里，BC＝20海里，AC＝25海里，
∵152+202＝252，
∴△ABC为直角三角形，且∠ABC＝90°，
由题意得∠BAD＝32°，∠ADB＝90°，
∴∠ABD＝90°﹣32°＝58°，
∴∠CBD＝90°﹣58°＝32°，
故该船从B岛出发到C是沿西偏南32°方向航行的．
10．如图，淇淇在离水面高度为5m的岸边C处，用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13m．
（1）开始时，船距岸A的距离是 1 2 m；
（2）若淇淇收绳5m后，船到达D处，则船向岸A移动 （ 1 2 ﹣ ） m．
解：（1）在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，BC＝13m，AC＝5m，∴ （m），
故答案为：12；
（2）∵淇淇收绳5m后，船到达D处，
∴CD＝8（m），
∴AD＝ （m），
∴BD＝AB﹣AD＝（12﹣ ）m．
故答案为：（12﹣ ）．
11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝9，AB垂直平分线分别交AB，AC及BC的延长线于
点D，E，F，求CE和CF的长．
解：
如图，连接BE，
∴E为线段AD垂直平分线上的点，
∴BE＝AE＝12，
设CE＝x，则BE＝AE＝12﹣x，
在Rt△BCE中，由勾股定理可得BC2+CE2＝BE2，
即92+x2＝（12﹣x）2，解得x＝ ，
即CE的长为 ；
同理AF＝BF，
设FC＝y，则AF＝BF＝9+y，
在Rt△AFC中，由勾股定理可得AC2+FC2＝AF2，
即122+y2＝（9+y）2，解得y＝3.5，
即CF的长为3.5．12．如图所示，折叠长方形一边AD，点D落在BC边的点F处，已知BC＝10厘米，AB＝8厘米，
（1）求BF与FC的长；
（2）求EC的长．
解：（1）∵四边形ABCD是长方形，
∴AD＝BC＝10cm，
∵折叠长方形一边AD，点D落在BC边的点F处，
∴AF＝AD＝10cm，
在Rt△ABF中，根据勾股定理得，BF＝ ＝ ＝6cm，
所以，FC＝BC﹣BF＝10﹣6＝4cm；
（2）∵折叠长方形一边AD，点D落在BC边的点F处，
∴EF＝DE，
设EC＝x，则EF＝DE＝8﹣x，
在Rt△CEF中，根据勾股定理得，FC2+EC2＝EF2，
即42+x2＝（8﹣x）2，
解得x＝3，
即EC＝3cm．
13．学校的一棵大树被风吹断了，如图，距地面 6m处折断，折断的树梢顶部落在距树干底部8m处，求此
树原高是多少米？（图1）
有两棵大树，一棵高8m，另一棵高2m，BC＝6，一只小鸟从一棵树梢飞到另一棵树梢，至少飞多少米？（图2）
一架长10m的梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面8m，现将梯子顶端沿墙面下滑2m，则梯子底端与墙面
距离是否也增长2m？请说明理由（图3）
（1）在直角三角形ABC中，AC2＝AB2+BC2，
所以AC＝ ＝10m；
∴此树原高＝10+6＝16m．
（2）两点之间，直线最短，所以最短距离为直接从D点飞到A点，所以最短距离为：
AD＝ ＝ m；
（3）在直角三角形ABC中，AB＝8m，AC＝10m，则BC＝ ＝6m，
现将梯子顶端下移至D点，则BD＝6m，DE＝10m，所以在直角三角形BDE中，
BE＝ ＝8m，8m﹣6m＝2m，因此梯子底端与墙面的距离增加了2m．
14．解答题：
（1）已知x+y＝4，xy＝2，求x2+y2+3xy的值；
（2）先化简，再求值：（a+2b）2﹣（a﹣b）（a﹣4b），其中a＝ ，b＝2007；
（3）如图，一次“台风”过后，一根旗杆被台风从离地面 2.8米处吹断，倒下的旗杆的顶端落在离旗
杆底部9.6米处，那么这根旗杆被吹断裂前至少有多高？
（4）如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边上点F处，若AB＝8cm，BC＝10cm，求EC的长．
解：（1）∵x+y＝4，xy＝2
∴原式＝（x+y）2+xy＝16+2＝18；
（2）∵a＝ ，b＝2007，
∴（a+2b）2﹣（a﹣b）（a﹣4b）＝a2+4ab+4b2﹣a2+5ab﹣4b2＝9ab＝9× ×2007＝9；
（3）如图，
∵∠C＝90°，
∴AB＝ ＝ ＝10米，
∴旗杆的高＝AC+AB＝2.8+10＝12.8米；
（4）由题意知，AE＝AD＝BC＝10，CD＝AB＝8，EF＝DE＝CD﹣CE＝8﹣CE，
在Rt△ABF中，BF＝ ＝6，
FC＝BC﹣BF＝10﹣6＝4，
在Rt△CFE中，FC2+CE2＝EF2，即42+EC2＝（8﹣CE）2，
解得：CE＝3cm．
