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第一次月考难点特训（二）和绝对值的几何意义有关的压轴题
1．阅读下面材料：
点A、B在数轴上分别表示数a、b．A、B两点之间的距离表示为|AB|．则数轴上A、B两点之间
的距离|AB|＝|a﹣b|．
回答下列问题：
（1）数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是 ；数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距
离是 ；
（2）数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是 ，如果|AB|＝2，那么x为
；
（3）当|x+1|+|x﹣2|取最小值时，符合条件的整数x有 ；
（4）令y＝|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|，问当x取何值时，y最小，最小值为多少？请求解．
2．先阅读，后探究相关的问题．
【阅读】|5﹣2|表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距
离；|5+2|可以看作|5﹣（﹣2）|，表示5与﹣2的差的绝对值，也可理解为5与﹣2两数在数轴
上所对应的两点之间的距离．
（1）如图，先在数轴上画出表示点 2.5的相反数的点B，再把点A向左移动1.5个单位，得到
点C，则点B和点C表示的数分别为 和 ，B，C两点间的距离是 ．
（2）数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离表示为 ；如果|AB|＝3，那么x为
．
（3）若点A表示的整数为x，则当x为 时，|x+4|与|x﹣2|的值相等．
（4）要使代数式|x+5|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是 ，最小值是 ．
3．先阅读，后探究相关的问题
【阅读】|5﹣2|表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距
离；|5+2|可以看作|5﹣（﹣2）|，表示5与﹣2的差的绝对值，也可理解为5与﹣2两数在数轴
上所对应的两点之间的距离．
（1）数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离表示为 ，如果点A、B的距离为3，
那么x为 ；
（2）若点A表示的整数为x，则当x为 时，|x+4|与|x﹣2|的值相等；（3）要使代数式|x+5|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是 ；
（4）要使|x﹣3|+|x+2|＝7，则x的值为 ．
4．认真阅读下面的材料，完成问题．
在学习绝对值时，我们知道绝对值的几何含义为数轴上一点到原点的距离．如|5|意义为表示5
的点到原点的距离，实际上可理解为，|5|＝|5﹣0|，即5到0点的距离．又如|5﹣3|表示5、3在
数轴上对应的两点之间的距离；|5﹣（﹣3）|表示5、﹣3在数轴上对应的两点之间的距离，容
易知道|5﹣（﹣3）|＝|5+3|＝8，即5与﹣3相距8个单位长度．
一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B之间的距离可表示为|a﹣b|．
（1）利用上面的知识回答：点A、B在数轴上分别表示有理数﹣5、1，那么A到B的距离可表
示为 ，这个距离的计算结果是 ．
（2）利用上面的知识回答：若|x﹣1|＝2，则x＝ ．
（3）利用上面的知识回答：|x﹣2|+|x+1|的最小值是 ．
5．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是 ；数轴上表示﹣3和2两点之间的距离是
；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离可以表示为|m﹣n|．那么，数轴上表示数x
与5两点之间的距离可以表示为 ，表示数y与﹣1两点之间的距离可以表示为 ．
（2）如果表示数a和﹣2的两点之间的距离是3，那么a＝ ；若数轴上表示数a的点位
于﹣4与2之间，求|a+4|+|a﹣2|的值；
（3）当a＝ 时，|a+5|+|a﹣1|+|a﹣4|的值最小，最小值是 ．
6．同学们都知道，|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为5与﹣2两数在数
轴上所对的两点之间的距离．试探索：
（1）|5﹣（﹣2）|＝ ；当|5﹣（﹣2）|＝|x|时，x＝ ．
（2）|x+5|表示 与 之间的距离；|x﹣2|表示 与 之间的距离；
找出所有符合条件的整数x，使得|x+5|+|x﹣2|＝7，这样的整数有 （直接写出答案）
（3）由以上探索，请你结合数轴猜想：对于任何有理数x，|x+3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有，
写出最小值；如果没有，说明理由．
7．阅读材料：我们知若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点间的距离表示为AB．
则AB＝|a﹣b|．所以式子|x﹣3|的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间
的距离．根据上述材料试探索：
（1）|5﹣（﹣2）|＝ ．（2）找出所有符合条件的整数x，使|x+5|+|x﹣2|＝7成立．
（3）由以上探索猜想，对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有，写出最小值；
如果没有，说明理由．
8．|5﹣3|表示5与3之差的绝对值，实际上也可理解为5与3两数在数轴上所对的两点之间的距离．
如|x﹣3|的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离．试探索：
（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是 ；
（2）表示﹣3和2两点之间的距离是 ；
（3）数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于 ．
（4）若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，求|a+4|+|a﹣2|的值．
（5）若x为有理数，则|x+12|+|x﹣8|的最小值为 ．
9．同学们都知道，|4﹣（﹣2）|表示4与﹣2的差的绝对值，实际上也可理解为4与﹣2两数在数
轴上所对应的两点之间的距离；同理|x﹣3|也可理解为x与3两数在数轴上所对应的两点之间的
距离．试探索：
（1）|4﹣（﹣2）|＝ ．
（2）找出所有符合条件的整数x，使|x﹣4|+|x+2|＝6成立．
（3）由以上探索猜想，对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有，写出最小值；
如果没有，说明理由．
10．（1）阅读下面材料：
点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为|AB|．
当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，|AB|＝|OB|＝|b|＝|a﹣b|；
当A、B两点都不在原点时，
①如图2，点A、B都在原点的右边|AB|＝|OB|﹣|OA|＝|b|﹣|a|＝b﹣a＝|a﹣b|；
②如图3，点A、B都在原点的左边，|AB|＝|OB|﹣|OA|＝|b|﹣|a|＝﹣b﹣（﹣a）＝|a﹣b|；
③如图4，点A、B在原点的两边，|AB|＝|OB|+|OA|＝|a|+|b|＝a+（﹣b）＝|a﹣b|；
（2）回答下列问题：
①数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离
是 ，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是 ；
②数轴上表示x和2的两点之间的距离是 ；数轴上表示x和﹣1的两点之间的距离是
；（用含x的式子表示）
③当|x+1|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是 ；
④当|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|取最小值时，相应的x的值是 ；
⑤求|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣2021|的最小值．11．综合探究
阅读材料：数轴是学习有理数的一种重要工具，任何有理数都可以用数轴上的点表示，这样能
够运用数形结合的方法解决一些问题．例如，两个有理数在数轴上对应的点之间的距离可以用
这两个数的差的绝对值表示；
在数轴上，有理数4与1对应的两点之间的距离为|4﹣1|＝3；
在数轴上，有理数5与﹣2对应的两点之间的距离为|5﹣（﹣2）|＝7；
在数轴上，有理数﹣4与3对应的两点之间的距离为|﹣4﹣3|＝7；
在数轴上，有理数﹣2与﹣5对应的两点之间的距离为|﹣2﹣（﹣5）|＝3；
…
如图1，在数轴上有理数a对应的点为点A，有理数b对应的点为点B，A，B两点之间的距离
表示为|a﹣b|或|b﹣a|，记为|AB|＝|a﹣b|＝|b﹣a|．
解决问题：（1）数轴上有理数2与﹣3对应的两点之间的距离等于 ；数轴上有理数x
与﹣5对应的两点之间的距离用含x的式子表示为 ；若数轴上有理数x与﹣3对应的两
点A，B之间的距离|AB|＝4，则x等于 ；
联系拓广：（2）如图2，点M，N，P是数轴上的三点，点M表示的数为4，点N表示的数为
﹣2，动点P表示的数为x．
①若点P在点M，N之间，则|PM|+|PN|＝ ．
②若|PN|＝2|PM|，即点P到点N的距离等于点P到点M距离的2倍，则x等于 ．
能力提升：若点P在点M，N之间，则|x+2|+|x﹣4|＝ ．
③若|x+2|+|x﹣4|＝12，则x等于 ．12．综合与探究
阅读材料：
数轴是学习有理数的一种重要工具，任何有理数都可以用数轴上的点表示，这样能够运用数形
结合的方法解决一些问题．例如，两个有理数在数轴上对应的点之间的距离可以用这两个数的
差的绝对值表示；
在数轴上，有理数3与1对应的两点之间的距离为|3﹣1|＝2；
在数轴上，有理数5与﹣2对应的两点之间的距离为|5﹣（﹣2）|＝7；
在数轴上，有理数﹣2与3对应的两点之间的距离为|﹣2﹣3|＝5；
在数轴上，有理数﹣8与﹣5对应的两点之间的距离为|﹣8﹣（﹣5）|＝3；……
如图1，在数轴上有理数a对应的点为点A，有理数b对应的点为点B，A，B两点之间的距离
表示为|a﹣b|或|b﹣a|，记为|AB|＝|a﹣b|＝|b﹣a|．
解决问题：
（1）数轴上有理数﹣10与﹣5对应的两点之间的距离等于 ；数轴上有理数x与﹣5对
应的两点之间的距离用含x的式子表示为 ；若数轴上有理数x与﹣1对应的两点A，B
之间的距离|AB|＝2，则x等于 ；
联系拓广：
（2）如图2，点M，N，P是数轴上的三点，点M表示的数为4，点N表示的数为﹣2，动点P
表示的数为x．
请从A，B两题中任选一题作答，我选择 题．
A．①若点P在点M，N两点之间，则|PM|+|PN|＝ ；
②若|PM|＝2|PN|，即点P到点M的距离等于点P到点N的距离的2倍，则x等于 ．
B．①若点P在点M，N之间，则|x+2|+|x﹣4|＝ ；
若|x+2|+|x﹣4|＝10，则x＝ ；
②根据阅读材料及上述各题的解答方法，|x+2|+|x|+|x﹣2|+|x﹣4|的最小值等于 ．
