文档内容
三角形的证明知识点汇总讲解
知识点1 全等三角形的判定及性质
判定定理简称 判定定理的内容 性质
SSS 三角形分别相等的两个三角形全等
SAS 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 全等三角形对
ASA 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 应边相等、对
AAS 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 应角相等
HL（Rt△） 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
知识点2 等腰三角形的性质定理及推论
内容 几何语言 条件与结论
等腰三角形 等腰三角形的两底角相等。 在△ABC中，若AB=AC，则 条件：边相等，即AB=AC
的性质定理 简述为：等边对等角 ∠B=∠C 结论：角相等，即∠B=∠C
等腰三角形顶角的平分线、 条件：等腰三角形中已知顶点的
在△ABC，AB=AC，AD⊥BC，则
底边上的中线及底边上的 平分线，底边上的中线、底边上
推论 AD是BC边上的中线，且AD
高线互相垂直，简述为：三 的高线之一
平分∠BAC
线合一 结论：该线也是其他两线
等腰三角形中的相等线段：1.等腰三角形两底角的平分线相等；2.等腰三角形两腰上的高相等；3.两腰上的
中线相等；4.底边的中点到两腰的距离相等
知识点3 等边三角形的性质定理
内容
性质定理 等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60度
（1）等边三角形是特殊的等腰三角形。它具有等腰三角形的一切性质
解读 （2）等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线“三线合一”
【易错点】所有的等边三角形都是等腰三角形，但不是所有的等腰三角形都是等边三角形
知识点4 等腰三角形的判定定理
内容 几何语言 条件与结论
等腰三角
有两个角相等的三角形是等腰 条件：角相等，即∠B=∠C
形的判定 在△ABC中，若∠B=∠C则AC=BC
三角形，简述为：等校对等边 结论：边相等，即AB=AC
定理
解读 对“等角对等边”的理解仍然要注意，他的前提是“在同一个三角形中”
判定一个三角形是等腰三角形有两种方法:1.利用等腰三角形；2.利用等腰三角形的判定定理，
拓展
即“等角对等边”
知识点5 反证法
概念 证明的一般步骤
在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推 （1）假设命题的结论不成立
导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件 （2）从这个假设出发，应用正确的推论方
相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成 法，得出与定义、基本事实、已有定理或已知
反证法
立，这种证明方法称为反证法 条件相矛盾的结果
（3）由矛盾的结果判定假设不正确，从而
肯定原命题正确
【要点提示】（1）对于一个数学命题，当用直接证法比较困难甚至不能证明时，往往采用间接证
法，反证法就是其中一种，当一个命题涉及“一定”“至少”“至多”“无限”“唯一”等
解读
情况时，由于结论的反面简单明确，常常用反证法来证明
（2）“推理”必须顺着假设的思路进行，即把假设当作已知条件，“得出矛盾”是指推出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果
知识点6 等边三角形的判定定理
内容
判定定理1 三个角都相等的三角形是等边三角形
判定定理2 有一角是60度的等腰三角形是等边三角形
解读 应用判定定理2时，证三角形是等腰三角形，且三角形中有一角为60°
判定一个三角形是等边三角形的方法有三个：（1）三边都相等的三角形是等边三角
拓展 形；（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角等于60°的等腰三角形
是等边三角形。注意要更根据条件和特征灵活选择判定方法
巧计乐背 三种方法证等边，定义与两个判定，判定2可先证等腰，再找60°角
知识点7 线段的垂直平分线的性质及判定
内容
性质定理 线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
判定定理 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
实例应用：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等（交点是外接圆圆心）
知识点8 角平分线的性质及判定
内容
性质定理 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
判定定理 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上
实例应用：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等（交点是内切圆圆心）
