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第一次月考难点特训（二）与实数有关的压轴题
1．阅读下面问题：
＝ ＝ －1；
1/ ＋ ＝1×( － )/ ( ＋ )/ ( － )＝ － ；
1/ ＋ ＝1×( － )/ ( ＋ )/ ( － )＝ － ；
试求：
(1) ＝________；
(2)当n为正整数时， ＝________；
(3)求 ＋ ＋ ＋…＋ ＋ 的值．
【答案】(1)
(2)
(3)9
【解析】
【分析】
（1）根据题目中的例子，可以将所求式子化简；
（2）根据题目中的例子，可以将所求式子化简；
（3）先将所求式子变形，然后计算即可．
【小题1】解： ，故答案为： ；
【小题2】 ，故答案为： ；
【小题3】．
【点睛】
本题考查二次根式的化简求值、分母有理化、平方差公式，解答本题的关键是明确它们各自的计
算方法．
2．先阅读下面的解题过程，然后再解答.形如 的化简，我们只要找到两个数a，b，使
， ，即 ， ，那么便有：
.
例如化简： .
解：首先把 化为 ，
这里 ， ，
由于 ， ，
所以 ，
所以 .
根据上述方法化简： .
【答案】见解析
【解析】
【分析】
应先找到哪两个数的和为13，积为42．再判断是选择加法，还是减法．
【详解】
根据题意，可知 ， ，
由于 ， ，
所以 ， ，
所以 .
【点睛】此题考查二次根式的性质与化简，解题关键在于求得 ， .
3．在 中， 三边的长分别为 ，求这个三角形的面积．小宝同学在解
答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点
（即 三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求 的高，而借用网格
就能计算出它的面积．
（1）请你将 的面积直接填写在横线上________；
思维拓展：
（2）我们把上述求 面积的方法叫做构图法．若 三边的长分别为 ，
请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的 ，并求出它的面积填写在
横线上_____；
探索创新：
（3）若 中有两边的长分别为 ，且 的面积为 ，试运用构图法在图
3的正方形网格（每个小正方形的边长为a）中画出所有符合题意的 （全等的三角形视为同
一种情况），并求出它的第三条边长填写在横线上_______．
【答案】（1） ；（2） ；（3） 或 ，画图见解析
【解析】
【分析】
（1）利用割补法求解可得；
（2）在网格中利用勾股定理分别作出边长为 、 、 的首尾相接的三条线段，再
利用割补法求解可得；（3）在网格中构建长为 和 的两边，然后根据三角形面积，构建出第三条边求解即可．
【详解】
解：（1） 的面积为 ，
故答案为： ；
（2）如图， ， ， ，
由图可得： ；
故答案为： ；
（3）如图所示， ， ，
此时 ；如图所示： ， ，
此时 ；
故答案为： 或 ．
【点睛】
本题是四边形的综合题，考查了勾股定理及作图的知识，解答本题关键是仔细理解问题背景，熟
练掌握勾股定理，关键是结合网格用矩形及容易求得面积的直角三角形表示出所求三角形的面积
进行解答．
4．若 表示不超过x的最大整数（如 等），求
的值．
【答案】2013
【解析】
【分析】
先根据题意进行分母有理化， ，
，则可以得到 ，由此可以得到 ，从而可以求解．
【详解】
解： ，
，
∴ ，
∵
∵ 表示不超过x的最大整数，
∴ ，
∴
．
【点睛】
本题主要考查了分母有理化，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
5．(1) 观察被开方数a的小数点与算术平方根 的小数点的移动规律:
a 0.0001 0.01 1 100 10000
0.01 x 1 y 100
填空:x= _______， y=______.
(2)根据你发现的规律填空:①已知 ≈1.414，则 =________， =_______；
② = 0.274，记 的整数部分为x,则 =___________.
【答案】（1） 0.1；10；（2）①14.14；0.1414；② .
【解析】
【分析】
（1）根据被开方数的小数点，以及相应的算术平方根的小数点的移动来找规律，即可得到答案；
（2）根据（1）中发现的规律，即可得到答案；
（3）利用（1）中的规律，求出 的值，然后得到整数x，即可得到答案.
【详解】
解：（1）根据表格可知，被开方数小数点每移两位，其结果小数点相应移一位；
∴ ， ；
故答案为：0.1，10；
（2）由被开方数小数点每移两位，其结果小数点相应移一位，可知，
∵ ，
∴ ， ；
故答案为： ， ；
（3）由被开方数小数点每移两位，其结果小数点相应移一位，可知，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为： .
【点睛】
本题主要考查了算术平方根的性质，解题需注意被开方数的小数点和相应的算术平方根的小数点
之间的互换关系．6．仔细观察图形，认真分析下列各式，然后解答问题.
OA ＝( )2＋1＝2，S＝ ；
1
OA ＝( )2＋1＝3，S＝ ；
2
OA ＝( )2＋1＝4，S＝ ；
3
…
求：(1)请用含有n(n是正整数)的等式表示上述变化规律；
(2)推算出OA 的长；
10
(3)求出S ＋S ＋S ＋…＋S 的值．
【答案】(1) ,Sn＝ (n为正整数)；（2） ；（3） .
【解析】
【分析】
（1）根据题意可知当n为正整数时，OAn2=（ ）2+1，Sn= ；
（2）把n=10，代入到（1）所推出的结论即可求出OA 的值；
10
（3）把n=1，2，3…10，分别代入到（1）所推出的结论Sn= ，即可求出S2，S2，S2，…S 2
1 2 3 10
的值，即可推出结果．
【详解】
解：(1) ＝( )2＋1＝n，Sn＝ (n为正整数)(2)∵ ＝10
∴OA ＝
10
(3) S2＋S2＋S2＋…＋S 2
1 2 3 10
＝( )2＋( )2＋( )2＋…＋( )2＋( )2
＝ ＋ ＋ ＋…＋ ＋
＝
＝
＝
7．阅读与计算:请阅读以下材料，并完成相应的任务．
斐波那契(约1170—1250)是意大利数学家，他研究了一列数,这列数非常奇妙，被称为斐波那契数
列(按照一定顺序排列着的一列数称为数列)．后来人们在研究它的过程中，发现了许多意想不到的
结果．在实际生活中，很多花朵(如梅花、飞燕草、万寿菊等)的瓣数恰是斐波那契数列中的数．斐
波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用．
斐波那契数列中的第n个数可以用 表示(其中n≥1)，这是用无理数表示有
理数的一个范例．
任务：请根据以上材料，通过计算求出斐波那契数列中的第1个数和第2个数．
【答案】第1个数为1；第2个数为1
【解析】
【分析】
分别把1、2代入式子化简求得答案即可．
【详解】
当n＝1时=
＝ ＝1
当n＝2时，
＝
＝
= ＝1
8．设 ， ， ，…， ．若
，求S（用含n的代数式表示，其中n为正整数）．
【答案】
【解析】
【详解】
试题分析：先分别求出S ， S ， …，S 的值，再把S表示出来为S= + +···+
1 2 n
，然后变形为：S=1+ ，进而变形为：S=1+ ﹣ +1+ ﹣
+…+1+ ，从而可以得出结论．
试题解析：∵ ， ， ，…，
． ∴S=（ ）2 ， S=（ ）2 ， S=（ ）2 ， …，S=（
1 2 3 n）2 ，
∵ ，
∴S= ，
∴S=1+ ，
∴S=1+1﹣ +1+ ﹣ +…+1+ ，
∴S=n+1﹣ =
9．已知： ， 求 的算数平方根
【答案】
【解析】
【分析】
先分别对a、b分母有理化，再求出ab、a2+b2的值，然后再化简 ，最后代入运算即可．
【详解】
解：∵
∴ab=
a2+b2=（a+b）2-2ab= =18
∴ ．
∴ 的算数平方根为【点睛】
本题考查了二次根式的化简求值，正确运用分母有理化并求出ab、a2+b2的值是解答本题的关键．
10．观察下列各式及其变形过程： ， ，
．
（1）按照此规律和格式，请你写出第五个等式的变形过程： ；
（2）请通过计算验证（1）中 变形过程的正确性；
（3）按照此规律，计算 的值．
【答案】（1） ；（2）见解析；（3） ．
【解析】
【分析】
（1）利用题中等式的规律求解；
（2）利用分母有理化和二次根式的除法法则进行证明；
（3）先合并括号内的二次根式，然后利用平方差公式计算．
【详解】
解：（1） ；
故答案为： ；
（2）
、
；（3）原式
．
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运
算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选
择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
11．在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为 、 、 ，求这个三角形的面积．小华同
学在解答这道题时，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点
△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求△ABC的高，而借用
网格就能计算出它的面积．这种方法叫做构图法．
（1）△ABC的面积为： ．
（2）若△DEF三边的长分别为 、 、 ，请在图2的正方形网格中画出相应的△DEF，并利
用构图法求出它的面积为 ．
（3）如图3，△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC
外作等腰Rt ABE和等腰Rt ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q．试探究EP
与FQ之间的△数量关系，并证△明你的结论．
（4）如图4，一个六边形的花坛被分割成7个部分，其中正方形PRBA，RQDC，QPFE的面积分
别为13m2、25m2、36m2，则六边形花坛ABCDEF的面积是 m2．【答案】（1）3.5；（2）3； （3）EP=FQ，证明见解析；（4）110m²．
【解析】
【详解】
分析：（1）利用△ABC所在的正方形的面积减去四周三个小直角三角形的面积，计算即可得解；
（2）根据网格结构和勾股定理作出△DEF，再利用△DEF所在的矩形的面积减去四周三个小直角
三角形的面积，计算即可得解；（3）利用同角的余角相等求出∠BAG=∠AEP，然后利用“角角
边”证明△ABG和△EAP全等，同理可证△ACG和△FAQ全等，根据全等三角形对应边相等可得
EP=AG=FQ；（4）过R作RH⊥PQ于H，设PH=h，在Rt PRH和Rt RQH中，利用勾股定理列
式表示出PQ，然后解无理方程求出h，从而求出△PQR的△面积，再根△据六边形被分成的四个三角
形的面积相等，总面积等于各部分的面积之和列式计算即可得解．
本题解析：
(1) ABC的面积=3×3− ×2×1− ×3×1− ×2×3=9−1−1.5−3=9−5.5=3.5；
△
(2) DEF如图2所示:
△
面积=2×4− ×1×2− ×2×2− ×1×4=8−1−2−2=8−5=3；
(3) EP=FQ，
证明：∵△ABE是等腰直角三角形，∴AB=AE,∠BAE=90 ，
∴∠PAE+∠BAG=180°−90°=90°,又∵∠AEP+∠PAE=90°，∘∴∠BAG=∠AEP，
在△ABG和△EAP中，，∴△ABG≌△EAP(AAS)，同理可证, ACG≌△FAQ，∴EP=AG=FQ；
△
(4)如图4，过R作RH⊥PQ于H，设RH=h，
在Rt PRH中,PH= ，
△
在Rt RQH中,QH= ,
△
∴PQ= =6，
，
两边平方得,25−h²=36−12 +13−h²，
整理得, =2，
两边平方得,13−h²=4，
解得h=3，
∴ ×6×3=9，
∴六边形花坛ABCDEF的面积=25+13+36+4×9=74+36=110m².
点睛：本题考查了勾股定理，构图法求三角形的面积，全等三角形的判定与性质，读懂题目信息，
理解构图法的操作方法是解决本题的关键.
12．小明遇到这样一个问题：已知：在△ABC中，AB，BC，AC三边的长分别为 、 、
，求△ABC的面积．
小明是这样解决问题的：如图1所示，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），从而借助网格就能计算出
△ABC的面积．他把这种解决问题的方法称为构图法．请回答：
（1）求图1中△ABC的面积；
参考小明解决问题的方法，完成下列问题：
（2）图2是一个6×6的正方形网格（每个小正方形的边长为1）．
①利用构图法在答题卡的图2中画出三边长分别为 、 、 的格点△DEF；
②计算△DEF的面积是 ．
（3）如图3，已知△PQR，以PQ，PR为边向外作正方形PQAF，PRDE，连接EF．若PQ=
，PR= ，QR= ，求六边形AQRDEF的面积．
【答案】（1）△ABC的面积是 ；（2）①见解析； ②△DEF的面积为8；（3）31．
【解析】
【详解】
试题分析：（1）画出格子后可以根据格子的面积很容易的算出三角形的面积，大矩形的面积减去
矩形内除去所求三角形的面积即可．（2）①根据题意作出图形；②用四边形面积减去三个三角形
面积即可得．（3）．如图，将△PQR绕点P逆时针旋转900，由于四边形PQAF，PRDE是正方形，
故F，P，H共线，即△PEF和△PQR是等底同高的三角形，面积相等．根据图形求得△PQR的面
积，再根据六边形AQRDEF的面积=正方形PQAF的面积+正方形PRDE的面积+2 PQR的面积即
可求得六边形AQRDEF的面积． △
试题解析：解：（1）△ABC的面积为：3×3- ；
（2）①①作图如下（答案不唯一）：②△DEF的面积为：4×5- ；
（3）六边形AQRDEF的面积=正方形PQAF的面积+正方形PRDE的面积+2 PQR的面积
△
= ．
考点：设计和应用作图；勾股定理；三角形面积的计算；旋转的性质．
