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1.2.4 绝对值
绝对值
定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|.
注意：
（1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是
0．即对于任何有理数a都有：
（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对
值越大；离原点的距离越近，绝对值越小．
（3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的．
2.性质：绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0．
题型1：求一个数的绝对值
1.－2的绝对值是（ ）
1 1
A．2 B．－2 C． D．−
2 2
【变式1-1】下列各式正确的是（ ）
1
A．|﹣3|＝|3| B．|﹣3|＝﹣|3| C．|﹣3|＝﹣3 D．|−3|=
−3
题型2：化简含字母的绝对值式子
2.有理数 a、b 在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简 |a+b| 的结果正确的是（ ）
A．a+b B．a−b C．−a+b D．−a−b
【变式2-1】如图，数轴上的点A所表示的数为a，化简|a|﹣|a﹣4|的结果为（ ）A．﹣2a﹣4 B．﹣4 C．2a+4 D．4
【变式2-2】已知有理数a、b、c在数轴上的对应点如图所示，化简： |b−a|−|a+c|+2|c−b| .
题型3：绝对值的非负性
3.在﹣（﹣2）、﹣|﹣2|、 −22 、 (−2) 2 中正数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式3-1】如果a表示一个任意有理数，那么下面说法正确的是（ ）
A．−a 是负数 B．|a| 一定是正数
C．|a| 一定不是负数 D．|a| 一定是负数
【变式3-2】若 |x+2|+|y−5|=0 ，则 x+ y = .
题型4：相反数、绝对值求字母的值
4.若 |x|=−x ，则 x （ ）
A．x>0 B．x≤0 C．x≥0 D．x<0
【变式4-1】已知|a﹣3|与|b+5|互为相反数，计算a﹣b的值.
【变式4-2】已知│x│=2003，│y│=2002，且x＞0，y＜0，求x+y的值.
有理数的大小比较
1.数轴法：在数轴上表示出这两个有理数，左边的数总比右边的数小. 如：a与b在数轴上的位置如图所
示，则a＜b．
2.法则比较法：
两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下：
同为正号：绝对值大的数大
两数同号
同为负号：绝对值大的反而小
两数异号 正数大于负数
正数与0：正数大于0
－数为0
负数与0：负数小于0
3. 作差法：设a、b为任意数，若a-b＞0，则a＞b；若a-b＝0，则a＝b；若a-b＜0，a＜b；反之成立．4. 求商法：设a、b为任意正数，若 ，则 ；若 ，则 ；若 ，则 ；反之也成
立．若a、b为任意负数，则与上述结论相反．
5. 倒数比较法：如果两个数都大于0，那么倒数大的反而小.
注意：
利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：（1）分别计算两数的绝对值；（2）比较绝对值的大小；
（3）判定两数的大小．
题型5：比较有理数的大小
5.在-2.5，-2，0，1.5这几个数中，最小的数是（ ）
A．-2.5 B．-2 C．0 D．1.5
【变式5-1】已知a＞0，b＜0且a+b＜0，那么有理数a，b，﹣a，|b|的大小关系是
.（用“＜”号连接）
【变式5-2】在数轴上表示下列各数，并用“<”符号将它们连结起来.
1
-4， |−2.5| ， −|3| ， −1 ， −(−1) ，0
2
【变式5-3】有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，且|a|＝|b|，化简|c－a|＋|c－b|＋|a＋b|.
题型6：绝对值的实际应用
6.一条东西方向的道路上有A，B两点，现有出租车从A点出发，在这条路道路上进行往返运动，
以该道路为直线建立数轴（向东为正，1千米为1个单位长度）．点A，B分别表示－8，10，将出租
车在数轴上的位置记为点C，每次运动的位置变化记录如下(x>0)：
次数 第一次 第二次 第三次 第四次
变化记录（单位：千米） －3 －x 3x+3 －x－4
（1）第一次运动后点C在数轴上所表示的数为 ，第二次运动方向为 (填“向
东”或“向西”)．
（2）若经过前三次运动，点C恰好与点B重合．
①求x的值．
②点C这四次一共运动了多少千米的路程？
【变式6-1】一条南北走向的大道上，由南向北依次坐落着甲、乙、丙、丁四个村庄，其中甲、乙相距
3千米，甲、丙相距5千米，乙、丁相距4千米，若以乙村庄为原点，向北为正方向，1千米为单位长
度．
（1）将四个村庄所处的位置在数轴上表示出来；
（2）若设甲、乙、丙、丁四个村庄表示的数分别为 A、B、C、D ，比较四个数的大小；
（3）若改为以丙村为原点，向南为正方向，其他条件不变，试将四个村庄所处的位置在数轴上表
示出来．1．如果 |a|=a ，那么 a 是（ ）
A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数
2．已知a、b为有理数，且a＜0，b＞0，|b|＜|a|，则a，b，﹣a，﹣b的大小关系是（ ）
A．﹣b＜a＜b＜﹣a B．﹣b＜b＜﹣a＜a
C．a＜﹣b＜b＜﹣a D．﹣a＜b＜﹣b＜a
3．下列各数的相反数中，最大的是（ ）
A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2
2
4．− 的绝对值是（ ）
3
3 2 3 2
A．− B．− C． D．
2 3 2 3
5．下列比较大小正确的是（ ）
2 2 5 5
A．|- |＝- B．- ＞-
5 5 6 7
1 7 6
C．-（-5 ）＜|-5．5| D．- ＜-
2 8 7
6．在下列各数中，比﹣1小的数是（ ）
A．1 B．-1 C．-2 D．0
7．大于－2.5而小于3.5的整数共有( )
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
二、填空题
3
8．已知如下各数：4， − ，0，-4，2.5，-1，解答下列各题
2
（1）用“＞”号把这些数连接起来
（2）这些数的绝对值的和是3 4
9．比较大小：－2 2；｜－1.5｜ 0， − − （填“>”或“<”）
4 5
10．若 |x+1| =7，则x=
11．已知|a－5|+|b+6|=0，则 (a+b) 2021 的值为 ；
三、计算题
12．化简
4
（1）-∣- ∣
5
（2）∣3.14- π ∣
6
（3）-［-（-2 ）］
7
13．如果x＜-2，化简|1-|1+x||．
四、解答题
14．先画一个数轴，再把下列各数在数轴上表示出来，最后按照从小到大的顺序用“<”连接起来.
3
-2，-1.5， ，0，-3，4，6
2
15．|a|=2,|b|=5,,并且 a＜b求a、b的值
