文档内容
特训05 期中选填压轴题 （第1-3章，十二大题型归纳）
目录：
题型1：丰富的图形世界压轴题
题型2：分类讨论化简绝对值
题型3：数轴上的距离、动点问题
题型4：有理数的混合运算
题型5：程序框图
题型6：新定义的有理数运算
题型7：有理数运算的应用
题型8：有理数乘方的规律题
题型9：化简绝对值与合并同类项
题型10：整式加减中无关型、恒成立问题
题型11：整式加减的应用
题型12：数字、图形规律的探索
题型1：丰富的图形世界压轴题
1．用小立方块搭成的几何体，从左面看和从上面看如下，这样的几何体最多要 个小立方块，最少要 个
小立方块，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由左视图和俯视图可得，如图所示：
第1个图最多共有6+1＝7个，第2个图最少有3+1+1＝5个，故x=7，y=5,所以x+y=12．
故答案是12．
12．一个正方体锯掉一个角后，顶点的个数是（ ）
A．7个 或8个 B．8个或9个
C．7个或8个或9个 D．7个或8个或9个或10个
【答案】D
【解析】如下图，一个正方体锯掉一个角，存在以下四种不同的情形，新的几何体的顶点个数分别为：7
个、8个、9个或10个.
故选D.
3．将一个正方体的各个面涂上红色或蓝色（可以只用一种颜色），则正方体不同的涂色方案总共有（ ）
种
A．6 B．8 C．9 D．10
【答案】D
【分析】列举各个面的不同颜色构成结果，即可得到答案.
【解析】假设1与4对面，2与5对面，3与6对面，
①全红；
②全蓝；
③1红色，2、3、4、5、6蓝色；
④1蓝色，2、3、4、5、6红色；
⑤1、2红色，3、4、5、6蓝色；
⑥1、2蓝色，3、4、5、6红色；
⑦1、4红色，2、3、5、6蓝色
⑧1、4蓝色，2、3、5、6红色；
⑨1、2、3红色，4、5、6蓝色；
⑩1、2、4红色，3、5、6蓝色.
故选：D.
【点睛】此题考查正方体的构成特点，共三组对面，当涂色时，可分对面和邻面的位置关系确定颜色类型.
题型2：分类讨论化简绝对值
4．已知 ， 且 ．则 的值为（ ）
A．0 B．0或1 C． 或 或 D． 或 或
2【答案】A
【分析】由 ， ，可得 、 、 三个数中有一个负因数，且正因数绝对值的和大于负因
数的绝对值，由此可得 、 、 的符号有三种情况（ ， ， 或 ， ， 或 ，
， ），再根据绝对值的性质分三种情况求得 的值即可解答
【解析】∵ ， ，
∴ 、 、 三个数中有一个负因数，且正因数绝对值的和大于负因数的绝对值，
∴ ， ， 或 ， ， 或 ， ， ，
当 ， ， 时， ， ， ，
∴
；
当 ， ， 时， ， ， ，
∴
；
当 ， ， 时， ， ， ，
∴
综上，当 ， 时，
故选：A．
3【点睛】本题考查了有理数的运算法则及绝对值的性质，正确得到 、 、 的符号有三种情况（ ，
， 或 ， ， 或 ， ， ）是解决问题的关键
5．下列说法正确的有（ ）
①已知a，b，c是非零的有理数，且 时，则 的值为1或 ；
②已知a，b，c是有理数，且 ， 时，则 的值为 或3；
③已知 时，那么 的最大值为7，最小值为 ；
④若 且 ，则式子 的值为 ；
⑤如果定义 ，当 ， ， 时， 的值为 ．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】①由题意可得， ，则 中有一个或三个值为负数，讨论求解即可；②由 可得
中有一个值为负数，求解即可；③根据 化简绝对值，然后求解即可；④由题意可得 或
，分别求解即可；⑤根据题意可得 异号，分两种情况求解即可．
【解析】解：①由 可得 ， 中有一个或三个值为负数，
当 ， 时，
当 时，
故①正确；
②由 和 得 中有一个值为负数，
∴ ， ，
∴ ，
故②错误；
③当 时， ， ，
则 ，此时最大值为7，最小值为
4当 时， ，
则
故③正确；
④由 可得 或
当 时， 与 矛盾，舍去；
当 时， ， 且
解得 或
则 ，
故④正确；
⑤由题意可得 异号，
当 ， 时， ， ，
由 可得 ，即 符合题意，此时
则
当 ， 时， ，
由 可得 ，即 ，与 矛盾，舍去，
综上
故⑤正确；
正确的个数为4
故选：C
【点睛】本题主要考查了绝对值的性质，新定义问题，解题的关键是熟练应用绝对值的性质化简含有绝对
值的式子．
56．设有理数a、b、c满足 ，且 ，则 的最小值是（
）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据 可知 ， 异号，再根据 ，以及 ，即可确定 ， ， ， ， ，
在数轴上的位置，而 表示到 ， ， 三点的距离的和，根据
数轴即可确定．
【解析】解：∵ ，
∴a，c异号，
∵ ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
又∵ 表示到 ， ， 三点的距离的和，
当 在 时距离最小，
即 最小，最小值是 与 之间的距离，即 ．
故选：C．
【点睛】本题考查了绝对值函数的最值问题，解决的关键是根据条件确定 ， ， ， ， ， 之间
的大小关系，把求式子的最值的问题转化为距离的问题，有一定难度．
题型3：数轴上的距离、动点问题
7．如图，数轴上顺次有A、B、D、E、P、C六个点，且任意相邻两点之间的距离都相等，点A、B、C对
应的数分别为a、b、c，下列说法：①若 ，则D是原点；②若 ，则原点在B、D之间；
6③若 ，则 ；④若原点在D、E之间，则 ，其中正确的结论有（ ）
A．①②③ B．①③ C．③④ D．①③④
【答案】B
【分析】设相邻两点之间的距离为x，则 ， ，①原式变形可得 ，①正确；②由
数轴知， ， ，若 ，则原点在B、A之间；故②错误；③若 ，则 ，③正确；④若
原点在D、E之间，则 ，可得 ， ，可判断
.即 取值不一定小于0，故④错误；
【解析】解：设相邻两点之间的距离为x，则 ， ，
①若 ，则 ，
∴ ，即点D是原点，①正确；
②若 ，由数轴知， ，
∴ ， ，
若 ，则原点在B、A之间；故②错误；
③若 ，则 ， ，
∴ ，故③正确；
④若原点在D、E之间，则 ，
，
∴ .
∴
∴ .可知 取值不一定小于0，
∴ 不一定成立，故④错误；
故选：B．
【点睛】本题主要考查数轴比较实数大小，数轴表示数，绝对值的化简，不等式的性质，运用数形结合思
想是解题的关键．
8．如图，已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为8，且AB＝12，动点P从点A出
7发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为AP，BP的中点，
设运动时间为t（t＞0）秒，则下列结论中正确的有（ ）
①B对应的数是－4；②点P到达点B时，t＝6；③BP＝2时，t＝5；④在点P的运动过程中，线段MN的
长度不变
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】①根据两点间距离进行计算即可；
②利用路程除以速度即可；
③分两种情况，点P在点B的右侧，点P在点B的左侧，由题意求出AP的长，再利用路程除以速度即可；
④分两种情况，点P在点B的右侧，点P在点B的左侧，利用线段的中点性质进行计算即可．
【解析】解：设点B对应的数是x，
∵点A对应的数为8，且AB=12，
∴8-x=12，
∴x=-4，
∴点B对应的数是-4，
故①正确；
由题意得：
12÷2=6（秒），
∴点P到达点B时，t=6，
故②正确；
分两种情况：
当点P在点B的右侧时，
∵AB=12，BP=2，
∴AP=AB-BP=12-2=10，
∴10÷2=5（秒），
∴BP=2时，t=5，
当点P在点B的左侧时，
∵AB=12，BP=2，
∴AP=AB+BP=12+2=14，
8∴14÷2=7（秒），
∴BP=2时，t=7，
综上所述，BP=2时，t=5或7，
故③错误；
分两种情况：
当点P在点B的右侧时，
∵M，N分别为AP，BP的中点，
∴MP= AP，NP= BP，
∴MN=MP+NP
= AP+ BP
= AB
= ×12
=6，
当点P在点B的左侧时，
∵M，N分别为AP，BP的中点，
∴MP= AP，NP= BP，
∴MN=MP-NP
= AP- BP
= AB
= ×12
=6，
∴在点P的运动过程中，线段MN的长度不变，
故④正确；
所以，上列结论中正确的有3个，
故选：C．
9【点睛】本题考查了数轴，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键．
9．如图，A、O、B两点在数轴上对应的数分别为﹣20、0、40，C点在A、B之间，在A、B两点处各放一
个挡板，M、N两个小球同时从C处出发，M以2个单位/秒的速度向数轴负方向运动，N以4个单位/秒的
速度向数轴正方向运动，碰到挡板后则反方向运动，速度大小不变．设两个小球运动的时间为t秒钟（0＜
t＜40），当M小球第一次碰到A挡板时，N小球刚好第一次碰到B挡板．则：①C点在数轴上对应的数
为0；②当10＜t＜25时，N在数轴上对应的数可以表示为80﹣4t；③当25＜t＜40时，2MA+NB始终为定
值160；④只存在唯一的t值，使3MO＝NO，以上结论正确的有（ ）
A．①②③④ B．①③ C．②③ D．①②④
【答案】D
【分析】设C点在数轴上对应的数为 ，根据题意可得 ，求得 ；根据题意分时间段讨论
两小球的位置，分别求解即可．
【解析】解：设C点在数轴上对应的数为 ，则 ，
当M小球第一次碰到A挡板时，N小球刚好第一次碰到B挡板，则
解得 ，即C点在数轴上对应的数为0，①正确；
当 时，N小球运动的距离为 ，刚好到达 点，
当 时，N小球运动的距离为 ，刚好到达 点，M小球运动的距离为
当10＜t＜25时，N小球从 点向 点开始运动，此时 ，
点 表示数的为 ，②正确；
当 时，N小球运动的距离为 ，M小球运动的距离为
当25＜t＜40时，N小球从 点向 点开始运动，M小球向 点运动
则 ， ，
，③错误；
当 时， ， ，
由题意 得， ，解得 ，不符题意；
当 时， ， ，
10由题意 得， ，解得 ，不符题意；
当 时， ，
当 时， ，
由题意 得， ，解得 ，此时 三点重合，成立；
当 时， ，
由题意 得， ，解得 ，不符题意；
当 时， ，
由题意 得， ，解得 ，不符题意；
④正确
故选：D
【点睛】此题考查了数轴的应用，涉及了数轴上两点之间的距离以及数轴上的动点，解题的关键是理解题
意，掌握题中的等量关系，分时间段进行讨论求解即可．
题型4：有理数的混合运算
10．如果四个互不相同的正整数 满足 ，则 的最
大值为（ ）
A．40 B．53 C．60 D．70
【答案】B
【分析】由题意确定出 的值，代入原式计算即可求出值．
【解析】∵四个互不相同的正整数 ，满足 ，
∴要求 的最大值，即m最大，4-m最小，则有： ， ， ，
，
解得： ，
则 ．
故选：B．
【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
11．已知 和 是一对互为相反数， 的
值是（ ）
11A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先用绝对值非负性求出a、b的值，代入到所求的代数式中再运用 进行简便运算．
【解析】∵ 和 是一对互为相反数
∴ + =0
∴a=1，b=2
∴
=
=
=
=
=
故选：C．
【点睛】此题考查绝对值的非负性和有理数的简便运算．其关键是要发现并运用 对 ，
， 等进行裂项，并两俩抵消．
12．计算：
．
【答案】
12【分析】设 ，先把两个多项式拆分，然后利用乘法分配律进行计算，然后计算加减法，
即可得到答案.
【解析】解：设 ，则 ，
∴原式=
=
=
= .
故答案为： .
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则进行解题，注意使用换元法，以及乘法分配律
进行解题是关键.
题型5：程序框图
13．输入数值1922，按如图所示的程序运算（完成一个方框内的运算后，把结果输入下一个方框继续进行
运算），输出的结果为（ ）
A．1840 B．2022 C．1949 D．2021
【答案】B
【分析】把1922代入程序得 ，再把 代入运算程序得 ， ，问
题得解．
13【解析】解：把1922代入程序得
，
把 代入运算程序得
，
，
所以输出的结果为2022．
故选：B
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，读懂运算程序图，能熟练进行有理数混合运算是解题关键．
14．2022年10月16日在中国共产党第二十次全国代表大会开幕会上，习近平总书记作报告时说，我国一
些关键核心技术实现突破，战略性新兴产业发展壮大，载人航天、探月探火、深海深地探测、超级计算机、
卫星导航、量子信息、核电技术、大飞机制造、生物医药等取得重大成果，进入创新型国家行列．科技的
力量离不开复杂的程序，现在请同学们体会一个小小的程序设计．如图，若开始输入的 值为48．我们发
现第一次输出的结果为24，第二次输出的结果为12，…，则第2022次输出的结果为 ．
【答案】3
【分析】根据题意和运算程序，可以写出前几次的输出结果，从而可以发现输出结果的变化特点，然后即
可得到第2022次输出的结果．
【解析】解：由题意可得，
第一次输出的结果为24，
第二次输出的结果为12，
第三次输出的结果为6，
第四次输出的结果为3，
第五次输出的结果为6，
，
由上可得，从第三次开始，输出结果依次以6，3循环出现，
14，
∴第2022次输出的结果为3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现输出结果的变化特点，求出相应的运
算结果．
15．如图，有一个数值转换器，输入x后按照箭头的指示进行计算，输出的结果则作为新的输入数值重新
计算．
(1)若最初输入的是 ，可发现第一次输出的结果是______；
第二次输出的结果是______；
第2023次输出的结果为______．
(2)若第三次输出的结果是0，则最初输入的数值可能是______．
【答案】(1)4，2，4；
(2) 或 或 或 ．
【分析】（1）根据题意，可以写出前几个输出结果，从而可以发现输出结果的变化特点，从而可以求得
第 次输出的结果．
（2）根据输入的数据的奇偶性分类讨论求解即可．
【解析】（1）解：当 时， ，
当 时， ，
由题意可得，
第一次输出的结果是 ，
第二次输出的结果是 ，
第三次输出的结果是 ，
第四次输出的结果是 ，
第五次输出的结果是 ，
由上可得，输出结果依次以 ，2， 循环出现，每 个一次循环，
∵ ．
15∴第 次输出的结果是 ，
故答案为： ， ， ；
（2）解：∵第三次输出的结果是 ， 为奇数，用 计算， 为偶数，用 计算，
∴当第二次输出为偶数时，第二次输出结果为 ，当第二次输出结果为奇数时，第二次输出结果为
；
∴当第二次输出为 时，第一次输出结果为 或 ，当第一次输出结果为 时，最初输入的数值为 或 ，
当第一次输出结果为 时，最初输入的数值为 ，
同理可得：第二次输出结果为 时，最初输入的数值为 ，
∴最初输入的数值为 或 或 或 ，
故答案为 或 或 或
【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现输出结果的变化特点，求出相应
次数的输出结果．
题型6：新定义的有理数运算
16．定义：如果 ，那么x叫做以a为底N的对数，记作 ．例如：因为 ，
所以 ；因为 ，所以 ．则下列说法正确的个数为（ ）
① ；
② ；
③若 ，则 ；
④ ．
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【分析】根据对数的定义和乘方意义解题即可．
【解析】解：①∵ ，
∴ ，故说法①正确，符合题意；
②设 ， ，则 ， ，
16∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，即 ，故②正确，符合题意；
③设 ，则 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，解得 ，故③说法正确，符合题意；
④设 ， ，则 ， ，
∴ ,
∴
故说法④正确，符合题意；
∴正确的说法有 个，
故选：A．
【点睛】本题以新定义题型为背景，主要考查了学生的数的乘方的计算能力，在解答新定义题型的时候，
首先一定要把定义理解透彻，然后灵活应用定义变化，一一判断给出的说法是否正确．
17．读一读：式子“ ”表示从1开始的100个连续自然数的和，由于式子比较长，书
写不方便，为了简便起见，我们将其表示为 ，这里“ ”是求和符号．通过对以上材料的阅读，计算
的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据求和公式写出分数的和的形式，根据分数的性质计算即可．
17【解析】
故选：B
【点睛】本题考查的是数字的变化类问题，根据题意写出分数的和的形式、并正确进行分解是解题的关键．
18．在数学学习中，复杂的知识往往都是简单的内容通过一定的规则演变而来的．例如对单项式x进行如
下操作：规定 ，且满足以下规律：
，…
，…
， ， ， ，…
其中n为正整数，以此类推：
① ；② ：③当 时， ；④当 时，
．以上说法正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】由题意知，将 代入 ，可判断①的正误；由 ，
，计算求解，可判断②的正误；由当 时，
18，与 矛盾，可判断③的正误；由
，记
，则 ，
，记 ，则 ，
，即 ， ，代入计算求解，进
而可判断④的正误．
【解析】解：∵ ，
∴ ， ， ，…
∴ ，
∴ ，①正确，故符合要求；
∵ ，
∴ ， ， ，…
∴ ，
∴ ，②正确，故符合
要求；
当 时， ，
∵ ，
∴③错误，故不符合要求；
当 时， ， ，
∴ ， ， ， ，…， ，
19，
∴ ，
记 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
记 ，则 ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴
，
∴④正确，故符合要求；
故选：C．
【点睛】本题考查了实数运算，数字的规律探究，幂的乘方的逆运算．解题的关键在于根据题意推导规律．
19．对任意一个四位数 ，若 满足各数位上的数字都不为0，且千位与百位上的数字不相等，十位与个
位上的数字不相等，那么称这个数为“砺新数”．将一个“砺新数” 的任意一个数位上的数字去掉后可
以得到四个新三位数，把这四个新三位数的和与3的商记为 ．例如，“砺新数” ，去掉千
位上的数字得到 ，去掉百位上的数字得到 ，去掉十位上的数字得到 ，去掉个位上的数字得到
，这四个新三位数的和 ， ，所以， ．根据定义：
；若“砺新数” （ ， ， 都是正整数）， 也是
20“砺新数”，且 能被 整除．则 ．
【答案】
【分析】根据定义即可计算 ；确定 的值，利用 能被 整除确定 的值即可．
【解析】解：
∵
∴去掉千位： ；去掉百位： ；去掉十位： ；去掉个位： ；
∵ 能被 整除
∴ 能被 整除，且 ，
∴当 时， （舍去）
当 时，
则
故答案为： ；
【点睛】本题考查了数字类的新定义题型．正确理解题意是解题关键．
题型7：有理数运算的应用
20．一根1m长的绳子，第1次剪去一半，第2次剪去剩下绳子的一半．如此剪下去，剪第8次后剩下的绳
子的长度是（ ）
A． m B． m C． m D． m
【答案】C
【分析】第一次剪去全长的 ，剩下全长的 ，
第二次剪去剩下的 ，剩下全长的 ＝ ，
第三次再剪去剩下的 ，剩下全长的 × ＝ ，
21如此剪下去……….
便可找到答案了.
【解析】解：第一次剪去全长的 ，剩下全长的 ，
第二次剪去剩下的 ，剩下全长的 ＝ ，
第三次再剪去剩下的 ，剩下全长的 × ＝ ，
如此剪下去，第8次后剩下的绳子的长为 ×1＝ ＝ （m）．
故选：C．
【点睛】本题考查归纳综合分析能力，属于常考题.
21．某原料供应商对购买其原料的顾客实行如下优惠办法： （1）一次购买金额不超过1万元，不予优惠；
（2）一次购买金额超过1万元，但不超过3万元，九折优惠； （3）一次购买超过3万元的，其中3万
元九折优惠，超过3万元的部分八折优惠．某公司分两次在该供应商处购买原料，分别付款7800元和
25200元．如果该公司把两次购买的原料改为一次购买的话，那么该公司一共可少付款（ ）
A．3360 元 B．2780 元 C．1460 元 D．1360元
【答案】D
【分析】首先确定第二次购买时应付的钱数（打折前），计算出一次性购买时的金额，减去前两次购买时
所花的钱数即可．
【解析】解：如果购买金额是3万元，则实际付款是:
30000×0.9= 27000元> 25200元；
∴第二次购买的实际金额不超过3万，应享受9折优惠：
25200 ÷0.9= 28000，
∴两次购买金额和是: 7800+ 28000=35800元，
如一次性购买则所付钱数是:
30000 ×0.9 +5800 ×0.8= 31640元，
∴可少付款7800+25200 - 31640=33000 -31640 =1360（元）．
故选D．
【点睛】本题主要考查分段付费问题，确定第二次购买时应付的钱数（打折前），是本题的解题关键．
22．共享单车已经成为许多城市中的重要交通工具，在北京上班的李雷，周一到周五要骑共享单车在单位
22宿舍与办公室之间进行两个往返，每个单程用时10分钟；周末和节假日回家（连续假日时，只需往返一
次），从宿舍到家单程骑行要50分钟．有 ， ， ， 四家共享单车公司，其收费规则如下表所示，
其中，使用半小时为一次；使用不足半小时，按一次计费．如果不考虑押金和服务等因素，仅从用车付费
的角度，且只使用一个公司的单车，则李雷在2021年2月26日（周五）到7月13日（周二）期间，用（
）公司的共享单车最划算（注：清明、端午各有三天假期，五一有五天假期）．
公
计费 付费优惠
司
1元/次 没有
1.5元/次 周末和节假日骑行免费
1.5元/次 每月可以抽到一张奖券，用此券免费不计次连续骑行一周
1.5元/次 每骑行付费一次，下次骑行免费
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】计算2021年2月26日（周五）到7月13日（周二）的工作日与假期的天数，获得骑行的次数与
时间，然后计算不同方案所需总费用，进行比较即可．
【解析】解：这段时间有20周，19个周末（含假清明、五一，端午），不足半小时的次数有
个，还有 个50分钟（回家、返公司）的单程．
∴若用 公司的车，约需付费： （元）；
若用 公司的车，约需付费： （元）；
若用 公司的车，大体认为在4.5个月的周期里，可以免单4.5周，计费的工作日不超过 天，
周末加法定假日不超过15个，大约需付费不超过： （元）；
若用 公司的车，约需付费： （元）．
综上所述，选用 公司的车最省钱，也就是最划算．
故选D．
【点睛】本题考查了有理数混合运算的应用．解题的关键与难点在于理解题意．
题型8：有理数乘方的规律题
2323．求 的值，可令 ①，①式两边都乘以3，则
②，②-①得 ，则 仿照以上推理，计算出
的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】令 ，然后两边同时乘以5，再两式作差即可．
【解析】解：令 ①，
①式两边同时乘以5，得 ②，
②-①得 ，即 ．
故选：C．
【点睛】本题考查有理数的运算，解题的关键是模仿题目中给出的计算方法进行计算．
24．观察等式： ； ； ； ，已知按一定规律排列的
一组数： ， ， ．若 ，用含 的式子表示这组数的和是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分析式子猜想规律，利用规律计算解题．
【解析】解： ；
；
；
，
24，
，
，
原式 ．
故选：D．
【点睛】本题考查规律问题，找准不变化的量和变化的量是解题关键．
25．我们平常用的是十进制，如:1967=1×103+9×102+6×101+7，表示十进制的数要用10个数码：0，1，2，
3，4，5，6，7，8，9．在计算机中用的是二进制，只有两个数码：0，1．如:二进制中111=1×22+1×21+1相
当于十进制中的7，又如：11011=1×24+1×23+0×22+1×21+1相当于十进制中的27．那么二进制中的1011相当
于十进制中的( )
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】C
【分析】根据题意得出1011=1×23+0×22+1×21+1，求出即可
【解析】1011=1×23+0×22+1×21+1=11，
即二进制中的1011相当于十进制中的11.
故答案选C.
【点睛】考查了有理数的乘方，结合计算机教学，主要考查学生的理解能力、阅读能力和计算能力．
题型9：化简绝对值与合并同类项
26．对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值相加，这样的运算称为对这若干个数进行
“绝对运算”．例如，对于1，2，3进行“绝对运算”，得到： ．
①对1，3，5，10进行“绝对运算”的结果是29；
②对x， ，5进行“绝对运算”的结果为A，则A的最小值是7；
③对a，b，b，c进行“绝对运算”，化简的结果可能存在8种不同的表达式；
以上说法中正确的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】①根据“绝对运算”的运算方法进行运算即可判定；
25②根据“绝对运算”的运算方法进行运算，即可判定；
③首先根据“绝对运算”的运算方法进行运算，再分类讨论，化简绝对值符号，即可判定
【解析】解：①对1，3，5，10进行“差绝对值运算”得：
，
故①正确；
②对x， ，5，
∵ ， 表示的是数轴上点x到 和5的距离之和，
∴ 的最小值为 ，
∴x， ，5的“绝对运算”的最小值是： ，故②不正确；
对a，b，b，c进行“绝对运算”得： ，
当 ， ， ， ；
当 ， ， ， ；
当 ， ， ， ；
当 ， ， ， ；
当 ， ， ， ；
当 ， ， ， ；
a，b，b，c的“绝对运算”化简结果可能存在的不同表达式一共有6种，
故③不正确，
综上，只有1个正确的．
故选：B．
【点睛】本题考查了新定义运算，化简绝对值符号，整式的加减运算，熟练掌握绝对值运算，整式的运算
是解题的关键．
27．对多项式 添加一次绝对值运算（只添加一个绝对值，不可添加单项式的绝对值）后只含
26加减运算，然后化简，结果按降幂排列，称此为一次“绝对操作”．例如：
，称对多项式 一次“绝对操作”；选择这次“绝
对操作”的其中一个结果，例如对多项式 进行如上操作，称此为二次“绝对操作”
下列说法正确的个数是（ ）
①经过两次“绝对操作”后，式子化简后的结果可能为 ；
②进行一次“绝对操作”后的式子化简结果可能有5种；
③经过若干次“绝对操作”，一定存在式子化简后的结果与原式互为相反数．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】先将 化简为 ，对 经过两次“绝对操作”可以得到
，故①正确，再经过不同的“绝对操作”得到5种化简结果，故②正确，经过 的
“绝对操作”可能得到原式的相反数，故③正确．
【解析】解： 化简为 ，
当 时，经过一次“绝对操作”后的式子为 ，当 时，再经过
一次“绝对操作”后的式子为 ，
故①正确；
可以进行4种“绝对操作”即
27，
∴进行一次“绝对操作”后的式子化简结果可能有 ， ， ， ，
，5种，故②正确．
其中 ，得到的结果中出现了原式的相反数，故③正确．
【点睛】本题考查了新定义的理解，绝对值的意义，其中对新定义的理解是解题的关键．
28．对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和，这样的运算称为对这若干个数的
“差绝对值运算”，例如，对于1，2，3进行“差绝对值运算”，得到： ．
①对 ，3，5，9进行“差绝对值运算”的结果是35；
②x， ，5的“差绝对值运算”的最小值是 ；
③a，b，c的“差绝对值运算”化简结果可能存在的不同表达式一共有8种；
以上说法中正确的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【分析】①根据“差绝对值运算”的运算方法进行运算，即可判定；
②根据“差绝对值运算”的运算方法进行运算，即可判定；
③首先根据“差绝对值运算”的运算方法进行运算，再分类讨论，化简绝对值符号，即可判定．
【解析】解：①对 ，3，5，9进行“差绝对值运算”得：
，
故①正确；
②对x， ，5进行“差绝对值运算”得：
28表示的是数轴上点 到 和5的距离之和，
的最小值为 ，
， ，5的“差绝对值运算”的最小值是： ，故②不正确；
对a，b，c进行“差绝对值运算”得：
，
当 ， ， ，
；
当 ， ， ，
；
当 ， ， ，
；
当 ， ， ，
；
当 ， ， ，
29；
当 ， ， ，
；
当 ， ， ，
；
当 ， ， ，
；
a，b，c的“差绝对值运算”化简结果可能存在的不同表达式一共有7种，
故③不正确，
综上，故只有1个正确的，
故选：B．
【点睛】本题考查了新定义运算，化简绝对值符号，整式的加减运算，熟练掌握绝对值运算，整式的运算
是解题的关键．
题型10：整式加减中无关型、恒成立问题
29．代数式4x3–3x3y+8x2y+3x3+3x3y–8x2y–7x3的值
A．与x，y有关 B．与x有关
C．与y有关 D．与x，y无关
【答案】D
【解析】根据整式的加减—合并同类项，可知 = ，因此多项式与
x、y均无关.
故选D.
3030．x2+ax﹣y﹣（bx2﹣x+9y+3）的值与x的取值无关，则﹣a+b的值为（ ）
A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．2
【答案】D
【解析】根据整式的加减法，去括号合并同类项可得x2+ax﹣y﹣（bx2﹣x+9y+3）= x2+ax﹣y﹣bx2+x-9y-3=
（1-b）x2+（a+1）x+（-1-9）y-3，由于值与x的值无关，可得1-b=0，a+1=0，解得a=-1，b=1，因此可求-
a+b=2.
故选D.
点睛：此题主要考查了整式的值与字母无关形的题目，解题关键是明确无关的主要特点是系数为0，然后
通过整式的化简，让相关的系数为0即可求解.
31．已知 为实数，等式 对于任意实数 恒成立，则 的值为
．
【答案】
【分析】由根据等式的性质可得 ，根据题意可得 且 ，
求出 、 的值，再求 的值即可．
【解析】解： ，
整理得： ，
等式 对于任意实数 恒成立，
且 ， ,
解得： ， ，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了等式的性质，根据等式恒成立求出 、 的值是解题的关键．
题型11：整式加减的应用
32．在矩形 内，将一张边长为 和两张边长为 的正方形纸片按图1，图2两种方式放留，矩
形中未被这三张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，若要知道图2中阴影部分的周长与图1中阴影部分的
周长的差，只要测量图中哪条线段的长（ ）
31A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据平移的知识和周长的定义，列出算式周长差 ，再去括号，合
并同类项即可求解．
【解析】解：图1中阴影部分的周长 ，
图2中阴影部分的周长 ，
周长差 ．
故若要知道周长差，只要测量图中线段 的长．
故选：A．
【点睛】本题考查了整式的加减，周长的定义，关键是得到图2中阴影部分的周长与图1中阴影部分的周
长．
33．如图，小明将长方形纸片①剪去两个部分，得到数字“6”（图②），小明将剪去的部分拼成长方形③，
图②中数字“6”按图④分割的6个全等的长方形拼成长方形⑤，经过测量和计算，小明发现长方形③与长
方形⑤的周长相等，则长方形⑤中长与宽的比值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设小长方形纸片的长为b,宽为a,根据已知条件长方形③与长方形⑤的周长相等，求出比值即可.
【解析】解：设小长方形纸片的长为b，宽为a，
∴⑤的周长为 ，
③的长为 ，宽为 ，
∴③的周长为 ，
32又∵长方形③与长方形⑤的周长相等，
∴ ，即 ，
∴长方形⑤的长与宽的比值是 ，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了长方形周长的问题，题目较为新颖．
34．甲、乙两店卖豆浆，每杯售价均相同，已知：
甲店的促销方式是：每买 杯，第 杯原价，第 杯半价；
乙店的促销方式是：每买 杯，第 、 杯原价，第 杯免费．
例如，分别在甲、乙两店购买 杯豆浆，均需 杯的价钱 若东东想买 杯豆浆，则下列所花的钱最少的方
式是（ ）
A．在甲店买 杯 B．在乙店买 杯
C．在甲店买 杯，在乙店买 杯 D．在甲店买 杯，在乙店买 杯
【答案】B
【分析】设每杯售价 元，分别计算每个选项中的花费，再进行比较即可．
【解析】解：设每杯售价 元，
在甲店购买 杯的费用为 （元）；
在乙店购买 杯的费用为 （元）；
在甲店买 杯，在乙店买 杯的费用为 （元）；
在甲店买 杯，在乙店买 杯的费用 （元），
，
在乙店买 杯花钱最少，
故选：B．
【点睛】本题考查了整式加减的应用，读懂题意并根据题意表示出所花费用是解题的关键．
题型12：数字、图形规律的探索
35．前后依次排列的两个整式 、 ，用后一个整式 与前一个整式 作差后得到新的整式记
为 ，用整式 与前一个整式 求和后得到新的整式 ，用整式 与前一个整式 作差后得到新的整式
33，依次进行“作差、求和”的交替操作得到新的整式．下列说法：①当 时， ；②整式 与整
式 结果相同；③当 时， ；④ ，其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据题意，依次进行作差、作和的交替操作，然后依次分析判断即可．
【解析】解：根据题意，依次计算可得
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
……
∴当 时， ，故说法①正确；
34整式 与整式 结果不相同，故说法②不正确；
当 时，可解得 ，
此时 ，故说法③不正确；
∵ ，
又∵ ，
∴ ，故说法④正确．
综上所述，说法正确的有①④，共计2个．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了整式的加减运算，正确理解题意和熟练进行整式运算是解题关键．
36．已知整数 ， ， ， ，…满足下列条件： ， ， ， ，…，
以此类推， 的值为（ ）
A．2022 B． C． D．1011
【答案】C
【分析】分别求出 ， ， ， ， ， 的值，观察其数值的变化规律，进而求出 的值．
【解析】解：根据题意可得，
，
，
，
，
，
，
．
35观察其规律可得，
，
，
．
故选：C．
【点睛】本题考查了数的变化规律，通过计算前面几个数的数值观察其规律是解本题的关键，综合性较强，
难度适中．
37．将正整数按如图所示的位置顺序排列：
根据排列规律，则2023应在（ ）
A．点 处 B．点 处 C．点 处 D．点 处
【答案】B
【分析】规律：在 位置的数被4除余2，在 位置的数被4除余3，在 位置的数被4整除，在 位置的
数被4除余1；由 ，即可得出结果．
【解析】解：由题意得：在 位置的数被4除余2，在 位置的数被4除余3，在 位置的数被4整除，在
位置的数被4除余1；
，
应在3的位置，也就是在 处．
故答案为：B．
【点睛】此题考查探究规律类型，解题的关键是明确数的位置的变化规律，观察题目信息与图形信息，根
据图象规律可知，5、6、7、8所占的位置正好分别是1、2、3、4的位置，也就是以4个数为一组循环；
接下来再用2023除以4，最后再根据余数来确定2023的位置即可．
38．把棱长为a的正方体摆成如图的形状，从上向下数，第一层1个，第二层3个，…，按这种规律摆放，
第五层的正方体的个数是（ ）
36A．10 B．12 C．15 D．﹣20
【答案】C
【分析】第五层共5排．各排的正方体的个数为1，2，3，4，5．
【解析】解： ，即其总个数是15个．
故选C．
【点睛】此题考查了平面图形的有规律变化，要求学生通过观察图形，分析、归纳发现其中的规律，并应
用规律解决问题．
39．正方形 在数轴上的位置如图所示，点A、D对应的数分别为0和 ，若正方形 绕着顶点
顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为1；则连续翻转2023次后，数轴上数2023
所对应的点是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
【答案】D
【分析】根据题意可知每4次翻转为一个循环组依次循环，然后根据 进行判断．
【解析】解：∵在翻转过程中，1对应的数是B，2对应的数是C，3对应的数是D，4对应的数是A，5对
应的数是B，6对应的数是C，7对应的数是D，8对应的数是A，…，
∴每4次翻转为一个循环组依次循环，
∵ ，
∴连续翻转2023次后，数轴上数2023所对应的点是点D．
故选：D．
【点睛】本题考查了数轴，图形类变化规律，根据翻转的变化规律确定出每4次翻转为一个循环组依次循
环是解题的关键．
二、填空题
40．观察下列各式： ， ， ， ，……，按照上
面的规律，计算： ．
【答案】
37【分析】根据式子的规律得出 ，进而化简式子，根据有理数的加减进行计算，最后
求绝对值即可求解．
【解析】解：∵ ， ， ， ，……，
∴ ，
∴
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，找到规律是解题的关键．
41．下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的：
根据此规律确定 的值为 ， 的值为 ， 的值为 ．
【答案】 9 10 209
【分析】根据表格可知，右上角中的数等于左下角数的2倍，左上的数与左下的数差为1，右下角的数等
于左下角的数与右上角的数的乘积加上左上角的数．据此规律即可解答．
【解析】解：根据题意可得： ，
解得： ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：9，10，209．
【点睛】本题主要考查了数字的变化规律，解题的关键是仔细观察表格，总结出表格中数据的规律．
3842．如图，在数轴上有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个，最右边的顶点所表示的数为4，第2幅
图中有3个，最右边的顶点所表示的数为8，第3幅图中有5个，依此类推，则当菱形的个数为2019时，
数轴上最右边的顶点所表示的数为 ．
【答案】4040
【分析】根据题意分析可得第n幅图中共有 个菱形，最右边的顶点所表示的数为 ，然后求出菱
形的个数为2019时n的值，再计算最右边的顶点所表示的数即可．
【解析】解：根据题意可得：第1幅图中有1个菱形，最右边的顶点所表示的数为4；
第2幅图中有 个菱形，最右边的顶点所表示的数为 ；
第3幅图中有 个菱形，最右边的顶点所表示的数为 ；
…
故第n幅图中共有 个菱形，最右边的顶点所表示的数为 ，
当菱形的个数为2019时，即
解得： ，
此时最右边的顶点所表示的数为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查规律型中的图形变化问题，难度适中，要求学生通过观察，分析、归纳，发现其中的规
律．
43．小明用棱长 的小方块搭建台阶，下图是他已搭建的台阶，分别有 、 、 高．像这样搭
建一个 高的台阶，需要 个方块；如果用了140个小方块，搭建的台阶有 cm高．
【答案】
【分析】搭成 高的台阶，一个侧面需要小方块： （块），搭成 高的台阶，一个侧面需要
小方块： （块），搭成 高的台阶，一个侧面需要小方块： （块），搭成
高的台阶，一个侧面需要小方块： （块），搭成 高的台阶，一个侧面需要小方
39块： （块），即可求解．
【解析】解：由题意得
搭成 高的台阶，一个侧面需要小方块： （块），
搭成 高的台阶，一个侧面需要小方块： （块），
搭成 高的台阶，一个侧面需要小方块： （块），
搭成 高的台阶，一个侧面需要小方块： （块），
搭成 高的台阶，一个侧面需要小方块： （块），
所以搭成 高的台阶，共需要小方块： （块），
用了140个小方块时，一个侧面需要小方块： （块），
所以 时， ，
因为 ，
所以可得： ，
所以用了140个小方块时，可搭 高的台阶；
故答案： ， ．
【点睛】本题考查了图形的变化规律，找出规律是解题的关键．
44．下列图形都是由圆和几个黑色棋子按一定规律组成，图1中有4个黑色棋子，图2中有7个黑色棋子，
图3中有10个黑色棋子，…，依此规律，图2022中黑色棋子的个数是 ．
【答案】
【分析】由题意可知：图①中有 个黑色棋子，图②中有 个黑色棋子，图③中有
个黑色棋子， ，依此规律，图 中黑色棋子的个数是 ，由此进一步求得答案即可．
【解析】解： 图①中有 个黑色棋子，
图②中有 个黑色棋子，
图③中有 个黑色棋子，
40图 中黑色棋子的个数是 ，
图2022中黑色棋子的个数是 ．
故答案为： ．
【点睛】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出运算规律解决问题是解答的关键．
45．a是不为2的有理数，我们把 称为a的“哈利数”．如：3的“哈利数”是 ， 的“哈
利数”是 ，已知 ， 是 的“哈利数”， 是 的“哈利数”， 是 的“哈利数”，
，依此类推，则 ．
【答案】
【分析】分别求出数列的前5个数得出该数列每4个数为一周期循环，据此可得答案．
【解析】解： ，
，
，
，
，
该数列每4个数为1周期循环，
，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了数字的规律变化，通过观察数字，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问
题是解题的关键．
46．观察下列等式： ， ， ， ， ， ， ， ，根据上述规
律可得 的结果的个位数字是 ．
【答案】
41【分析】观察所给等式发现规律末位数字为： ， ， ， ， ， ， ， ，每4个数一组循环，进而可
得算式： 结果的个位数字．
【解析】解：观察下列等式： ， ， ， ， ， ， ， ，
发现规律：末位数字为： ， ， ， ， ， ， ， ，
每4个数一组循环，
所以 ，而 ，
所有个位数字之和是 ．
所以算式： 的结果的个位数字是 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了规律型—数字的变化类，解决本题的关键是根据数字的变化寻找规律．
42
