文档内容
专题 02 绝对值四种考法全梳理（高频与压轴题型）
目录
【知识点归纳】.................................................................................................................................1
【考法一、分类谈论化简绝对值】.................................................................................................1
【考法二、绝对值几何意义】.........................................................................................................2
【考法三、双绝对值化简】.............................................................................................................4
【考法四、利用非负性化简绝对值】.............................................................................................4
【课后练习】.....................................................................................................................................5
【知识点归纳】
1. 含有字母的绝对值的化简求值
性质： ，即
注：无论a为何值，去绝对值，一定要保证得到的结果为非负数。
2. 借助数轴解绝对值问题
性质： 几何意义：表示x到点a的距离
解题技巧：（1）找零点（分界点）；（2）根据零点将数轴分段；（3）利用“数形结合”
思想，求解绝对值的值（几何法）；或者根据分段情况，分析绝对值内式子的正负，去绝
对值（代数法）。
注：（1）一个式子中有多个绝对值式子时， x前的系数必须相同才可以用该“数形结
合”的方法；（2）分段的时候，切不可遗漏数轴上的点，也不可重复讨论。
【考法一、分类谈论化简绝对值】
例．若 ， ；若 ， ；
①若 ，则 ；
②若 ，则 ．
变式1．如果 ，且 ，那么 ．变式2．如果 ，那么 的值是 ．
【考法二、绝对值几何意义】
例．材料一：我们知道 的几何意义是：数轴上表示数a的点到原点的距离； 的几
何意义是：数轴上表示数a，b的两点之间的距离； 的几何意义是：数轴上表示数
a， 的两点之间的距离；根据绝对值的几何意义，我们可以求出以下方程的解．
（1） ，解：由绝对值的几何意义知：在数轴上x表示的点到3的距离等于4，
∴ ， ；
（2） ，解：∵ ，
∴其绝对值的几何意义为：在数轴上x表示的点到 的距离等于5．
∴ ， ．
材料二：如何求 的最小值．
由 的几何意义是数轴上表示数x的点到表示数1和 两点的距离的和，要使
和最小，则表示数x的这点必在 和1之间（包括这两个端点）取值．
∴ 的最小值是3；由此可求解方程 ，把数轴上表示x的点记为
点P，由绝对值的几何意义知：当 时， 恒有最小值3，所以要使
成立，则点P必在 的左边或1的右边，且到表示数 或1的点的距离均
为0.5个单位．
故方程 的解为： ， ．
阅读以上材料，解决以下问题：
（1）填空： 的最小值为_______；
（2）已知有理数x满足： ，有理数y使得 的值最小，
求 的值．
（3）试找到符合条件的x，使 的值最小，并求出此时的最小值及x
的取值范围．
变式1.（1）阅读材料：从代数角度上看，数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值；从几何角度上看，数轴上两点间的距离等于以这两点为端点组成的线段的长度．
例如：点A、B在数轴上分别对应的数为a、b，则A、B两点间的距离可表示为 ．
（完成下面填空）
Ⅰ．数轴上有三点A、B、P，分别对应的数为 、2、x，
如图①，当 时， ；
如图②，当 时， _____ ；
如图③，当 时， _______ ；
Ⅱ．由Ⅰ可得：∵ ， ，
∴ ， ，
∴ 在 时有最小值为_______．
（2）直接应用：求 的最小值．
（3）应用拓展：若 ，当 时，直接写出S的取值范围
_______．
变式2．【数学问题】数轴上分别表示数a和数b的两个点A、B之间的距离该如何表示？
【问题探究】
（1）观察分析（特殊）：
①当 ， 时，A，B之间的距离 ；
②当 ， 时，A，B之间的距离 ______；
③当 ， 时，A，B之间的距离 ______．
（2）一般结论：
数轴上分别表示有理数a，b的两点A，B之间的距离表示为 ______；
【问题解决】
（3）应用：数轴上，表示x和3的两点A和B之间的距离是5，试求x的值；
【问题拓展】
（4）拓展：①若 ，则 ______．
②若 ，则 ______．
③若x，y满足 ，则代数式 的最大值是______，最小
值是______．【考法三、双绝对值化简】
例．若关于 的方程 恰有两个不同的解，则 的取值范围为
变式1．如果 ，则 的值是 .
变式2．数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，若规定 ，
(1)当 时，则 ___ ， ___ ．
(2)当 时，则 ___ ．
(3)当 ，且 ，求c的值．
【考法四、利用非负性化简绝对值】
例．设a，b，c为整数，且 ，则
变式1．已知a，b，c均为整数，且 ，那么 的值
．
变式2．已知a，b，c都为整数，且 ，则方程
的解为 ．【课后练习】
1．已知： ，且 ．则m共有x个不同的值，
若在这些不同的m值中，最大的值为y，则 ．
2．已知在数轴上与实数 对应的点如图所示，则 的值
为 ．
3．适合 的正整数a的值有 个
4． 、 、 、 为互不相等的有理数，且 ， ，则
．
5．在 ， ， ， ， ， ， ， 中，每个字母的值恰好是 ，0，1这三个数值中的
一个，若 ，则 ．
6．已知 ，则 的最大值是
，最小值是 ．
7．已知整数 满足 ，则 的值为 ．
8．我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数
学问题的重要思想方法．在数轴上点 分别表示数 ． 两点间的距离可以用符号
表示，利用有理数减法和绝对值可以计算 两点之间的距离 ．
例如：当 ， 时， ；
当 ， 时， ；
当 ， 时， ．
综合上述过程，发现点 之间的距离 （也可以表示为 ）．
请你根据上述材料，探究回答下列问题：
(1)表示数 和 的两点间距离是6，则 _________；
(2)如果数轴上表示数 的点位于 和3之间，则 _________；
(3)代数式 的最小值是多少？
(4)如图，若点 在数轴上表示的有理数分别为 ，则式子
的最小值为_________（用含有 的式子表示结果）．
