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1.2.4 绝对值
绝对值
定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|.
注意：
（1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是
0．即对于任何有理数a都有：
（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对
值越大；离原点的距离越近，绝对值越小．
（3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的．
2.性质：绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0．
题型1：求一个数的绝对值
1.－2的绝对值是（ ）
1 1
A．2 B．－2 C． D．−
2 2
【答案】A
【解析】【解答】解：-2的绝对值是2，
故答案为：A．
【分析】根据绝对值的性质求解即可。
【变式1-1】下列各式正确的是（ ）
1
A．|﹣3|＝|3| B．|﹣3|＝﹣|3| C．|﹣3|＝﹣3 D．|−3|=
−3
【答案】A
【解析】【解答】解：A、|-3|=3和|3|=3，数值相等，符合题意；
B、|-3|=3和-|3|=-3，数值不相等，不符合题意；
C、|-3|=3≠-3，数值不相等，不符合题意；1
D、|-3|=3≠ ，数值不相等，不符合题意；
−3
故答案为：A．
【分析】根据绝对值的性质，分别求出各项中等号左右两边的值，再判断即可.
题型2：化简含字母的绝对值式子
2.有理数 a、b 在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简 |a+b| 的结果正确的是（ ）
A．a+b B．a−b C．−a+b D．−a−b
【答案】D
【解析】【解答】解：根据题意，可知： a+b<0 ，
∴|a+b|=−(a+b)=−a−b ；
故答案为：D.
【分析】先根据各点在数轴上的位置判断 a+b 的符号，再去绝对值符号，即可得到答案．
【变式2-1】如图，数轴上的点A所表示的数为a，化简|a|﹣|a﹣4|的结果为（ ）
A．﹣2a﹣4 B．﹣4 C．2a+4 D．4
【答案】B
【解析】【解答】解：由数轴知﹣2＜a＜﹣1，
∴a﹣4＜0，
则|a|﹣|a﹣4|＝﹣a﹣（4﹣a）＝﹣a﹣4+a＝﹣4，
故答案为：B.
【分析】根据数轴得出﹣2＜a＜﹣1，依此去绝对值，最后合并同类项，即可求出结果.
【变式2-2】已知有理数a、b、c在数轴上的对应点如图所示，化简： |b−a|−|a+c|+2|c−b| .
【答案】解：由数轴可知 c<0|c| ，
∴b−a<0 ， a+c>0 ， c−b<0 ，
∴|b−a|−|a+c|+2|c−b|
=a−b−(a+c)+2(b−c)
=a−b−a−c+2b−2c
=b−3c .
【分析】 由数轴可知 c<0|c| ，从而得出b−a<0 ， a+c>0 ， c−b<0 ，然后
根据绝对值的非负性进行化简即可.题型3：绝对值的非负性
3.在﹣（﹣2）、﹣|﹣2|、 −22 、 (−2) 2 中正数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】【解答】解： ﹣（﹣2） =2>0， ﹣|﹣2| =-2<0， −22 =-4<0， (−2) 2 =4>0，
综上，正数有两个.
故答案为：B.
【分析】先计算分别求出各项的值，再判别其正负性，即可解答.
【变式3-1】如果a表示一个任意有理数，那么下面说法正确的是（ ）
A．−a 是负数 B．|a| 一定是正数
C．|a| 一定不是负数 D．|a| 一定是负数
【答案】C
【解析】【解答】解：A、∵a表示一个任意有理数，若 a=0 ，则 −a=0 不是负数，故A错误；
B、若 a=0 ，则 |a|=0 ，0不是负数，故B错误；
C、∵a表示一个任意有理数，
∴|a|≥0 ，
∴|a| 一定不是负数，故C正确；
D、若 a=0 ，则 |−a|=0 ，0不是负数，故D错误.
故答案为：C.
【分析】利用举反例的方法判断 A,B,D ，利用绝对值是含义判断B，从而可得答案.
【变式3-2】若 |x+2|+|y−5|=0 ，则 x+ y = .
【答案】3
【解析】【解答】解：∵|x+2|+|y−5|=0 ，
∴x+2=0,y-5=0,
∴x=-2,y=5,
∴x+ y =-2+5=3.
故答案为：3.
【分析】先根据绝对值的非负性及两个非负数的和为0，则这两个数都为0求出x和y的值，然后代
入 x+ y 计算即可.
题型4：相反数、绝对值求字母的值
4.若 |x|=−x ，则 x （ ）
A．x>0 B．x≤0 C．x≥0 D．x<0
【答案】B
【解析】【解答】解： ∵|x|=−x ，
∴x 的取值范围是： x≤0 .故答案为：B.
【分析】根据绝对值的非负性可求解.
【变式4-1】已知|a﹣3|与|b+5|互为相反数，计算a﹣b的值.
【答案】解：∵|a﹣3|与|b+5|互为相反数，
∴|a﹣3|+|b+5|＝0，
∴a－3＝0，b+5＝0，
解得a＝3，b＝－5，
∴a−b＝3−(−5)＝8.
【解析】【分析】由互为相反数的两个数的和为0列出方程，根据非负数之和为0，则这几个数都为
0，求出a、b，进而可得a-b的值.
【变式4-2】已知│x│=2003，│y│=2002，且x＞0，y＜0，求x+y的值.
【答案】解：∵ ， ，
∴ ， ，
∵x＞0，y＜0，
，
【解析】【分析】根据 │x│=2003，│y│=2002，且x＞0，y＜0， 先求出x和y的值，再代入计算求
解即可。
有理数的大小比较
1.数轴法：在数轴上表示出这两个有理数，左边的数总比右边的数小. 如：a与b在数轴上的位置如图所
示，则a＜b．
2.法则比较法：
两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下：
同为正号：绝对值大的数大
两数同号
同为负号：绝对值大的反而小
两数异号 正数大于负数
正数与0：正数大于0
－数为0
负数与0：负数小于0
3. 作差法：设a、b为任意数，若a-b＞0，则a＞b；若a-b＝0，则a＝b；若a-b＜0，a＜b；反之成立．
4. 求商法：设a、b为任意正数，若 ，则 ；若 ，则 ；若 ，则 ；反之也成
立．若a、b为任意负数，则与上述结论相反．
5. 倒数比较法：如果两个数都大于0，那么倒数大的反而小.
注意：
利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：（1）分别计算两数的绝对值；（2）比较绝对值的大小；
（3）判定两数的大小．
题型5：比较有理数的大小
5.在-2.5，-2，0，1.5这几个数中，最小的数是（ ）
A．-2.5 B．-2 C．0 D．1.5
【答案】A【解析】【解答】解：∵|−2.5|=2.5,|−2|=2,2.5>2 ，
∴−2.5<−2
∴−2.5<−2<0<1.5
∴ 在-2.5，-2，0，1.5这几个数中，最小的数是-2.5
故答案为：A
【分析】正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数相比较，绝对值大的反而小.据
此判断即可.
【变式5-1】已知a＞0，b＜0且a+b＜0，那么有理数a，b，﹣a，|b|的大小关系是
.（用“＜”号连接）
【答案】b＜-a＜a＜|b|
【解析】【解答】解：∵a＞0，b＜0，
∴b＜a，-a＜a，b＜-b， |b|=-b
∵a+b＜0，
∴a＜-b，b＜-a，
∴b＜-a＜a＜-b.
故答案为：b＜-a＜a＜|b|.
【分析】根据a＞0、b＜0可得b＜a，-a＜a，b＜-b， |b|=-b，根据a+b<0可得a＜-b，据此进行比较.
【变式5-2】在数轴上表示下列各数，并用“<”符号将它们连结起来.
1
-4， |−2.5| ， −|3| ， −1 ， −(−1) ，0
2
【答案】解：∵|−2.5|=2.5 ， −|3|=−3 ， −(−1)=1 ，
∴在数轴上表示如图，
1
∴−4<−|3|<−1 <0<−(−1)<|−2.5| .
2
【解析】【分析】根据绝对值、相反数的概念可得|-2.5|=2.5，-|3|=-3，-(-1)=1，然后将各有理数表示在
数轴上，根据数轴上左边的数小于右边的数进行比较.
【变式5-3】有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，且|a|＝|b|，化简|c－a|＋|c－b|＋|a＋b|.
【答案】解：由数轴，得b＞c＞0，a＜0，又|a|=|b|，
∴c-a＞0，c-b＜0，a+b=0．|c-a|+|c-b|+|a+b|=c-a+b-c=b-a．
【解析】【分析】先求出 b＞c＞0，a＜0， 再求出 c-a＞0，c-b＜0，a+b=0 ，最后化简计算求解即
可。
题型6：绝对值的实际应用
6.一条东西方向的道路上有A，B两点，现有出租车从A点出发，在这条路道路上进行往返运动，
以该道路为直线建立数轴（向东为正，1千米为1个单位长度）．点A，B分别表示－8，10，将出租
车在数轴上的位置记为点C，每次运动的位置变化记录如下(x>0)：
次数 第一次 第二次 第三次 第四次
变化记录（单位：千米） －3 －x 3x+3 －x－4
（1）第一次运动后点C在数轴上所表示的数为 ，第二次运动方向为 (填“向
东”或“向西”)．
（2）若经过前三次运动，点C恰好与点B重合．
①求x的值．
②点C这四次一共运动了多少千米的路程？
【答案】（1）− 11；向西
（2）解：①根据题意，列得方程 −8+(−3)+(−x)+(3x+3)=10
解得x=9；
②根据题意，列式：
|−3|+|−x|+|3x+3|+|−x−4|，
=|−3|+|−9|+|3×9+3|+|−9−4|
=3+9+30+13
=55.
【解析】【解答】解：(1) 第一次运动后点C在数轴上所表示的数为：-8+（-3）=-11，
∵x>0，∴-x<0，∴向西运动；
【分析】(1)根据有理数的加法列式计算，由于正数和负数表示一对相反意义的量，向东为正，则向西
为负，即可解答；
(2) ① 根据这几个数的和为10，建立方程求解即可；
② 点C运动的路程为这几个数的绝对值之和，把①的结果代入式中计算即可.
【变式6-1】一条南北走向的大道上，由南向北依次坐落着甲、乙、丙、丁四个村庄，其中甲、乙相距
3千米，甲、丙相距5千米，乙、丁相距4千米，若以乙村庄为原点，向北为正方向，1千米为单位长
度．
（1）将四个村庄所处的位置在数轴上表示出来；
（2）若设甲、乙、丙、丁四个村庄表示的数分别为 A、B、C、D ，比较四个数的大小；
（3）若改为以丙村为原点，向南为正方向，其他条件不变，试将四个村庄所处的位置在数轴上表
示出来．
【答案】（1）解：甲、乙相距3千米，甲、丙相距5千米，乙、丁相距4千米，
∴乙、丙相距2千米，丙、丁相距2千米，
∴四个村庄所处的位置如图；（2）解：由数轴上左边的数小于右边的数得， A− ，故A不符合题意；
5 5 5
5 5
B、两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，得 − <− ，故B不符合题意；
6 7
1
C、 −(−5 ) =|-5.5|，故C不符合题意；
2
7 6
D、两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，得- ＜- ，故D符合题意；
8 7
故答案为：D．
【分析】利用绝对值的性质先计算，然后根据正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两
个负数相比较，绝对值大的反而小，逐一解答即可.
6．在下列各数中，比﹣1小的数是（ ）A．1 B．-1 C．-2 D．0
【答案】C
【解析】【解答】解：根据有理数比较大小的方法，可得
﹣2＜﹣1＜0＜1，
所以各数中，比﹣1小的数是﹣2．
故选：C．
【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个
负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
7．大于－2.5而小于3.5的整数共有( )
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
【答案】A
【解析】【解答】解：∵大于－2.5而小于3.5的整数有-2、-1、0、1、2、3
∴大于－2.5而小于3.5的整数一共有6个
故答案为：A
【分析】先求出大于－2.5而小于3.5的整数有哪些，就可得出答案。
二、填空题
3
8．已知如下各数：4， − ，0，-4，2.5，-1，解答下列各题
2
（1）用“＞”号把这些数连接起来
（2）这些数的绝对值的和是
3
【答案】（1）4＞2.5＞0＞-1＞ − ＞-4
2
（2）13
【解析】【解答】解：（1）如图所示：
3
∴4＞2.5＞0＞-1＞ − ＞-4
2
3 3
故答案为：4＞2.5＞0＞-1＞ − ＞-4；（2）4+| − |+0+|-4|+2.5+|-1|=4+1.5+0+4+2.5+1=13．
2 2
故这些数的绝对值的和为13故答案为：13．
【分析】（1）在数轴上表示各数，即可用“＞”号把这些数连接起来；（2）求出其绝对值相加即可
求解．
3 4
9．比较大小：－2 2；｜－1.5｜ 0， − − （填“>”或“<”）
4 5
【答案】＜；＞；＞
【解析】【解答】解：﹣2＜2， |1.5|=1.5>0 ，
3 3 4 4 3 4 3 4
因为 |− |= ,|− |= ， < ，所以 − ＞ − .
4 4 5 5 4 5 4 5
故答案为：＜，＞，＞.
【分析】根据有理数大小的比较方法“正数大于负数，正数大于0，两个负数绝对值大的反而小”逐
一判断即可.
10．若 |x+1| =7，则x=
【答案】−8 或6
【解析】【解答】解：∵|x+1| =7，
∴x+1=±7 ，解得 x=−8 或6.
故答案为： −8 或6.
【分析】由题意根据绝对值的性质得出 x+1=±7 ，进行分析求解即可.
11．已知|a－5|+|b+6|=0，则 (a+b) 2021 的值为 ；
【答案】-1
【解析】【解答】解：∵|a-5|+|b+6|=0，
∴a-5=0，b+6=0，
∴a=5，b=-6，
∴a+b=5-6=-1，
∴(a+b) 2021=(−1) 2021=−1
故答案为：-1.
【分析】先根据非负数的性质求出a、b的值，再进行计算；
三、计算题
12．化简4
（1）-∣- ∣
5
（2）∣3.14- π ∣
6
（3）-［-（-2 ）］
7
4 4
【答案】（1）解：-∣- ∣=- ；
5 5
（2）解：∣3.14- π ∣=π-3.14；
6 6 6
（3）解：-［-（-2 ）］=-（2 ）=-2
7 7 7
【解析】【分析】根据绝对值的定义化简绝对值以及相反数的意义分别求解即可.
13．如果x＜-2，化简|1-|1+x||．
【答案】解：∵x＜-2，
∴1+x＜0，2+x＜0，
∴原式=|1+1+x|，
=-（2+x），
=-2-x.
【解析】【分析】根据x的范围得出1+x＜0，2+x＜0，再由绝对值性质化简、计算即可得出答案.
四、解答题
14．先画一个数轴，再把下列各数在数轴上表示出来，最后按照从小到大的顺序用“<”连接起来.
3
-2，-1.5， ，0，-3，4，6
2
【答案】解：数轴如图：
，
3
按照从小到大的顺序为： −3<−2<−1.5<0< <4<6
2
【解析】【分析】先在数轴上表示各个数，再由数轴上右边的数比左边的数大，即可得到答案.
15．|a|=2,|b|=5,,并且 a＜b求a、b的值
【答案】a=2,b=5或a=-2,b=5
【解析】【解答】∵|a|=2,|b|=5,∴a=2或a=-2,同理 b=5或b=-5;
又∵a
