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北师大版七年级数学下学期期末压轴精选 30 题
考试范围：全册的内容，共30小题.
一、选择题
1．（2022·湖南娄底·七年级期中）已知： ，则 的值为
（ ）
A．7 B．8 C．9 D．12
2．（2022·河北保定·七年级期中）如图，某购物广场从一楼到二楼有一部自动扶梯．右图是自动扶梯的侧
面示意图，自动扶梯 上方的直线 上有一点 ，连接 ， ．已知 ，
， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·河南洛阳·八年级期末）根据等式： ， ，
， ，…的规律，则可以推算得出
（ ）．
A． B． C． D．
4．（2022·福建省福州教育学院附属中学八年级期末）如图，点 为 内一点，分别作点 关于 、
的对称点 ， ，连接 交 于 ，交 于 ， ，则 的周长为（ ）
A．16 B．15 C．14 D．13
5．（2022·河北保定·八年级期末）如图，C为线段AE上一动点（不与点 ， 重合），在AE同侧分别作
等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结
PQ．以下结论错误的是（ ）A．∠AOB=60° B．AP=BQ
C．PQ∥AE D．DE=DP
6．（2021·四川绵阳·八年级期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分
线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面正确的结论有（ ）
①△ABE的面积＝△BCE的面积；
②AF＝AG；
③∠FAG＝ ∠ACF
④BH＝CH
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2022·广东·佛山市南海石门实验中学七年级阶段练习）下列有四个结论，其中正确的是（ ）
①若 ，则 只能是-1；
②若 的运算结果中不含 项，则 ；
③若 ， ，则 ；
④若 ， ，则 可表示为
A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．②④
8．（2022·河北·保定市第十七中学七年级期中）如图，正方形 的边长为2，动点 从点 出发，在
正方形的边上沿 的方向运动到点 停止，设点 的运动路程为 ，在下列图象中，能表示
的面积 关于 的函数关系的图象是（ ）A． B． C． D．
二、填空题
9．（2022·广东茂名·七年级阶段练习）计算20222﹣2023×2021＝_____．
10．（2022·山西大附中一模）若 ，则 的值为______．
11．（2022·福建三明·模拟预测）已知实数a满足 ，则 的值为________．
12．（2022·江苏苏州·模拟预测）从如图的四张印有品牌标志图案的卡片中任取一张，取出印有品牌标志
的图案是轴对称图形的卡片的概率是 ____．
13．（2022·浙江台州·八年级期末）如图，在等边 中， 是 的平分线，点 是 的中点，
点 是 上的一个动点，连接 ， ，当 的值最小时， 的度数为__________．
14．（2022·河北·石家庄二十三中七年级期中）如图（1），在 中， ， 边绕点C按逆时
针方向旋转一周回到原来的位置．在旋转的过程中（图（2）），当 ________时， ．
15．（2021·全国·八年级专题练习）如图（a）所示，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC，CD，
DA运动至点A停止．设点P运动的路程为x， 的面积为y，如果y关于x的关系如图（b）所示，则
m的值是________．16．（2022·山东泰安·七年级期末）添加辅助线是很多同学感觉比较困难的事情．如图1，在Rt 中，
， 是高， 是 外一点， ， ，若 ， ， ，
求 的面积．同学们可以先思考一下……，小颖思考后认为可以这样添加辅助线：在 上截取
，（如图2）．同学们，根据小颖的提示，聪明的你可以求得 的面积为______．
三、解答题
17．（2022·上海·七年级期末）完全平方公式： 适当的变形，可以解决很多的数学问
题．例如：若 ，求 的值；
解：因为 ，所以 ，即： ，又因为 ，所以 ＝7．根据上面的
解题思路与方法，解决下列问题：
(1)若 ，求 的值；
(2)填空：①若 ，则 ＝ ；
②若 ，则 ＝ ．
(3)如图，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设AB＝6，两正方形的面积和
，求图中阴影部分面积．18．（2021·四川省南充市白塔中学八年级阶段练习）仔细阅读材料，再尝试解决问题：
完全平方式 以及 的值为非负数的特点在数学学习中有广泛的应用，比如探求
的最大（小）值时，我们可以这样处理：
解：原式= ．
∵无论 取什么数，都有 ≥0，∴ 的最小值为0，此时 ，进而 的最小值
是 ，∴当 时，原多项式的最小值是 ．
请根据上面的解题思路，探求：
(1)多项式 的最小值是多少，并写出对应的 的取值；
(2)多项式 的最大值是多少，并写出对应的 的取值．
19．（2021·重庆市黔江区教育科学研究所九年级期末）把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运
用完全平方式的非负性这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值，解方
程，最值问题等都有着广泛的应用．
例如：①用配方法因式分解： ．
原式
②若 ，利用配方法求 的最小值：
，
当 时， 有最小值 ．
请根据上述材料解决下列问题：
(1)用配方法因式分解： ；
(2)若 ，求 的最小值．(3)已知 ，求 的值．
20．（2022·福建省漳州第一中学七年级期中）如图1， ， ， ，求 的
度数．
小明的思路：过点 作 ，通过平行线的性质来求 ．
(1)按照小明的思路，易求得 的度数为______．
(2)如图2， ，射线 与射线 交于点 ，直线 分别交射线 ，射线 于点 ， ，直
线 分别交射线 ，射线 于点 ， ．点 在射线 上运动（点 与点 ， ， 三点不重合），
记 ， ，问 与 ， 之间有何数量关系？
21．（2022·上海·七年级期中）如图，已知AM∥BN，∠A=60°，点P是射线AM上一动点（与A不重合），
BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，交射线AM于C、D，（推理时不需要写出每一步的理由）
(1)求∠CBD的度数．
(2)当点P运动时，那么∠APB：∠ADB的度数比值是否随之发生变化？若不变，请求出这个比值；若变化，
请找出变化规律．
(3)当点P运动到使∠ACB=∠ABD时，求∠ABC的度数．
22．（2022·广西钦州·七年级期中）如图1，已知直线 ，点A在直线PQ上，点B，C在直线MN
上，连接AB，AC， ， ，AD平分 ，BD平分 ，AD与BD相交于点
D．(1)求 的度数；
(2)若将图1中的线段AC沿MN向右平移到 ，如图2，此时 平分 ， 平分 ， 与
BD相交于点D， ， ，求 的度数；
(3)若将图1中的线段AC沿MN向左平移到 ，如图3，其他条件与（2）相同，求此时 的度数．
23．（2022·山西大同·八年级期末）如图， 是经过 顶点 的一条直线， ， 、 分别是
直线 上两点，且 ．
(1)若直线 经过 的内部，且 、 在射线 上．
①如图1，若 ， ，则 ________ ．
②如图2，若 ，请添加一个关于 与 关系的条件________，使①中的结论仍然成立，
并说明理由；
(2)如图3．若线 经过 的外部， ，请提出关于 ， ， 三条线段数量关系的合理
猜想，并简述理由．24．（2021·河南·开封市第二十七中学八年级期中）如图1，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D在线段AC上，
过点A作BD的垂线交BD的延长线于点E，交BC的延长线于点P．
(1)求证：△ACP≌△BCD；
(2)如图2，若点D在线段AC的延长线上，过点A作BD的垂线，交BC于点P，垂足为点E，试探索线段
AC，BP，CD三者之间的数量关系，并说明理由．
(3)如图3，若AC＝BC＝8cm，点D从点A出发，以1cm/s的速度向点C匀速运动，同时点Q从点B出发，
以2cm/s的速度沿射线BC方向作匀速运动，设运动时间为ts，（ ），直接写出t为何值时，
．
25．（2021·福建省华安县第一中学八年级期中）如图，AB=12cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC=BD=9cm，点P
在线段AB上以3cm/s的速度，由A向B运动，同时点Q在线段BD上由B向D运动；设点P的运动时间
为t秒．
(1) PB=________ cm．（用含t的代数式表示）
(2)如图1，若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当运动时间t=1秒时， ACP与 BPQ是否全等？
并说明理由．
△ △
(3)如图2，将“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB=∠DBA”，其余条件不变；设点Q的运动速度为xcm/s，是
否存在实数x，使得 ACP与 BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．
△ △26．（2022·江苏徐州·模拟预测）（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别
是边BC、CD上的点，且∠EAF＝ ∠BAD，线段EF、BE、FD之间的关系是 ；（不需要证明）
（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF
＝ ∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，
并证明．
（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且
∠EAF＝ ∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关
系，并证明．
27．（2022·云南昭通·八年级期末）如图，AD为△ABC的角平分线．
(1)如图1，若CE⊥AD于点F，交AB于点E，AB=8，AC=5．则BE=_______．
(2)如图2，若∠C=2∠B，点E在AB上，且AE=AC，AB=a，AC=b，求CD的长；（用含a、b的式子表示）
(3)如图3，BG⊥AD，点G在AD的延长线上，连接CG，若△ACG的面积是7，求△ABC的面积．
28．（2019·江苏·盐城市大丰区城东实验初级中学八年级阶段练习）如图，已知：∠AOB＝90°，OC平分∠AOB，点P在射线OC上．点E在射线OA上，点F在射线OB上，且∠EPF＝90°．
（1）如图1，求证：PE＝PF；
（2）如图2，作点F关于直线EP的对称点F′，过F′点作FH⊥OF于H，连接EF′，F′H与EP交于点M．
连接FM，图中与∠EFM相等的角共有 个．
29．（2022·湖南岳阳·八年级期末）直线l经过点A， 在直线l上方， ．
（1）如图1， ，过点B，C作直线l的垂线，垂足分别为D、E．求证：
（2）如图2，D，A，E三点在直线l上，若 （ 为任意锐角或钝角），猜想线
段DE、BD、CE有何数量关系？并给出证明．
（3）如图3， 过点B作直线l上的垂线，垂足为F，点D是BF延长线上的一个动点，连结
AD，作 ，使得 ，连结DE，CE．直线l与CE交于点G．求证：G是CE的中点．
30．（2021·湖北孝感·八年级期中）（1）如图1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过
点A，BD⊥l，CE⊥l垂足分别为点D、E．证明：
①∠CAE＝∠ABD；
②DE＝BD＋CE．（2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在l上，并且有∠BDA＝
∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE＝BD＋CE是否成立？如成立，请你给出证
明；若不成立，请说明理由．
（3）如图3，过△ABC的边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高，延长HA
交EG于点I，求证：I是EG的中点．
