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第 3 章变量之间的关系（压轴 30 题专练）
一．选择题（共11小题）
1．（2021春•德阳期末）某游客为爬上3千米高的山顶看日出，先用1小时爬了2千米，休息0.
5小时后，再用1小时爬上山顶．游客爬山所用时间t与山高h间的函数关系用图形表示是（
）
A． B．
C． D．
2．（2021•武昌区模拟）如图，某电信公司提供了A，B两种方案的移动通讯费用y（元）与通
话时间x（分）之间的关系，则下列结论中正确的有（ ）
（1）若通话时间少于120分，则A方案比B方案便宜20元；
（2）若通话时间超过200分，则B方案比A方案便宜12元；
（3）若通讯费用为60元，则B方案比A方案的通话时间多；
（4）若两种方案通讯费用相差10元，则通话时间是145分或185分．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2021•娄星区模拟）如图是小明在物理实验课上用量筒和水测量铁块A的体积实验，小明在
匀速向上将铁块提起，直至铁块完全露出水面一定高度的过程中，则下图能反映液面高度h
与铁块被提起的时间t之间的函数关系的大致图象是（ ）A． B．
C． D．
4．（2020•苍溪县模拟）如图，△ABC和△DEF是两个形状大小完全相同的等腰直角三角形，
∠ACB＝∠DFE＝90°，点C落在DE的中点处，且AB的中点M与C、F三点共线，现在让
△ABC在直线MF上向右作匀速移动，而△DEF不动，设两个三角形重合部分的面积为y，向
右水平移动的距离为x，则y与x的函数关系的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2020•淮南二模）如图，矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，点P从点B出发，沿B→C→D向
终点D匀速运动，设点P走过的路程为x，△ABP的面积为S，能正确反映S与x之间函数关
系的图象是（ ）A． B．
C． D．
6．（2021•达拉特旗一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点P以每秒一
个单位的速度沿着B﹣C﹣A运动， P始终与AB相切，设点P运动的时间为t， P的面积
为y，则y与t之间的函数关系图象大致是（ ）
⊙ ⊙
A． B．
C． D．
7．（2020•武汉模拟）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点P是BC边上的一个动点（点P
不与点B、C重合），现将△PCD沿直线PD折叠，使点C落到点C′处；作∠BPC′的角平
分线交AB于点E．设BP＝x，BE＝y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是
（ ）A． B．
C． D．
8．（2020•江汉区校级自主招生）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，动点
P从点A 出发，以每秒1cm的速度，沿A→B→C的方向运动，到达点C时停止．设y＝PC2，
运动时间为t秒，则能反映y与t之间函数关系的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2020•武威模拟）已知如图，等腰三角形ABC的直角边长为a，正方形MNPQ的边为b （a
＜b），C、M、A、N在同一条直线上，开始时点A与点M重合，让△ABC向右移动，最后点
C与点N重合．设三角形与正方形的重合面积为y，点A移动的距离为x，则y关于x的大致
图象是（ ）A． B．
C． D．
10．（2020•丹东一模）如图，线段AB＝1，点P是线段AB上一个动点（不包括A、B）在AB同
侧作Rt△PAC，Rt△PBD，∠A＝∠D＝30°，∠APC＝∠BPD＝90°，M、N分别是AC、BD的
中点，连接MN，设AP＝x，MN2＝y，则y关于x的函数图象为（ ）
A． B．
C． D．
11．（2021•高明区二模）如图，Rt△ABC中，AB＝4，BC＝2，正方形ADEF的边长为2，F、A、
B在同一直线上，正方形ADEF向右平移到点F与B重合，点F的平移距离为x，平移过程中两图重叠部分的面积为y，则y与x的关系的函数图象表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二．填空题（共10小题）
12．（2013•新疆）某书定价25元，如果一次购买20本以上，超过20本的部分打八折，试写出
付款金额y（单位：元）与购书数量x（单位：本）之间的函数关系 ．
13．（2012•宁德）五一节某超市搞促销活动：①一次性购物不超过150元不享受优惠；②一次
性购物超过150元但不超过500元一律九折；③一次性购物超过500元一律八折．王宁两次
购物分别付款120元、432元，若王宁一次性购买以上两次相同的商品，则应付款 元．
14．（2018•溧水区一模）小高从家门口骑车去单位上班，先走平路到达点A，再走上坡路到达
点B，最后走下坡路到达工作单位，所用的时间与路程的关系如图所示．下班后，如果他沿原
路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上班时一致，那么他从单位到家门
口需要的时间是 分钟．
15．（2013•成都模拟）如图，l ，l 分别表示A步行与B骑车在同一路上行驶的路程S与时间t
A B
的关系．
（1）B出发时与A相距 千米．
（2）走了一段路后，自行车发生故障，进行修理，所用的时间是 小时．
（3）B出发后 小时与A相遇．
（4）若B的自行车不发生故障，保持出发时的速度前进， 小时与A相遇．16．（2013•武汉模拟）已知A、B两地相距4千米．上午8：00，甲从A地出发步行到B地，8：
20乙从B地出发骑自行车到A地，甲、乙两人离A地的距离（千米）与甲所用的时间（分）
之间的关系如图所示．由图中的信息可知，乙到达A地的时间为 ．
17．（2012•荆州）如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B出
发，点P沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动
的速度都是1cm/秒．设P、Q同发t秒时，△BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象
如图（2）（曲线OM为抛物线的一部分），则下列结论：①AD＝BE＝5；②cos∠ABE＝ ；
③当0＜t≤5时，y＝ t2；④当t＝ 秒时，△ABE∽△QBP；其中正确的结论是
（填序号）．
18．（2014•徐州）如图①，在正方形ABCD中，点P沿边DA从点D开始向点A以1cm/s的速
度移动；同时，点Q沿边AB、BC从点A开始向点C以2cm/s的速度移动．当点P移动到点A
时，P、Q同时停止移动．设点P出发xs时，△PAQ的面积为ycm2，y与x的函数图象如图
②，则线段EF所在的直线对应的函数关系式为 ．19．（2013•尤溪县质检）如图所示，已知正方形ABCD的边长为4，E是BC边上的一个动点，
AE⊥EF，EF交DC于点F，设BE＝x，FC＝y，则当点E从点B运动到点C时，y关于x的函
数图象是 （填序号）
20．（2013•咸宁）“龟兔首次赛跑”之后，输了比赛的兔子没有气馁，总结反思后，和乌龟约
定再赛一场．图中的函数图象刻画了“龟兔再次赛跑”的故事（x表示乌龟从起点出发所行的
时间，y 表示乌龟所行的路程，y 表示兔子所行的路程）．有下列说法：
1 2
①“龟兔再次赛跑”的路程为1000米；
②兔子和乌龟同时从起点出发；
③乌龟在途中休息了10分钟；
④兔子在途中750米处追上乌龟．
其中正确的说法是 ．（把你认为正确说法的序号都填上）
21．（2012•高邮市一模）如图，A、B、C、D是 O四等分点，动点P沿O﹣C﹣D﹣O路线作
匀速运动，设运动时间为xs，∠APB＝y°，右图表示y与x之间函数关系，则点M的横坐标为
⊙
．三．解答题（共9小题）
22．（2007•辽宁）星期天，小明与小刚骑自行车去距家50千米的某地旅游，匀速行驶1.5小时
的时候，其中一辆自行车出故障，因此二人在自行车修理点修车，用了半个小时，然后以原
速继续前行，行驶1小时到达目的地．请在右面的平面直角坐标系中，画出符合他们行驶的
路程S（千米）与行驶时间t（时）之间的函数图象．
23．如图1，△ABC各顶点的坐标分别为A（0，4）、B（﹣4，0）、C（2，0），点D是AB上
一点，将△CDB沿x轴的正方向以每秒m个单位的速度向右运动，得到△C′D′B′，当点
B′与点C重合停止运动，设△C′D′B′与△AOC重叠部分的面积为S，运动时间为t（S），
S关于t的部分函数图象如图2所示（其中0＜t≤1，1＜t≤a，…，函数的解析式不同）
（1）点D的坐标为 ；m的值为 ；
（2）求S与t的函数关系式，并注明t的取值范围．
24．（2019春•高新区校级期中）2018年5月14日，川航3U863航班挡风玻璃在高空爆裂，机
组临危不乱，果断应对，正确处置，顺利返航，避免了一场灾难的发生，创造了世界航空史
上的奇迹!下表给出了距离地面高度与所在位置的温度之间的大致关系．根据下表，请回答以
下几个问题：
距离地面高度（千 0 1 2 3 4 5
米）
所在位置的温度 20 14 8 2 ﹣4
（℃）（1）上表反映的两个变量中， 是自变量， 是因变量？
（2）若用h表示距离地面的高度，用y表示表示温度，则y与h的之间的关系式是： ；
当距离地面高度5千米时，所在位置的温度为： ℃．
如图是当日飞机下降过程中海拔高度与玻璃爆裂后立即返回地面所用时间关系图．根据图象
回答以下问题：
（3）返回途中飞机再2千米高空水平大约盘旋了几分钟？
（4）飞机发生事故时所在高空的温度是多少？
25．（2019春•江汉区期末）已知函数y＝|x﹣4|
（1）在平面直角坐标系中画出函数图象；
（2）函数图象与x轴交于点A，与y轴交于点B．已知P（x，y）是图象上一个动点，若
△OPA的面积为6，求P点坐标；
（3）已知直线y＝kx+1（k≠0）与该函数图象有两个交点，求k的取值范围．
26．（2019春•海淀区校级月考）如图1，在△ABC中，点D是线段BC上的动点，将线段AD绕
点D逆时针旋转90°得到线段DE，连接BE．若已知BC＝8cm，设B，D两点间的距离为xcm，
A，D两点间的距离为y cm，B，E两点距离为y cm．小明根据学习函数的经验，分别对函数
1 2
y ，y 随x的变化而变化的规律进行了探究，请补充完整．下面是小明的探究过程的几组对应
1 2
值．（1）按照下表中自变量x的值进行取点画图，测量分别得到了与x的几组对应值如下表：
（说明补全表格时相关数值保留一位小数）
x/cm 0 1 2 3 4 5 6 7 8
y /cm 7.03 6.20 5.44 4.76 4.21 3.85 3.73 3.87 4.26
1
y /cm a 5.66 4.32 b 1.97 1.59 2.27 3.43 4.73
2
（2）在同一平面直角坐标系xoy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y ），（x，
1
y ），并画出函数y ，y 的图象；
2 1 2
（3）结合函数图象（如图2），解决问题：
①当E在线段BC上时，BD的长约为 cm；
②当△BDE为等腰三角形时，BD的长x约为 cm．
27．（2012•徐州）如图1，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AD＝4cm，AB＝dcm．动点E、F
分别从点D、B出发，点E以1cm/s的速度沿边DA向点A移动，点F以1cm/s的速度沿边BC
向点C移动，点F移动到点C时，两点同时停止移动．以EF为边作正方形EFGH，点F出发
xs时，正方形EFGH的面积为ycm2．已知y与x的函数图象是抛物线的一部分，如图2所示．
请根据图中信息，解答下列问题：
（1）自变量x的取值范围是 ；
（2）d＝ ，m＝ ，n＝ ；
（3）F出发多少秒时，正方形EFGH的面积为16cm2？28．（2019春•西岗区期末）在正方形ABCD中（如图1），O是AD的中点，点P从A点出发沿
A→B→C→D的路线移动到点D时停止，出发时以a单位/秒匀速运动：同时点Q从D出发沿
D→C→B→A的路线匀速运动，移动到点A时停止，出发时以b单位/秒运动：两点相遇后点
P运动速度变为c单位/秒运动，点Q运动速度变为d单位/秒运动；图2是射线OP随P点运
动在正方形ABCD中扫过的图形的面积y 与时间t的函数图象，图3是射线OQ随Q点运动在
1
正方形ABCD中扫过的图的面积y 与时间t的函数图象，
2
（1）正方形ABCD的边长是 ．
（2）求P，Q相遇后∠POQ在正方形中所夹图形面积S与时间t的函数关系式．29．（2019•兰州）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6cm，BC＝8cm，点D为BC的中点，BE＝DE，
将∠BDE绕点D顺时针旋转 度（0≤ ≤83°），角的两边分别交直线AB于M、N两点，设
B、M两点间的距离为xcm，M，N两点间的距离为ycm．
α α
小涛根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小涛的探究过程，请补充完整．
（1）列表：下表的已知数据是B，M两点间的距离x进行取点、画图、测量，分别得到了y
与x的几组对应值：
x/cm 0 0.30 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 3.50 3.68 3.81 3.90 3.93 4.10
y/cm 2.88 2.81 2.69 2.67 2.80 3.15 3.85 5.24 6.01 6.71 7.27 7.44 8.87
请你通过计算，补全表格；
（2）描点、连线，在平面直角坐标系xOy中，描出表格中各组数值所对应的点（x，y），并
画出函数y关于x的图象．（3）探究性质：随着自变量x的不断增大，函数y的变化趋势： ．
（4）解决问题：当MN＝2BM时，BM的长度大约是 cm．（保留两位小数）．
30．（2015•大连）如图1，在△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，且CD＞DA，DA＝2，点P，
Q同时从点D出发，以相同的速度分别沿射线DC、射线DA运动，过点Q作AC的垂线段QR，
使QR＝PQ，连接PR，当点Q到达点A时，点P，Q同时停止运动．设PQ＝x，△PQR与
△ABC重叠部分的面积为S，S关于x的函数图象如图2所示（其中0＜x≤ ， ＜x≤m时，
函数的解析式不同）．
（1）填空：n的值为 ；
（2）求S关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．
