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第 30 讲 圆锥曲线的综合应用
学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、知识梳理
1.判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝
0(A、B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0.消去y(或x)得到一个关
于变量x(或y)的方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0).
(1)当a≠0时，则Δ＞0时，直线l与曲线C相交；Δ＝0时，直线l与曲线C相
切；Δ＜0时，直线l与曲线C相离.
(2)当a＝0时，即得到一个一次方程，则l与C相交，且只有一个交点，此时，
若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线平行；若 C为抛物线，则直线l与
抛物线的对称轴平行或重合.
2.对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有
交点.
3.弦及弦中点问题的解决方法
(1)根与系数的关系：直线与椭圆或双曲线方程联立，消元，利用根与系数关系
表示中点；
(2)点差法：利用弦两端点适合椭圆或双曲线方程，作差构造中点、斜率间的关
系.若已知弦的中点坐标，可求弦所在直线的斜率.
4.弦长的求解方法
(1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解.
(2)当直线的斜率存在时，斜率为 k的直线l与椭圆或双曲线相交于 A(x ，y )，
1 1
B(x ，y )两个不同的点，则弦长公式的常见形式有如下几种：
2 2
①|AB|＝|x －x |
1 2
＝；
②|AB|＝|y －y |(k≠0)
1 2
＝.
二、考点和典型例题
1、直线与圆锥曲线的位置关系【典例1-1】直线 与椭圆 的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
【答案】A
【详解】
， 在椭圆内，
恒过点 ， 直线 与椭圆 相交.
故选：A.
【典例1-2】过 且与双曲线 有且只有一个公共点的直线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】D
【详解】
当斜率不存在时，过 的直线与双曲线没有公共点；
当斜率存在时，设直线为 ，联立 ，得 ①.
当 ，即 时，①式只有一个解；
当 时，则 ，解得 ；
综上可知过 且与双曲线 有且只有一个公共点的直线有4条.
故选：D.
【典例1-3】斜率为 的直线过抛物线 的焦点，且与C交于A，B两点，则三角
形 的面积是（O为坐标原点）（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
抛物线 的焦点坐标为 ，
则斜率为 的直线方程为： ，与抛物线方程联立得：
，
设 ，不妨设 ， ，
则 ，点O到直线AB的距离为 ，
所以△AOB的面积为
故选：B
【典例1-4】（多选）已知双曲线 的左、右焦点分别为 、 ，
左、右顶点分别为 、 ，点P是双曲线C右支上异于顶点的一点，则（ ）
A．若双曲线C为等轴双曲线，则直线 的斜率与直线 的斜率之积为1
B．若双曲线C为等轴双曲线，且 ，则
C．若P为焦点 关于双曲线C的渐近线的对称点，则C的离心率为
D．延长 交双曲线右支于点Q，设 与 的内切圆半径分别为 、 ，则
【答案】ABD
【详解】
由题意知， ，设 ，对于A，若双曲线C为等轴
双曲线，则 ，
则 ，又 ，则 ，A正
确；
对于B，设 ，则 ，由A选项知 ，即
，
又 ， ，故 ，解得 ，即 ，B正确；对于C，易得双曲线的渐近线方程为 ，若P为焦点 关于双曲线C的渐近线的对
称点，则有 ，
解得 ，代入 可得 ，即
，
解得 ，则C的离心率为 ，C错误；对于D，设 的内切圆与 分别切于 三点，由切线长定理知
，
则 ，又
，可得 ，
则 和 重合，即 的内切圆圆心 的横坐标为 ，同理可得 的内切圆
圆心 横坐标也为 ，
则 轴，且 ，作 于 ，则 即为切点，作 于 ，
则 ，
， ，在 中，
可得 ，即 ，整理得 ，D
正确.
故选：ABD.
【典例1-5】（多选）已知抛物线 ： ，过其准线上的点 作的两条
切线，切点分别为 ， ，下列说法正确的是（ ）
A． B．当 时，
C．当 时，直线 的斜率为2 D． 面积的最小值为4
【答案】ABD
【详解】
对A，易知准线方程为 ，∴ ， ： ，故选项A正确.
对B，设直线 ，代入 ，得 ，当直线与 相切时，有
，即 ，设 ， 斜率分别为 ， ，易知 ， 是上述方程两根，故
，故 .故选项B正确.
对C，设 ， ，其中 ， .则 ： ，即
.代入点 ，得 ，同理可得 ，
故 ： ，故 . 故选项C不正确.
对D，同C，切线方程 ： ； ： ，代入点 有 ，，故直线 的方程为 ，即 ，联立 有
，则 ，故 ，又
到 的距离 ，故
，故当 时 的面积小值为 ，故D
正确；
故选：ABD
2、中点弦及弦长问题
【典例2-1】（2022·江苏·高二）已知椭圆 的左焦点为 ，过 作
一条倾斜角为 的直线与椭圆 交于 两点，若 为线段 的中点，则椭圆
的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
设点 ，依题意， ，
相减得 ，因直线AB的倾斜角为 ，即直线AB
的斜率为 ，
又 为线段 的中点，则 ， ，因此有 ，即
，
所以椭圆 的离心率 .
故选：A
【典例2-2】（2022·内蒙古·赤峰二中高二阶段练习（文））已知双曲线C的中心在坐标原
点，其中一个焦点为 ，过F的直线l与双曲线C交于A、B两点，且AB的中点为，则C的离心率为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
由F、N两点的坐标得直线l的斜率 ．
∵双曲线一个焦点为(-2，0)，∴c=2．
设双曲线C的方程为 ，则 ．
设 ， ，则 ， ， ．
由 ， 得 ，
即 ，∴ ，易得 ， ， ，
∴双曲线C的离心率 ．
故选：B．
【典例2-3】（河南省新乡市2021-2022学年高二下学期期末数学文科试题）已知抛物线
C： ，直线l与C交于A，B两点，若弦 的中点为 ，则直线l的斜率为
（ ）
A． B．3 C． D．－3
【答案】C
【详解】
解：设 ， ，则 ，所以 ，整理得
．
因为弦 的中点为 ，所以 ，即直线 的斜率为 ．
故选：C
【典例2-4】（多选）（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆 与直线
交于 、 两点，且 ， 为 的中点，若 是直线 上的点，
则（ ）A．椭圆 的离心率为 B．椭圆 的短轴长为
C． D． 到 的两焦点距离之差的最大值为
【答案】ACD
【详解】
令 、 ，则 ，
则 ，则 ，
则 ，则 ，所以， ，
所以， ，则 ， ，椭圆的标准方程为 ，
所以，椭圆 的焦点在 轴上，即 ，
，即 ，A对；
椭圆 的方程为 ，联立 ，
消 可得 ， ，可得 ，
则 ， ，
所以， ，则 ，所以，椭圆 的短轴长为 ，B错；
，C对；
椭圆 的方程为 ，其标准方程为 ， ，
椭圆 的左焦点为 ，右焦点为 ，如下图所示：设点 关于直线 的对称点为点 ，则 ，解得 ，
即点 ，
易知 ，则 ,
当且仅当点 、 、 三点共线时，等号成立，D对.
故选：ACD．
【典例2-5】（多选）（2021·江苏省灌云高级中学高二阶段练习）过M（1，1）作斜率为
2的直线与双曲线 相交于A、B两点，若M是AB的中点，则下列表述
正确的是（ ）
A．ba
【答案】CD
【详解】
解：设 ，
则 ，
两式相减得 ，
化简得 ，
因为M（1，1）是AB的中点，
所以 ，即 ，所以 ，渐近线方程为 ，离心率为 ，
故选：CD
3、圆锥曲线的综合应用
【典例3-1】（2022·北京·北大附中三模）已知椭圆 经过点
.
(1)求椭圆 的方程及其离心率；
(2)若 为椭圆 上第一象限的点，直线 交 轴于点 ，直线 交 轴于点 ，且有
，求点 的坐标.
【答案】(1) ，离心率为 ；(2)
【解析】(1)
依题知： ，所以 .
所以椭圆方程为 ，离心率 .
(2)
如图：
设 ，第一象限有 ， ①；
由 得： ，
又 ， ，
因此 ②，联立①②解得 ，故 .
【典例3-2】（2022·陕西咸阳·二模（文））已知抛物线 ，过焦点F作x
轴的垂线与抛物线C相交于M、N两点， .
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)若A、B两点在抛物线C上，且 ，求证：直线 的垂直平分线l恒过定
点.
【解析】(1)
因为 过焦点且与 轴垂直，故 ，
故 ，
解得： ，从而抛物线C的方程为 .
(2)
设线段 中点为 ， ， ，
由题知，直线 的垂直平分线斜率存在，设为k，则： ，
， .
若直线 不与x轴垂直，由 得， ，
即 ，
则直线l斜率为 ，
从而直线l的方程为 ，
整理得： 恒过点 .
若直线 与x轴垂直，则l为直线 ，显然也满足恒过点 .
综上所述，直线l恒过点 .
【典例3-3】（2021·湖南·模拟预测）已知双曲线 的其中一个焦点为
，一条渐近线方程为
（1）求双曲线 的标准方程；（2）已知倾斜角为 的直线 与双曲线 交于 两点，且线段 的中点的纵坐标为
4，求直线 的方程.
【答案】（1） （2）
（1）由焦点可知 ，
又一条渐近线方程为
所以 ，
由 可得 ,解得 ， ，
故双曲线 的标准方程为
（2）设 ，AB中点的坐标为
则 ①， ②，
② ①得： ，
即 ，又 ，
所以 ，
所以直线 的方程为 ，即
【典例3-4】（2020·山东·高考真题）已知抛物线的顶点在坐标原点 ，椭圆 的
顶点分别为 ， ， ， ，其中点 为抛物线的焦点，如图所示.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）若过点 的直线 与抛物线交于 ， 两点，且 ，求直线 的方
程.
【答案】（1） ；（2） .【详解】
解：（1）由椭圆 可知 ， ，
所以 ， ，则 ，
因为抛物线的焦点为 ，可设抛物线方程为 ，
所以 ，即 .
所以抛物线的标准方程为 .
（2）由椭圆 可知 ， ，
若直线 无斜率，则其方程为 ，经检验，不符合要求.
所以直线 的斜率存在，设为 ，直线 过点 ，
则直线 的方程为 ，
设点 ， ，
联立方程组 ，
消去 ，得 .①
因为直线 与抛物线有两个交点，
所以 ，即 ，
解得 ，且 .
由①可知 ，
所以 ，
则 ，因为 ，且 ，
所以 ，
解得 或 ，
因为 ，且 ，
所以 不符合题意，舍去，
所以直线 的方程为 ，
即 .
【典例3-5】（2022·全国·高考真题）已知点 在双曲线 上，直
线l交C于P，Q两点，直线 的斜率之和为0．
(1)求l的斜率；
(2)若 ，求 的面积．
【答案】(1) ；(2) ．
【解析】
(1)
因为点 在双曲线 上，所以 ，解得 ，即双曲
线
易知直线l的斜率存在，设 ， ，
联立 可得， ，
所以， ，
且 ．
所以由 可得， ，
即 ，
即 ，所以 ，
化简得， ，即 ，
所以 或 ，
当 时，直线 过点 ，与题意不符，舍去，
故 ．
(2)
不妨设直线 的倾斜角为 ，因为 ，所以 ，
由（1）知， ，
当 均在双曲线左支时， ，所以 ，
即 ，解得 （负值舍去）
此时PA与双曲线的渐近线平行，与双曲线左支无交点，舍去；
当 均在双曲线右支时，
因为 ，所以 ，即 ，
即 ，解得 （负值舍去），
于是，直线 ，直线 ，
联立 可得， ，
因为方程有一个根为 ，所以 ， ，
同理可得， ， ．
所以 ， ，
点 到直线 的距离 ，
故 的面积为 ．
