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第 30 讲 圆锥曲线的综合应用
学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、知识梳理
1.判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝
0(A、B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0.消去y(或x)得到一个关
于变量x(或y)的方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0).
(1)当a≠0时，则Δ＞0时，直线l与曲线C相交；Δ＝0时，直线l与曲线C相
切；Δ＜0时，直线l与曲线C相离.
(2)当a＝0时，即得到一个一次方程，则l与C相交，且只有一个交点，此时，
若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线平行；若 C为抛物线，则直线l与
抛物线的对称轴平行或重合.
2.对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有
交点.
3.弦及弦中点问题的解决方法
(1)根与系数的关系：直线与椭圆或双曲线方程联立，消元，利用根与系数关系
表示中点；
(2)点差法：利用弦两端点适合椭圆或双曲线方程，作差构造中点、斜率间的关
系.若已知弦的中点坐标，可求弦所在直线的斜率.
4.弦长的求解方法
(1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解.
(2)当直线的斜率存在时，斜率为 k的直线l与椭圆或双曲线相交于 A(x ，y )，
1 1
B(x ，y )两个不同的点，则弦长公式的常见形式有如下几种：
2 2
①|AB|＝|x －x |
1 2
＝；
②|AB|＝|y －y |(k≠0)
1 2
＝.
二、考点和典型例题
1、直线与圆锥曲线的位置关系【典例1-1】直线 与椭圆 的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
【典例1-2】过 且与双曲线 有且只有一个公共点的直线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【典例1-3】斜率为 的直线过抛物线 的焦点，且与C交于A，B两点，则三角
形 的面积是（O为坐标原点）（ ）
A． B． C． D．
【典例1-4】（多选）已知双曲线 的左、右焦点分别为 、 ，
左、右顶点分别为 、 ，点P是双曲线C右支上异于顶点的一点，则（ ）
A．若双曲线C为等轴双曲线，则直线 的斜率与直线 的斜率之积为1
B．若双曲线C为等轴双曲线，且 ，则
C．若P为焦点 关于双曲线C的渐近线的对称点，则C的离心率为
D．延长 交双曲线右支于点Q，设 与 的内切圆半径分别为 、 ，则
【典例1-5】（多选）已知抛物线 ： ，过其准线上的点 作的两条
切线，切点分别为 ， ，下列说法正确的是（ ）
A． B．当 时，
C．当 时，直线 的斜率为2 D． 面积的最小值为4
2、中点弦及弦长问题
【典例2-1】（2022·江苏·高二）已知椭圆 的左焦点为 ，过 作
一条倾斜角为 的直线与椭圆 交于 两点，若 为线段 的中点，则椭圆
的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【典例2-2】（2022·内蒙古·赤峰二中高二阶段练习（文））已知双曲线C的中心在坐标原
点，其中一个焦点为 ，过F的直线l与双曲线C交于A、B两点，且AB的中点为，则C的离心率为( )
A． B． C． D．
【典例2-3】（河南省新乡市2021-2022学年高二下学期期末数学文科试题）已知抛物线
C： ，直线l与C交于A，B两点，若弦 的中点为 ，则直线l的斜率为
（ ）
A． B．3 C． D．－3
【典例2-4】（多选）（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆 与直线
交于 、 两点，且 ， 为 的中点，若 是直线 上的点，
则（ ）
A．椭圆 的离心率为 B．椭圆 的短轴长为
C． D． 到 的两焦点距离之差的最大值为
【典例2-5】（多选）（2021·江苏省灌云高级中学高二阶段练习）过M（1，1）作斜率为
2的直线与双曲线 相交于A、B两点，若M是AB的中点，则下列表述
正确的是（ ）
A．ba
3、圆锥曲线的综合应用
【典例3-1】（2022·北京·北大附中三模）已知椭圆 经过点
.
(1)求椭圆 的方程及其离心率；
(2)若 为椭圆 上第一象限的点，直线 交 轴于点 ，直线 交 轴于点 ，且有
，求点 的坐标.【典例3-2】（2022·陕西咸阳·二模（文））已知抛物线 ，过焦点F作x
轴的垂线与抛物线C相交于M、N两点， .
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)若A、B两点在抛物线C上，且 ，求证：直线 的垂直平分线l恒过定
点.
【典例3-3】（2021·湖南·模拟预测）已知双曲线 的其中一个焦点为
，一条渐近线方程为
（1）求双曲线 的标准方程；
（2）已知倾斜角为 的直线 与双曲线 交于 两点，且线段 的中点的纵坐标为
4，求直线 的方程.【典例3-4】（2020·山东·高考真题）已知抛物线的顶点在坐标原点 ，椭圆 的
顶点分别为 ， ， ， ，其中点 为抛物线的焦点，如图所示.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）若过点 的直线 与抛物线交于 ， 两点，且 ，求直线 的方
程.
【典例3-5】（2022·全国·高考真题）已知点 在双曲线 上，直
线l交C于P，Q两点，直线 的斜率之和为0．
(1)求l的斜率；
(2)若 ，求 的面积．
