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第 30 讲 平面向量的数量积
【基础知识全通关】
一、平面向量的数量积
1．平面向量数量积的概念
（1）数量积的概念
已知两个非零向量 ，我们把数量 叫做向量 与 的数量积(或内积)，记作
,即 ，其中θ是 与 的夹角.
【注】零向量与任一向量的数量积为0.
（2）投影的概念
设非零向量 与 的夹角是θ，则 ( )叫做向量 在 方向上( 在 方向
上)的投影.
如图（1）（2）（3）所示，分别是非零向量 与 的夹角为锐角、钝角、直角时向量 在
方向上的投影的情形，其中 ，它的意义是，向量 在向量 方向上的投
影长是向量 的长度.
（3）数量积的几何意义
由向量投影的定义，我们可以得到 的几何意义：数量积 等于 的长度 与 在
方向上的投影 的乘积.
2．平面向量数量积的运算律已知向量 和实数 ,则
①交换律： ；
②数乘结合律： ；
③分配律： .
二、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角及性质
设非零向量 ， 是 与 的夹角.
（1）数量积： .
（2）模： .
（3）夹角： .
（4）垂直与平行： ；a∥b a·b=±|a||b|.
⇔
【注】当 与 同向时, ；
当 与 反向时, .
（5）性质：|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立) .
⇔
【考点研习一点通】
例1． 计算下列各式：
（1） ( + )― ( ― ) ；
（2）2(3 ―4 + )―3(2 + ―3 )；（3） ．
【变式1-1】计算：
（1）6(3 ―2 )+9(―2 + )；
（2） ；
（3）6( ― + )―4( ―2 + )―2(―2 + )．
典例2若向量 与向量 共线,则A． B．
C． D．
【变式2-1】 已知向量 与 的夹角为45°，则 __________．
典例3 在平行四边形 中， 若
则
A． B．
C． D．
例4．已知 、 、 是三个非零向量，则下列命题中正确的个数为（ ）
① · =±| |·| | ∥ ；② 、 反向 · =－| |·| |；③ ⊥ | + |=| －
|；④| |=| | | · |=| · |．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
例5．已知| |=4，| |=5，当（1） ∥ ，（2） ⊥ ，（3） 与 的夹角为30°时，分
别求 与 的数量积．例6．（1）若| |=4， · =6，求 在 方向上的投影；
（2）已知| |=6， 为单位向量，当它们之间的夹角 分别等于60°、90°、120°时，求出
在 方向上的正投影，并画图说明．
例7．已知向量 与 同向， =（1，2）， · =10．
（1）求向量 的坐标；
（2）若 =（2，－1）．求（ · ）· ．
例8.已知 =（1，1）， =（0，―2）当k为何值时，
（1）k ― 与 + 共线；
（2）k ― 与 + 的夹角为120°．
【考点易错】1．已知 ， ，分别满足下列条件，求 与 .
(1) ； (2) ； (3) 夹角为
2.已知向量 ，则 与 夹角的大小为_________.
3.若 、 、 均为单位向量，且 ， 的最大值为________
4.已知平面向量 ， ，| |=1，| |=2， · =1．若 为平面单位向量，则| · |+| ·
|的最大值是______．
5.设向量 ， ， .
（1）若 与 垂直，求 的值；
（2）求 的最大值；
（3）若 ，求证： ∥ .
【巩固提升】
1
1.已知非零向量 ， 满足4│ │=3│ │，cos< ， >= 3 .若 ⊥（t + ），则实
数t的值为（ ）
9 9
（A）4 （B）–4 （C）4 （D）–42. 平面向量 与 的夹角为60°， =（2，0）， ，则 （ ）
A． B． C．4 D．12
3. 在△OAB 中，已知 OA=4，OB=2，点 P 是 AB 的垂直平分线 上的任一点，则
（ ）
A．6 B．―6 C．12 D．―12
4.若平面向量 =（﹣1，2）与 的夹角是180°，且| |=3 ，则 坐标为（ ）
A．（6，﹣3） B．（﹣6，3） C．（﹣3，6） D．（3，﹣6）
5. 对于非零向量 ， ，定义运算“*”： ，其中 为 ， 的夹
角，有两两不共线的三个向量 、 、 ，下列结论正确的是（ ）
A．若 ，则 B．
C． D．
6. 平面上O，A，B三点不共线，设 ， ，则△OAB的面积等于（ ）
A． B．
C． D．
7．若向量 与 不共线， ，且 ，则向量 与 的夹角为（ ）
A．0 B． C． D．8．设向量 ， ， .
（1）若 与 垂直，求 的值；
（2）求 的最大值；
（3）若 ，求证： ∥ .
