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第 30 讲 平面向量的数量积
【基础知识全通关】
一、平面向量的数量积
1．平面向量数量积的概念
（1）数量积的概念
已知两个非零向量 ，我们把数量 叫做向量 与 的数量积(或内积)，记作
,即 ，其中θ是 与 的夹角.
【注】零向量与任一向量的数量积为0.
（2）投影的概念
设非零向量 与 的夹角是θ，则 ( )叫做向量 在 方向上( 在 方向
上)的投影.
如图（1）（2）（3）所示，分别是非零向量 与 的夹角为锐角、钝角、直角时向量 在
方向上的投影的情形，其中 ，它的意义是，向量 在向量 方向上的投
影长是向量 的长度.
（3）数量积的几何意义
由向量投影的定义，我们可以得到 的几何意义：数量积 等于 的长度 与 在
方向上的投影 的乘积.
2．平面向量数量积的运算律已知向量 和实数 ,则
①交换律： ；
②数乘结合律： ；
③分配律： .
二、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角及性质
设非零向量 ， 是 与 的夹角.
（1）数量积： .
（2）模： .
（3）夹角： .
（4）垂直与平行： ；a∥b a·b=±|a||b|.
⇔
【注】当 与 同向时, ；
当 与 反向时, .
（5）性质：|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立) .
⇔
【考点研习一点通】
例1． 计算下列各式：
（1） ( + )― ( ― ) ；
（2）2(3 ―4 + )―3(2 + ―3 )；
（3） ．【答案】（1） （2）11 ―11 （3）
【解析】（1）原式= + = = ．
（2）原式=6 ―8 +2 ―6 ―3 +9 = + +（2+9） =11 ―11 ．
（3）原式
=
【总结】 数乘向量与数乘数不同，前者结果是一个向量，后者结果是一个数， ＞0时，
与 同向； ＜0时， 与 反向； =0时， =0；故 与 一定共线．应用
实数与向量的积的运算律时，应联想数与数乘积运算的有关知识，加深对数乘向量运算律
的理解．
【变式1-1】计算：
（1）6(3 ―2 )+9(―2 + )；
（2） ；
（3）6( ― + )―4( ―2 + )―2(―2 + )．
【答案】（1）―3 （2） （3）6 +2
【解析】 （1）原式=18 ―12 ―18 +9 =―3 ．（2）
．
（3）原式=6 ―6 +6 ―4 +8 ―4 +4 ―2
=(6 ―4 +4 )+(8 ―6 )+(6 ―4 ―2 )
=6 +2 ．
典例2若向量 与向量 共线,则
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为向量 与向量 共线，
所以 ，解得 .
即 ， ，所以 = .
选D．
【变式2-1】 已知向量 与 的夹角为45°，则 __________．
【答案】
【解析】由向量 与 的夹角为45°，
得 .
典例3 在平行四边形 中， 若
则
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】如图所示,
平行四边形 中， ，
，，
，
因为 ，
所以
，
则 ，
所以 .
故选C．
例4．已知 、 、 是三个非零向量，则下列命题中正确的个数为（ ）
① · =±| |·| | ∥ ；② 、 反向 · =－| |·| |；③ ⊥ | + |=| －
|；④| |=| | | · |=| · |．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】
（1）∵ · =| | |b|cos ，∴由 · =±| | | |及 、 为非零向量可得cos =±1，∴
=0或π，∴ ∥ ，且以上各步均可逆，故叙述①是正确的．（2）若 、 反向，则 、 的夹角为π，∴ · =| | | |cosπ=―| | | |且以上各步均
可逆，故叙述②是正确的．
（3）当 ⊥ 时，将向量 、 的起点确定在同一点，则以向量 、 为邻边作平行四边
形，则该平行四边形必为矩形，于是它的两条对角线长相等，即有| + |=| ― |．反过
来，若| + |=| ― |，则以 、 为邻边的四边形为矩形，∴ ⊥ ，故叙述③是正确
的．
（4）当| |=| |，但 与 的夹角和 与 的夹角不等时，就有| · |≠| · |，反过来的
由| · |=| · |也推不出| |=| |．故叙述④是不正确的．综上所述，在四个叙述中，前 3
个是正确的，而第4个是不正确的．
【总结】需对以上四个叙述逐一判断，依据有两条，一是向量数量积的定义；二是向量加
法与减法的平行四边形法则．
例5．已知| |=4，| |=5，当（1） ∥ ，（2） ⊥ ，（3） 与 的夹角为30°时，分
别求 与 的数量积．
【点拨】 已知向量| |与| |，求 · ，只需确定其夹角 ．
【解析】
（1）当 ∥ 时，有 =0°和 =180°两种可能．
若 与 同向，则 =0°， · =| | |b|cos0°=4×5×1=20；
若 与 反向，则 =180°， · =| | | |cos180°=4×5×(―1)=―20．
（2）当 ⊥ 时， =90°， · =| | | |cos90°=0．（3）当 与 的夹角为30°时， · =| | | |cos30°=4×5× ．
【总结】
（1）在表示向量的数量积时， 与 之间必须用实心圆“·”来连接，而不能用“×”连
接，也不能省略．
（2）求平面向量数量积的步骤是：①求 与 的夹角 ， ∈[0°，180°]．②分别求| |和|
|．③求它们的数量积，即 · =| | | |·cos ．
例6．（1）若| |=4， · =6，求 在 方向上的投影；
（2）已知| |=6， 为单位向量，当它们之间的夹角 分别等于60°、90°、120°时，求出
在 方向上的正投影，并画图说明．
【答案】（1） （2）略
【解析】 （1）∵ · =| | | |cos =6，又| |=4，
∴4| |cos =6，∴ ．
（2） 在 方向上的投影为| |·cos ．
如上图所示，当 =60°时， 在 方向上的正投影的数量为| |·cos60°=3；
当 =90°时， 在 方向上的投影的数量为| |·cos90°=0；当 =120°时， 在 方向上的正投影的数量为| |·cos120°=－3．
【总结】 要注意 在 方向上的投影与 在 方向上的投影不是不同的．
例7．已知向量 与 同向， =（1，2）， · =10．
（1）求向量 的坐标；
（2）若 =（2，－1）．求（ · ）· ．
【解析】 （1）∵ 与 同向，又 =（1，2），
∴设 = ，则 =（ ，2 ）．
又∵ · =10，∴1· +2·2 =10，解得 =2＞0．
∵ =2符合 与 同向的条件，∴ =（2，4）．
（2）∵ · =1×2+2×(－1)=0，∴（ · ）· =0．
【总结】
（1）注意本题由 与 共线且同向的设法及验证；
（2）通过本题可以看出（ · ）· =0，（ · ）· =10×（2，―1）=（20，―10），显
然（ · ）· ≠（ · ）· ，即向量运算结合律一般不成立．
例8.已知 =（1，1）， =（0，―2）当k为何值时，
（1）k ― 与 + 共线；
（2）k ― 与 + 的夹角为120°．
【解析】∵ =（1，1）， =（0，―2），k ― =k（1，1）―（0，―2）=（k，
k+2）．+ =（1，1）+（0，―2）=（1，―1）．
（1）∵k － 与 + 共线，∴k+2―(―k)=0．∴k=－1．
（2）∵ ， ，
(k ― )·( + )=(k，k+2)·(1，―1)=k―k―2=―2，而k ― 与 + 的夹角为120°，
∴ ，
即 ．
化简，整理得k2+2k―2=0，解之得 ．
【考点易错】
1．已知 ， ，分别满足下列条件，求 与 .
(1) ； (2) ； (3) 夹角为
【解析】
(1) 当 时，分两种情况：
①若 同向，则 ，
∴ 。
②若 反向，则 ，∴ 。
(2)当 时， ，
∴ 。
(3)当 的夹角为 时，
.
【总结】 仍旧是一个向量，它们的模根据公式即为自身数量积的平方根. 数量积运
算是沟通向量与数量的桥梁.
2.已知向量 ，则 与 夹角的大小为_________.
【答案】30°
【解析】（Ⅰ） ，
所以 ， ， ，
根据数量积公式，得
故 与 夹角的大小为30°。
【总结】考查平面向量数量的角度问题，注意运用数量积的运算性质及夹角的范围，公式
合理的选用有助于分析解决问题.3.若 、 、 均为单位向量，且 ， 的最大值为________
【答案】
【解析】因为 、 、 均为单位向量，且 ，
设 =（1，0）， =（0，1）， ,
,
故 的最大值为 .
【总结】考查平面向量数量积和模的问题，考查我们运用知识分析解决问题的能力. 注意
本题是转换为代数运算求最值问题.
4.已知平面向量 ， ，| |=1，| |=2， · =1．若 为平面单位向量，则| · |+| ·
|的最大值是______．
【答案】
【解析】由| |=1，| |=2， · =1得，< ， >=60°，不妨取 =（1，0）， =（1，
），设 =（cosθ，sinθ），
则| · |+| · |=| cosθ|+| cosθ+ sinθ|≤| cosθ|+| cosθ|+ | sinθ|
=2| cosθ|+ | sinθ|，取等号时cosθ与sinθ同号，
所 以 2| cosθ|+ | sinθ|=|2 cosθ+ sinθ|= | cosθ+ sinθ|= |sin
（θ+β）|，
(其中sinβ= ，cosβ= ，取β为锐角)，显然 |sin（θ+β）|≤ ，故所求最大值为 。
【总结】考查平面向量数量积和模的问题，注意结合向量坐标转换成代数运算求最值问题.
5.设向量 ， ， .
（1）若 与 垂直，求 的值；
（2）求 的最大值；
（3）若 ，求证： ∥ .
【 解 析 】 （ 1 ） ∵ 与 垂 直 ， ∴ ， 即
，
∴ .
（2） ，
，
∴ 最大值为32，∴ 的最大值为 .
（3）证明：由 ，得 ，
即 ，故 ∥ .
【总结】平面向量有几何和代数两种形式，并通过平面直角坐标系将它们联系起来，所以
可以说，向量实际上是解析几何的内容，它把数形很好地结合在一起，这正是数学学习中
的一个重要思想方法，因此在解决数学问题时被广泛应用.高考中，除了对平面向量本身的
概念、运算加以考察外，更重要的是他与其他知识的联系，即用向量来解决代数、几何等
综合问题，从而考察学生综合解决问题的能力.【巩固提升】
1
1.已知非零向量 ， 满足4│ │=3│ │，cos< ， >= 3 .若 ⊥（t + ），则实
数t的值为（ ）
9 9
（A）4 （B）–4 （C）4 （D）–4
【答案】B
【解析】由4│ │=3│ │，可设│ │=3k，│ │=4k（k>0）,又 ⊥（t + ），所
以
﹒（t + ）= ﹒t + ﹒ =t│ │﹒│ │cos< ， >+│ │2
=t﹒3k﹒4k﹒ +（4k）2=4tk2+16k2=0.所以t=4，故选B.
2. 平面向量 与 的夹角为60°， =（2，0）， ，则 （ ）
A． B． C．4 D．12
【答案】B
【 解 析 】 ∵ ， ∴ =4+4×2×1×cos60°+4×12=12 ， ∴
.
3. 在△OAB 中，已知 OA=4，OB=2，点 P 是 AB 的垂直平分线 上的任一点，则
（ ）
A．6 B．―6 C．12 D．―12
【答案】B
【解析】B 设AB的中点为M，则. 故选B.
4.若平面向量 =（﹣1，2）与 的夹角是180°，且| |=3 ，则 坐标为（ ）
A．（6，﹣3） B．（﹣6，3） C．（﹣3，6） D．（3，﹣6）
【答案】D
【解析】设 =（x，y），
由两个向量的夹角公式得 cos180°=﹣1= = ，
∴x﹣2y=15 ①，∵ =3 ②，
由①②联立方程组并解得x=3，y=﹣6，即 =（3，﹣6），故选 D．
5. 对于非零向量 ， ，定义运算“*”： ，其中 为 ， 的夹
角，有两两不共线的三个向量 、 、 ，下列结论正确的是（ ）
A．若 ，则 B．
C． D．
【答案】B
【解析】根据定义，由 得 ，显然得不到 ；
对于 B， ，B 正
确，容易验证C、D不正确. 故选B.
6. 平面上O，A，B三点不共线，设 ， ，则△OAB的面积等于（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，故选C.
7．若向量 与 不共线， ，且 ，则向量 与 的夹角为（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】D
【解析】 ，故向量 与 的夹角为 .
8．设向量 ， ， .
（1）若 与 垂直，求 的值；
（2）求 的最大值；
（3）若 ，求证： ∥ .【解析】（1）∵ 与 垂直，∴ ，
即 ，
∴ .
（2） ，
，
∴ 最大值为32，∴ 的最大值为 .
（3）证明：由 ，得 ，
即 ，故 ∥ .
