文档内容
微考点 6-5 利用二级结论秒杀抛物线中的选填题
【考点目录】
考点一：抛物线中焦半径焦点弦三角形面积秒杀公式
考点二：过焦点的直线与抛物线相交坐标之间的关系秒杀公式
考点三：过焦点的两条相互垂直的弦的和及构成四边形面积最小值秒杀公式
考点四：抛物线中点弦求斜率秒杀公式
考点五：抛物线中以焦半径焦点弦为直径的圆相切问题
考点六：抛物线中阿基米德三角形相关秒杀结论
【考点分类】
考点一：抛物线中焦半径焦点弦三角形面积秒杀公式
已知倾斜角为 直线的 经过抛物线 的焦点 ，且与抛物线交于 两点，则
① .
.
②
③ , .
【精选例题】
【例1】倾斜角为 的直线 经过抛物线 的焦点 ，且与抛物线相交于A，B两点，则 （ ）
A． B．4 C．6 D．8
【例2】已知 是抛物线 上的两点，且直线 经过 的焦点，若 ，则
（ ）A．12 B．14 C．16 D．18
【例3】已知抛物线 ，弦 过抛物线的焦点 且满足 ，则弦 的中点到 轴的距离为
（ ）
A． B．3 C． D．4
【例4】（多选题）已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线 与抛物线 交于 两点
（ 在第一象限）， 为坐标原点，若 ，则（ ）
A．
B．直线 的斜率是
C．线段 的中点到 轴的距离是
D． 的面积是
【跟踪训练】
1．已知抛物线 的焦点为 ，过焦点 的直线 交抛物线于两点 ， ．若弦长 ，
则直线 的斜率为 ．
2．（多选题）在直角坐标系 中，已知抛物线 ： 的焦点为 ，过点 的倾斜角为
的直线 与 相交于 ， 两点，且点 在第一象限， 的面积是 ，则（ ）
A． B．C． D．
3．（多选题）已知直线l： 过抛物线C： 的焦点F，且与抛物线交于A，B两点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．抛物线C上的动点到直线 距离的最小值为
4．（多选题）已知直线 过抛物线 的焦点 ，且与抛物线 交于 两点，点
为 的准线与 轴的交点，则下列结论正确的是（ ）
A．若 ，则
B．过 的焦点的最短弦长为4
C．当 时，直线 的倾斜角为
D．存在2条直线 ，使得 成立
考点二：过焦点的直线与抛物线相交坐标之间的关系秒杀公式
①抛物线 的焦点为F， 是过 的直线与抛物线的两个交点，求证：
.
②一般地，如果直线 恒过定点 与抛物线 交于 两点，那么.
③若 恒过定点 .
【精选例题】
【例1】（多选题）已知抛物线 ： 的的焦点为 ， 、 是抛物线上两点，则下
列结论正确的是（ ）
A．点 的坐标为
B．若直线 过点 ，则
C．若 ，则 的最小值为
D．若 ，则线段 的中点 到 轴的距离为
【例2】（多选题）已知抛物线 的焦点为 ，过 且倾斜角为 的直线 交抛物线于 ， 两点
（ ）
A．直线 的方程为 B．原点到直线 的距离为
C． D．
【例3】（多选题）已知抛物线C： 的焦点为F，点A，B是抛物线C上不同两点，下列说法正确的
是（ ）
A．若AB中点M的横坐标为3，则 的最大值为8
B．若AB中点M的纵坐标为2，则直线AB的倾斜角为C．设 ，则 的最小值为
D．若 ，则直线AB过定点
【跟踪训练】
1．（多选题）过抛物线 （ ）焦点F的直线与抛物线交于 ， 两点，则说法
正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（多选题）已知点 在抛物线 的准线上，过抛物线 的焦点 作直线 交 于
、 两点，则（ ）
A．抛物线 的方程是 B．
C．当 时， D．
3．（多选题）已知 是抛物线 上不同于原点 的两点，点 是抛物线 的焦点，
下列说法正确的是（ ）
A．点 的坐标为
B．C．若 ，则直线 经过定点
D．若点 为抛物线 的两条切线，则直线 的方程为
考点三：过焦点的两条相互垂直的弦的和及构成四边形面积最小值秒杀公式
①已知 是抛物线 中过焦点 的两条相互垂直的弦， 存在最小
值，且最小值为 .
②已知 是抛物线 中过焦点 的两条相互垂直的弦，则四边形 的面积
的最小值为 .
【精选例题】
【例1】（多选题）过抛物线C： 的焦点F作两条互相垂直的直线 和 ，设直线 交抛物线C于
A，B两点，直线 交抛物线C于D，E两点，则 可能的取值为（ ）
A．18 B．16 C．14 D．12
【例2】在平面直角坐标系 中，已知动圆 与圆 内切，且与直线 相切，设动圆圆
心 的轨迹为曲线 .
(1)求曲线 的方程；
(2)过点 作两条互相垂直的直线与曲线 相交于 ， 两点和 ， 两点，求四边形 的面积
的最小值.
【跟踪训练】1．已知F为抛物线 的焦点，过F作两条互相垂直的直线 ， ，直线 与C交于A，B两点，直
线 与C交于D，E两点，则 的最小值为
2．已知抛物线 .其焦点为F，若互相垂直的直线m，n都经过抛物线 的焦点F，且与抛物线
相交于A，B两点和C，D两点，则四边形 面积的最小值为 ．
考点四：抛物线中点弦求斜率秒杀公式
设直线 与抛物线 相交所得的弦 的中点坐标为 ，则
【精选例题】
【例1】已知抛物线 的一条弦 恰好以点 为中点，弦 的长为 ，则抛物线的准线方程
为（ ）
A． B． C． D．
【例2】直线 与抛物线 交于 两点， 中点的横坐标为2，则 为（ ）
A． B．2 C． 或2 D．以上都不是
【例3】直线 过抛物线 的焦点 ，且与抛物线交于 两点，线段 中点的纵坐标为1，O为坐
标原点，则O到直线 的距离为（ ）
A． B． C． D．
【跟踪训练】
1．已知直线 与抛物线 相交于 两点，若线段 的中点坐标为 ，则直线 的方程为
（ ）A． B．
C． D．
2．已知抛物线 的焦点为 ，第一象限的 、 两点在抛物线上，且满足 ，
.若线段 中点的纵坐标为4，则抛物线的方程为 .
3．已知抛物线 ，过点 的直线交抛物线 于 两点，若 为 的中点，则直线 的方
程为 .
考点五：抛物线中以焦半径焦点弦为直径的圆相切问题
设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x，y)，B(x，y)，则
1 1 2 2
①以弦AB为直径的圆与准线相切．
②以AF或BF为直径的圆与y轴相切.
【精选例题】
【例1】（多选题）已知 是抛物线 上的两动点， 是抛物线的 焦
点，下列说法正确的是（ ）
A．直线 过焦点 时，以 为直径的圆与 的准线相切
B．直线 过焦点 时， 的最小值为6
C．若坐标原点为 ，且 ，则直线 过定点
D．与抛物线 分别相切于 两点的两条切线交于点 ，若直线 过定点 ，则点 在抛物线
的准线上【例2】（多选题）已知抛物线 的焦点为F，过焦点F的直线l交抛物线于A，B两点（其中点A在
x轴上方），则（ ）
A．
B．弦AB的长度最小值为l
C．以AF为直径的圆与y轴相切
D．以AB为直径的圆与抛物线的准线相切
【跟踪训练】
1．（多选题）设 是坐标原点，直线 经过抛物线C： 的焦点F，且与C交于
A，B西点， 是以 为底边的等腰三角形， 是抛物线C的准线，则（ ）
A．以 直径的圆与准线 相切 B．
C． D． 的面积是
2．（多选题）已知抛物线 的焦点 在直线 上，直线 与抛物线交于点 （
为坐标原点），则下列说法中正确的是（ ）
A．
B．准线方程为
C．以线段 为直径的圆与 的准线相切
D．直线 的斜率之积为定值
考点六：抛物线中阿基米德三角形相关秒杀结论
①知识要点：如图，假设抛物线方程为 ， 过抛物线准线上一点 向抛物线引两条切线，切点分别记为 ，其坐标为 . 则以点
和两切点 围成的三角形 中，有如下的常见结论:
结论1.直线 过抛物线的焦点 .
结论2.直线 的方程为 .
结论 3.过 的直线与抛物线交于 两点，以 分别为切点做两条切线，则这两条切线的交点
的轨迹即为抛物线的准线.
证明：过 点的切线方程为 ，过 点的切线方程为 ，两式相除可得：
.这就证明了该结论.
结论4. .
证明：由结论3， ， .那么 .
结论5. .
证明： ,则 .由抛物线焦点弦的性质可知 ，代入上
式即可得 ，故 .
结论6.直线 的中点为 ，则 平行于抛物线的对称轴.
证明：由结论3的证明可知，过点 的切线的交点 在抛物线准线上.且 的坐标为 ，显然 平行于抛物线的对称轴.
【精选例题】
【例1】已知抛物线C： ，（ ）的焦点为F， 为C上一动点，若曲线C在点
M处的切线的斜率为 ，则直线FM的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【例2】设抛物线C： 的焦点为F，过F的直线交C于A，B两点，分别以A，B为切点作C的切线
， ，若 与 交于点P，且满足 ，则 （ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【例3】（多选题）已知抛物线 的焦点为 ，过 且斜率为 的直线 交抛物线于 两点， 在
第一象限，过 分别作抛物线的切线 ，且 相交于点 ，若 交 轴于点 ，则下列说法正确
的有（ ）
A．点 在抛物线的准线上 B．
C． D．若 ，则 的值为
【例4】已知抛物线 的焦点为F，过F的直线l倾斜角为 ，交C于 两点，过 两点分
别作C的切线 ， ，其交点为 ， ， 与x轴的交点分别为 ，则四边形 的面积为________.
【跟踪训练】1.已知抛物线 的焦点为 ，若抛物线上一点 满足 ，则过点 的切线方程为（ ）
A． 或 B． 或
C． 或 D． 或
2．（多选题）设抛物线C： 的焦点为F，过抛物线C上不同的两点A，B分别作C的切线，两条切
线的交点为P，AB的中点为Q，则（ ）
A． 轴 B． C． D．
3.已知抛物线 的焦点为 ，且 与圆 上的点的距离的最小值4．
(1)求 ；
(2)若点 在圆 上， 是 的两条切线， 是切点，求 面积的最大值．
1．已知抛物线 ： （ ），过点 且垂直于 轴的直线 交抛物线 于 ， 两点， 为
坐标原点，若 的面积为9，则 （ ）
A． B．2 C． D．3
2．已知 为坐标原点，过抛物线 焦点 的直线与 交于A，B两点，若 ，则
（ ）
A．5 B．9 C．10 D．183．已知抛物线 的焦点为 ，过点 且斜率为 的直线 交抛物线于 两点，若
，则 （ ）
A． B． C． D．
4．已知抛物线 与过焦点的一条直线相交于A，B两点，若弦 的中点M的横坐标为 ，则弦
的长
5．已知抛物线 的顶点为坐标原点，准线为 ，直线 与抛物线 交于 两点，若线段 的中点
为 ，则直线 的方程为 ．
6．已知抛物线 ，过 的直线 交抛物线 于 两点，且 ，则直线 的方程为
.
7．（多选题）已知倾斜角为 的直线 经过抛物线 ： ( )的焦点 ，且与抛物线 交于 ，
两点(点 在第一象限)，与抛物线 的准线 交于点 ，则（ ）
A．以 为直径的圆与 轴相切
B．准线 上存在唯一点 ，使得
C．
D．8.（多选题）已知抛物线C： 的焦点为F，过F作直线l与抛物线C交于A、B两点，分别
以A、B为切点作抛物线C的切线，两切线交于点T，设线段 的中点为M．若点T的坐标为 ，
则（ ）
A．点M的横坐标为2 B．点M的纵坐标为3
C．直线l的斜率等于2 D．
