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专题20 椭圆
【练基础】
一、 单选题
1．（2023·内蒙古赤峰·统考模拟预测）设 、 为椭圆 的两个焦点，M为C上一点．若
为等腰三角形，则 的内切圆半径为（ ）
A． 或 B． 或
C． 或 D． 或
【答案】D
【分析】讨论M点的位置，结合椭圆的几何性质求出 的面积，利用 （r为三角形内切圆半径，
l为三角形周长），即可求得答案.
【详解】由题意知椭圆 ，则其长半轴 ，短半轴 ，焦距 ，
当M点位于椭圆的短轴端点时，不妨设为A点，
此时 的面积为 ，
设 内切圆半径为r,则 ,
即 ；( 三角形内切圆半径公式的推导：
)
当M点不在椭圆短轴端点时，根据椭圆的对称性，不妨假设在第一象限内，
此时 ,此时 ，由 为等腰三角形，
可知 ,则 ，
的面积为 ，
则 ,即 ，
综合可得 的内切圆半径为 或 ，
故选：D
2．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 ： 的右焦点和上顶点分别为 ，且焦距等于
4， 的延长线交椭圆于点 ， ，则椭圆 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意得出直线 的方程，联立方程组，利用韦达定理求出点 的横坐标，再结合 即可求
出 的值，进而求出椭圆的离心率.
【详解】由题意可知： ， ，则直线 的方程为： ，设 ，将直线方程与椭圆方程联立 ，整理化简可得：
，则 ，
又因为 ，所以 ，
则有 ，解得： ，所以 ，又 ，
所以椭圆 的离心率为 ，
故选： .
3．（2023·全国·深圳中学校联考模拟预测）已知一个离心率为 ，长轴长为4的椭圆，其两个焦点为 ， ，在
椭圆上存在一个点P，使得 ，设 的内切圆半径为r，则r的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】在 中，利用余弦定理求得 ，再由
求解.
【详解】解：因为椭圆的离心率为 ，长轴长为4，
所以 ，
在 中，由余弦定理得： ，
，
解得 ，
所以 ，，
解得 ，
故选：D
4．（2022·四川雅安·统考一模）已知椭圆C： 的左焦点为 ，直线 与C交于点
M，N.若 ， ，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由椭圆的对称性可知：四边形 为平行四边形，结合椭圆的定义并在 中利用余弦定理求出
关于 的值，进而可求出离心率.
【详解】设椭圆C的右焦点为 ，如图，连接 ，
因为 为 的中点，所以四边形 为平行四边形，
所以 ， ，由椭圆的定义可得： ，
又因为 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
在 中，由余弦定理可得： ，也即 ，因为 ，所以 ，所以椭圆的离心率 ，
故选： .
5．（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）已知椭圆C： 的左、右焦点分别为 (-c，0)，
(c，0)，若椭圆C上存在一点M使得 的内切圆半径为 ，则椭圆C的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用 的面积相等，得到 ，得到 ，消去b，整理化简求出离心率的取值范围.
【详解】 的面积为 .
因为 的内切圆半径为 ，所以 的面积可表示为 .
所以 ，所以 .
因为 ，所以 .
两边平方得： ，
而 ，所以 ，整理得： ,
因为离心率 ，所以 ，解得： .
故选：A.
6．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）画法几何创始人蒙日发现：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在
一个与椭圆同心的圆上，且圆半径的平方等于长半轴､短半轴的平方和，此圆被命名为该椭圆的蒙日圆.若椭圆
的蒙日圆为 ，则该椭圆的离心率为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题可得 ，然后利用离心率公式即得.
【详解】由题可得 ，
∴ ，即椭圆为 ，
∴ .
故选：A.
7．（2023秋·广东广州·高三广州市第七中学校考阶段练习）已知椭圆 的左、右焦点分别为
， ，上顶点为 ，直线 与 的另一个交点为 ．若 ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由 求出B点坐标，代入椭圆方程，可求得离心率.
【详解】左、右焦点分别为 ， ，上顶点为 ，∴ ，设 ，则 ，
由 ，根据勾股定理，有 ，即
解得 ，即 ，由 ， ， ， ， 三点共线，
∴ ，代入椭圆方程，有 ，化简得 ，
所以椭圆离心率为 .
故选：B
8．（2022·湖南永州·统考一模）已知椭圆 分别为其左､右焦点，过 作直线 轴交椭
圆 于 两点，将椭圆所在的平面沿 轴折成一个锐二面角，设其大小为 ，翻折后 两点的对应点分别为
，记 .若 ，则椭圆 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出 ，且 ，在 中分别使用余弦定理得
到 ，利用题干条件化简得到 ，求出 ，从而求出离心率.
【详解】将 代入 中，解得： ，
所以 ，且 ，
则在 中分别由余弦定理得，
，
所以
又由 得： ，所以 ，即 ，所以 ，即离心率为 .
故选：A.
二、多选题
9．（2023·福建福州·统考二模）已知曲线 （ ）
A．若 ，则C是椭圆
B．若 ，则C是双曲线
C．当C是椭圆时，若 越大，则C越接近于圆
D．当C是双曲线时，若 越小，则C的张口越大
【答案】BD
【分析】对于AC，举反例即可判断；对于B，判断 的符号即可；对于D，由曲线是双曲线，可得
，整理成标准方程，得到对应的 ，即可判断.
【详解】对于A， 满足 ，
代入曲线 中，得 ，即 ，
表示以 为圆心，半径为2的圆，故A错误；
对于B，当 时， ，
所以 ，故C是双曲线，故B正确；
对于C，当 时，方程为 ，
为焦点在 轴上，长轴长为4，短轴长为 ，焦距为 的椭圆，离心率为 ，当 时，方程为 ，
为焦点在 轴上，长轴长为 ，短轴长为 ，焦距为 的椭圆，离心率为 ，
所以当 和 时，两个椭圆一样圆，故C错误；
对于D，当曲线 为双曲线时， ，
整理成 ，则 ，
当 越小，则 越大，因为顶点不变，此时焦点离顶点越远，图象的张口就越大，故D正确.
故选：BD.
10．（2023·全国·模拟预测）已知 , 分别为椭圆 的左、右焦点,过 的直线与C交于A,B
两点,若 , ,则（ ）
A．
B．椭圆C的离心率为
C．若椭圆C的短轴长为2,则椭圆C的方程为
D．直线 的斜率的绝对值为
【答案】AC
【分析】设出 ,根据等式关系,分别求出 ,再根椭圆定义即可得 ,将
中各个边长用 表示,可发现 是直角三角形,根据直角三角形中正切值的计算公式即可判断选项A正误;根据
,在 中,由勾股定理即可得离心率,判断选项B正误;根据离心率及短轴长为2,即可得选项C正误;直线 的斜率即为 ,根据离心率可找到 ,在 中,由余弦定理可得 ,进而
可得 ,从而判断选项D正误.
【详解】解:由题知 , ,
不妨设 ,则 ,即 ,
由椭圆的定义可知: ,
所以 ,
因为 ,即 ,解得 ,
所以 ,显然 ,
所以 是以 为直角的直角三角形,所以 ,故选项A正确;
因为 且 ,
所以在 中,由勾股定理知: ,
解得 ,故离心率 ,故选项B错误;
由于 ,因为 ,可得 ,
故椭圆方程为: ,故选项C正确;
根据对顶角相等可知 等于直线 的倾斜角,
由于 , ,所以 ,
在 中, 所以由余弦定理可得:,
所以 ,所以选项D错误.
故选:AC
11．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，点 在椭圆上且在 轴上方，
若 的中点 在以原点 为圆心， 为半径的圆上，则（ ）
A．点 在第一象限 B． 的面积为
C． 的斜率为 D．直线 和圆 相切
【答案】BCD
【分析】对于A，设椭圆的上顶点为 ， ，即可解决；对于B，求得 为等腰三角形即可解决；
对于C，由 ，即可解决；对于D，过 作 于 ，求得 即可解决；
【详解】由题知，椭圆 ，焦点在 轴上， ，
所以 ， ，
所以 ，
所以 ，故B正确；
因为 的中点为 ，
所以 ，过 作 于 ， ，故D正确；
因为 ，所以 为 中点， ，故C正确；
设椭圆的上顶点为 ， ，
所以点 在第二象限，故A错误；
故选：BCD
12．（2023·全国·唐山市第十一中学校考模拟预测）已知 为椭圆 的左、右焦点, 为平面
上一点,若 ,则（ ）
A．当 为 上一点时, 的面积为9
B．当 为 上一点时, 的值可以为
C．当满足条件的点 均在 内部时,则 的离心率小于
D．当点 在 的外部时,在 上必存在点 ,使得
【答案】ACD
【分析】设 ,根据椭圆定义得 ,根据 得 ,两式联立可得 ,根
据直角三角形的面积公式即可得选项A的正误;将以上结论代入 中可求得 与 矛盾,由于
,所以点 在以 为直径的圆上,半径为 ,若点 均在 内部,只需 ,解出离心率范围即可,若点 在外部,只需 ,此时该圆与椭圆一定有交点,在交点处满足 ,可得选项D正误.
【详解】解:由题知 ,所以 ,
因为 为 上一点,且 ,
所以 为直角三角形,
设 ,
在 中,由勾股定理可得 ①,
由椭圆定义可知: ②,
②式的平方减①式可得:
,
所以 ,
故选项A正确;
若 ,因为 ,
所以 ,
解得 (舍),
故不存在,即选项B错误;
因为 ,则点 在以 为直径的圆上,
所以该圆的圆心为原点,半径为 ,
若 均在 内部时,则只需 即可,
即 ,即 ,
化简可得 ,解得 ,故选项C正确;
由于点 在以 为直径的圆上,
且半径 ,
当 在 的外部时有 ,
所以该圆与椭圆一定有交点,
记交点为 ,则该点既在圆上又在椭圆上,
所以有 成立,
故选项D正确.
故选:ACD
三、填空题
13．（2023·宁夏银川·校联考一模）椭圆 ： 的左，右焦点分别为 ， ，上顶点为 ，
离心率为 ，直线 将 分成面积相等的两部分，则 的取值范围是_________.
【答案】
【分析】根据已知条件求得 ，根据直线 与 轴的交点的位置进行分类讨论，由此列不等式来
求得 的取值范围.
【详解】依题意， ，解得 ，
所以椭圆 的方程为 ，
由于 ， ，
所以 是等腰直角三角形，
所以 ，直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，
设直线 与 的交点为 ，与 轴的交点为 ，
①当 与 重合时， ，则 ，
所以 ，解得 .
②当 在 之间时， ，
所以 ，
由 解得 ， ，
由 令 ，得 ，
所以 ，所以 ，
整理得 ，由 解得 .
③当 在 左侧，则 ， ，
设直线 与 的交点为 ，
由 解得 ，
因为 ，所以 ，
，所以 ，
所以 ，
所以 .
综上所述， 的取值范围是 .
故答案为：
【点睛】求解椭圆的方程，关键点是根据已知条件求得 ， 是 个未知数，需要 个条件，其中一个条件
是 ，另外的两个条件由题目给出，如本题中的 点坐标以及离心率，通过解方程组可求得 ，进而
求得椭圆的方程.
14．（2023·安徽·统考一模）已知直线 与椭圆 交于 两点，线段 中点 在直线
上，且线段 的垂直平分线交 轴于点 ，则椭圆 的离心率是__________.
【答案】
【分析】利用点差法证明二级结论 ，再结合 ，则两式相比可得 ，即，代入 即可求出离心率.
【详解】设 ，其中 ，显然点 在椭圆内，
记坐标原点为 ，直线 的斜率分别为 ，易知三条直线斜率均存在，
又 ，两式相减整理可得 ，
即 ，又 ，所以两式相比可得 ，
即 ，代入 ，整理可得 ，
所以离心率 .
故答案为： .
15．（2023·四川·校联考模拟预测） 为椭圆 上一点，曲线 与坐标轴的交点为 ， ， ，
，若 ，则 到 轴的距离为__________.
【答案】
【分析】首先表示出 ， ， ， 的坐标，依题意可得 ，即可得到 为椭圆 上一点，
联立两椭圆方程，求出 ，即可得解.【详解】解：不妨设 ， ， ， ，
则 ， 为椭圆 的焦点，所以 ，
又 ，所以 ，
且 ，所以 在以 、 为焦点的椭圆上，且 ，所以 ，
所以 为椭圆 上一点，
由 ，解得 ，则 ，
故 到 轴的距离为 .
故答案为：
16．（2023·陕西西安·统考一模）在生活中，可以利用如下图工具绘制椭圆，已知O是滑杆上的一个定点，D可以
在滑杆上自由移动，线段 ，点E满足 ，则点E所形成的椭圆的离心率为____________．
【答案】 ##
【分析】根据给定条件，建立直角坐标系，结合几何关系求出椭圆方程即可求解作答.
【详解】由 ， 得 ，以点O为原点，直线OD为x轴建立平面直角坐标系，如图，过E作 于C，交OA的延长线于P，过A作 于B，有 轴，
而 ，即 ，则点B是 的中点，且有 ，
因此 ，即 ，设 ，有 ，
于是 ，整理得点E的轨迹方程为 ，该椭圆长半轴长 ，短半轴长 ，
所以点E所形成的椭圆的离心率 .
故答案为：
【点睛】思路点睛：求解轨迹方程问题，设出动点坐标，根据条件求列出方程，再化简整理求解，还应特别注意：
补上在轨迹上而坐标不是方程解的点，剔出不在轨迹上而坐标是方程解的点.
四、解答题
17．（2023·内蒙古呼和浩特·统考一模）已知椭圆 的一个焦点为 ，且椭圆经过点
．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设A、B是x轴上的两个动点，且 ，直线AM、BM分别交椭圆于点P、Q（均不同于M），证明：
直线PQ的斜率为定值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）将 代入椭圆的方程，化简求值即可.（2）联立直线PQ和椭圆的方程，然后将 转化为 ，化简即可得到直线PQ的斜率为定值.
【详解】（1））由已知 ，得 ①，
设椭圆方程 ，代入点 得 ②，联立①②，
解得 ， ，所以椭圆方程为 ．
（2）由题可知直线PQ斜率存在，设直线PQ的方程为 ．
设点 ， ，
联立 得， ，满足 时，
有 ， ，
由 可得 ，
即 ，即 ，
化简得 ，
代入韦达定理，可得 ，
又点 不在直线PQ上，因此 ，
所以 ，即 ，故直线PQ的斜率为定值 ．
18．（2023·河南·统考模拟预测）已知椭圆 的右焦点 ，点 在椭圆 上．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)过点 的直线 与椭圆 交于 ， 两点．若 ， ，求 的最小值（ 是坐标
原点）．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据椭圆定义求出 ，再由焦点得 ，即可得解；
（2）设出点的坐标，利用向量得坐标间关系，代入点差法所得等式，可求出 ，即 是直线
上动点，再由点到直线距离求最小值即可.
【详解】（1）由题意，椭圆的焦点为 ， ，
由椭圆定义知
所以
所以椭圆的标准方程为
（2）由题意知 ，设
由 ， ，得 且
又 ， 都在椭圆上，所以
两式作差，得
把 代入 式，得
又由 ，得
所以所以 到直线 的距离
经检验，此时垂足 在椭圆内部.
所以 的最小值为 .
【提能力】
一、单选题
19．（2022·四川遂宁·四川省遂宁市第二中学校校考模拟预测）已知抛物线C ： 与椭圆C ：
1 2
共焦点，C 与C 在第一象限内交于P点，椭圆的左右焦点分别为 ，且 ，则椭
1 2
圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据 得到 ，然后将点 代入抛物线方程得到 ，根据共焦点得到 ，最
后联立求离心率即可.
【详解】结合抛物线及椭圆的定义可得 在抛物线上，故 ，且 ，
∴ .
故选：B.
20．（2022秋·河北保定·高三河北省唐县第一中学校联考期中）若 ，椭圆C： 与椭圆D：的离心率分别为 ， ，则（ ）
A． 的最小值为 B． 的最小值为
C． 的最大值为 D． 的最大值为
【答案】D
【分析】根据 ，求得两个椭圆的离心率，然后利用基本不等式求解.
【详解】解：因为 ，
所以 ， ，
所以 ，
当且仅当 时，等号成立，
故 的最大值为 ， 无最小值．
故选：D
21．（2022·河北·模拟预测）设 ､ 分别是椭圆 的左､右焦点， 为椭圆上的一点，若
的最大值为 ，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】结合椭圆的定义和均值不等式得到当且仅当 时等号成立，进而根据 可得
，从而结合离心率的范围即可求出结果.【详解】根据题意可知 ，
当且仅当 时等号成立，所以
，即 ，所以 ，即 ，
故选：A．
22．（2022·全国·清华附中朝阳学校校考模拟预测）已知椭圆和双曲线有相同的焦点 、 ，它们的离心率分别
为 、 ，点 为它们的一个交点，且 ，则 的范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】设椭圆的长半轴长为 ，双曲线的实半轴长 ，焦距 ．结合椭圆与双曲线的定义,得 ，
,在 中,根据余弦定理可得到 ， ，与 的关系式，进而可得 ，设
则有 ，所以 ，构造函数 ,利用导数求出函数的值域即可.
【详解】解：设椭圆的长半轴长为 ，双曲线的实半轴长 ，焦距 ，点 为第一象限交点．
则 ， ，
解得 ， ，
如图：在 中,根据余弦定理可得：
，
整理得 ，即 ，
设 则有 ， ，
所以 ，即有 ，所以 ，
所以 = = = ，
设 ,
则 ,
令 ，得 ，
所以 在 上恒成立,
所以 在 上单调递减，
当 趋于 时， 趋于 ，当 趋于1时， 趋于2，
所以 ，
即： .故选：C.
23．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆 ，直线 与椭圆C交于A，B两点，O为原
点，若三角形AOB是等腰直角三角形，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将 代入C中，求得AB坐标，利用三角形AOB是等腰直角三角形，求得a，b的关系，从而求得离
心率.
【详解】将 代入C中，得 ， ，由题意得 ，
即 ， ．
故选：D.
24．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆 的右焦点为 ， 点 是椭
圆上三个不同的点， 则 “ 成等差数列” 是 “ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】利用焦半径公式结合充分条件、必要条件的定义可得正确的选项.
【详解】由题设有 ，
故
，
而 ，故 ，同理 ， ，若 成等差数列，则 ，故 ，
若 ，则 即 ，
故 成等差数列，
故“ 成等差数列” 是 “ ”的充要条件，
故选：C
25．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆 及圆O： ，如图，过点 与椭圆
相切的直线l交圆O于点A，若 ，则椭圆离心率的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由条件列出 的齐次方程，由此可求椭圆离心率的值.
【详解】由题意得 是等边三角形，则直线 的倾斜角为 ，其斜率为 ，故直线 的方程为 ，
代入椭圆方程整理得 ，其判别式 ，化简可得，则 ，又 ，所以 ，
故选：A.
26．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，经过 的直线交椭
圆于 ， ， 的内切圆的圆心为 ，若 ，则该椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】对 变形得到 ，进而得到以 ，结合椭圆定义
可求出 ， ， ，由余弦定理求解 关系式，求出离心率.
【详解】因为 ，所以 ，
如图，在 上取一点M，使得 ，连接 ，则 ，
则点I为AM上靠近点M的三等分点，所以 ，
所以 ，
设 ，则 ，
由椭圆定义可知： ，即 ，所以 ，
所以 ， ，
故点A与上顶点重合，
在 中，由余弦定理得：
，在 中， ，
解得： ，
所以椭圆离心率为 .
故选：A
【点睛】对于求解圆锥曲线离心率问题，要结合题目中的条件，直接求出离心率或求出 的齐次方程，解出离
心率，本题的难点在于如何将 进行转化，需要作出辅助线，结合内心的性质得到三角形 三
边关系，求出离心率.
二、多选题
27．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆 的焦点分别为 ， ，焦距为2c，过 的直
线与椭圆C交于A，B两点. ， ，若 的周长为20，则经过点 的直
线（ ）
A．与椭圆C可能相交 B．与椭圆C可能相切
C．与椭圆C可能相离 D．与椭圆C不可能相切
【答案】AB【分析】利用给定条件，结合椭圆定义求出椭圆方程，再判断点 与椭圆的位置关系作答.
【详解】由椭圆的定义知 ， ，设 ，则 ，
则 ， ，而 ，即有 ，解得 ，
又 的周长为20，则有 ，解得 ， ，
因为 ，即 ，解得 ，则 ，
椭圆C的方程为 ，显然 ，即点 在椭圆上，
所以经过点 的直线与椭圆C相交或相切.
故选：AB
28．（2023春·重庆万州·高三重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）第24届冬季奥林匹克运动会圆满结束.根据
规划，国家体育场（鸟巢）成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆.国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内
外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若椭圆 ： 和椭圆 ： 的离
心率相同，且 .则下列正确的是（ ）
A．
B．
C．如果两个椭圆 ， 分别是同一个矩形（此矩形的两组对边分别与两坐标轴平行）的内切椭圆（即矩形的四条边与椭圆 均有且仅有一个交点）和外接椭圆，则
D．由外层椭圆 的左顶点 向内层椭圆 分别作两条切线（与椭圆有且仅有一个交点的直线叫椭圆的切线）与
交于两点 ， 的右顶点为 ，若直线 与 的斜率之积为 ，则椭圆 的离心率为 .
【答案】BCD
【分析】由离心率相同及已知得到 、 ，即可判断A、B；由 在椭圆 上得到
，进而判断C；根据对称性确定 的坐标，结合斜率两点式得 判断D.
【详解】A：由 且 ，则 ，即 ，故错误；
B：由 ，得 ，则 ，所以 ，故正确；
C： 满足椭圆 方程 ，又 ，则 ，所以 ， ，故正确；
D：由对称性知： 、 关于 轴对称， ， ， ， ， ，
，则 ， ，故正确.
故选：BCD.
29．（2022·全国·高三专题练习）椭圆 : 的左、右焦点分别为 ，点 在椭圆 上，点 在以
为圆心， 的长轴长为直径的圆上，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆 的离心率为B． 的最大值为
C．过点 的直线与椭圆 只有一个公共点，此时直线方程为
D． 的最小值为
【答案】BD
【分析】利用椭圆标准方程直接求离心率即可判断A；根据椭圆定义以及基本不等式即可判
断B；直接考虑直线斜率不存在的情况即可判断C；利用椭圆的定义将 转化成
，进而根据几何关系求其最值即可判断D.
【详解】对于选项 ，由椭圆 的方程知 ，
所以离心率 ，故选项 不正确；
对于选项B， 由椭圆的定义可得 ，
所以 ，
即当且仅当 时， 的最大值为 ，故选项B正确；
对于选项C， 当直线的斜率不存在时，所求直线为 ，满足条件，故选项C错误；
对于选项D， 圆 ： ，
所以 ，
故选项D正确；
故选：BD.
30．（2022·山东临沂·统考二模）如图，已知椭圆 ， ， 分别为左、右顶点， ， 分
别为上、下顶点， ， 分别为左、右焦点，点P在椭圆C上，则下列条件中能使C的离心率为 的是
（ ）A．
B．
C． 轴，且
D．四边形 的内切圆过焦点 ，
【答案】ABD
【分析】由椭圆方程依次写出顶点及焦点坐标，A选项直接计算即可判断；B选项由 即可判断；C选
项由 即可判断；D选项由 即可判断.
【详解】由题意知： ，设椭圆离心率为 ，
对于A， ，
即 ，同除 整理得 ，解得 ，又 ，故 ，A正确；
对于B， ，即 ，即 ，即 ，由上知，B正确；
对于C， 轴，由 ，解得 ，故 ， ，即 ，
即 ，解得 ，则 ，故离心率 ，C错误；对于D，易得内切圆半径为 斜边上的高，即 ，若内切圆过焦点 ， ，则 ，
整理得 ，同除 得 ，解得 ，又 ，则
，
故 ，D正确.
故选：ABD.
三、填空题(共0分)
31．（2023·上海·统考模拟预测）已知椭圆 与双曲线 有公共的焦点， 为右焦点，
为坐标原点，双曲线的一条渐近线交椭圆于 点，且点 在第一象限，若 ，则椭圆的离心率等于
_________.
【答案】
【分析】（1）联立直线方程 和 ，求得点 的坐标，然后将点 代入椭圆方程 ，化简整理，
即可求得本题答案.
【详解】设椭圆的右焦点为 ，依题意可得 ，
双曲线 的一条渐近线为 ，
因为 ，所以 ，
由 ，解得 ，即 ，又点 在椭圆上，所以 ，即 ，
即 ，即 ，即 ，
即 ，即 ，
即 ，即 ，
即 ，解得 或 （舍去），
所以椭圆方程为 ，则 ，所以椭圆的离心率 .
故答案为：
32．（2023·湖北·宜昌市一中校联考模拟预测）设椭圆 的离心率 ，C的左右焦点分别
为 ，点A在椭圆C上满足 ． 的角平分线交椭圆于另一点B，交y轴于点D．已知
，则 _______．
【答案】
【分析】根据题意，作图，计算得 ， ，再设角平分线交x轴于 ，根据角平分线的
性质，得到 ，进而得到直线 的方程，再得到 点，利用 ，得到 点，然后利用点差法，通
过计算化简，可得答案.【详解】
由点A在椭圆C上，且 ，设点 ，且 ， ，
则
，
同理 ，
设角平分线交x轴于 ，根据角平分线的性质，可知
，
，
，解得， ，得 ．
可得直线 ．进而可得 ，
由 ，可得 ，
设 中点为M，则 ． ，
点差法的结论，证明如下：
设 ， ， ， 为 中点，故 ，两式作差得， ，
又由 ， ，可整理得， ，
最后化简得， ，
进而得到， ，
得 ．
因为 ，所以 ，
联立 ，解得 ，
所以 ，故 ，解得 ．
故答案为： ．
33．（2023·江苏南京·校考一模）已知椭圆 的两个焦点为 和 ，直线l过点 ，点
关于l的对称点A在C上，且 ，则C的方程为__________．
【答案】
【分析】根据向量的线性运算和数量积的性质化简 ，由条件结合椭圆的定义可求 ，由
求 ，可得椭圆方程.
【详解】因为A与 关于直线l对称，所以直线l为 的垂直平分线，又 ，
所以 ，由椭圆的定义可得 ，
设直线l与 交于点M，则M为 的中点，且 ，
所以
，
解得 或1（舍去），所以 ， ，
则C的方程为： ．
故答案为： ．
34．（2023春·湖南岳阳·高三湖南省岳阳县第一中学校考阶段练习）已知椭圆 的右焦点为
，过坐标原点 的直线 与椭圆 交于A，B两点.在 中， ，且满足 ，则椭圆 的
离心率 的取值范围为______.
【答案】.【分析】引入椭圆的另一个焦点 ，根据椭圆的对称性，将 转化为焦点三角形的面积问题进行处理即可.
【详解】取椭圆的左焦点 ，连接 ，根据椭圆的对称性： ，
于是四边形 为平行四边形，由 ，故 ，记 ，
根据椭圆定义， ，在 中，根据余弦定理： ，
即 ，对 两边平方， ，故 ，
显然 ，根据三角形的面积公式： ，由 ，
即 ，不等式两边同时除以 ，整理得到 ，
结合椭圆离心率范围解得 ；
另一方面，由余弦定理结合基本不等式： ，解得
.
于是， .故答案为：
四、解答题(共0分)
35．（2023·河南焦作·统考模拟预测）已知 是椭圆 的右焦点，且 在椭圆 上，
垂直于 轴.
(1)求椭圆 的方程.
(2)过点 的直线 交椭圆 于 （异于点 ）两点， 为直线 上一点.设直线 的斜率分别为 ，
若 ，证明：点 的横坐标为定值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据点 的坐标以及 垂直于 轴，可得 ，再将点 的坐标代入椭圆方程在结合椭圆
的关系解出 ，即可得出椭圆 的方程；
（2）设 ，根据已知设出直线 的方程为 ，则设点 的坐标为 ，将直
线 的方程与椭圆 的方程联立，根据韦达定理得出 与 ，根据斜率的两点公式得出，再根据直线 的方程消去式子中的 与 ，再结合韦达定理结果即可得出
，再结合已知与斜率的两点公式即可解出 ，即证明.
【详解】（1）由 垂直于 轴，可得 .
将点 代入 ，可得 ，
又 ，
解得 ，
所以椭圆 的方程为 ；
（2）证明：由（1）知， ，则椭圆 的右焦点坐标为 .
设直线 的方程为 ，点 的坐标为 .
设 ，
将直线 的方程与椭圆 的方程联立得： ，
恒成立，
由韦达定理知 ， ，
又 ， ，
所以
.
因为 ，则 ，所以 ，解得 ，即点 的横坐标为定值.
36．（2023·陕西商洛·统考一模）已知 分别是椭圆 的左､右焦点，Q是椭圆E的右顶点，
，且椭圆E的离心率为 .
(1)求椭圆E的方程.
(2)过 的直线交椭圆E于A，B两点，在x轴上是否存在一定点P，使得 ， 为正实数.如果存
在，求出点P的坐标；如果不存在，说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，点
【分析】（1）设椭圆E的半焦距为c，写出 点坐标，根据条件计算 的值，结合 求出 ，可写
出椭圆方程；（2）由条件可知 是 的平分线，即 ，设出直线AB的方程，联立椭圆和直线方程，
计算 可求出点 坐标.
【详解】（1）（1）设椭圆E的半焦距为c，则 ，因为 ，
所以 .
又因为椭圆E的离心率为 ，所以 ，联立方程组 ，解得
所以 ，
椭圆E的方程为 .
（2）设存在点 ，使得 ，则 是 的平分线，
所以 .显然当 时一定成立.
当 时，设AB的方程为 ，与椭圆E的方程 联立消去x，得 .
设 ，则 ， .
因为 ，所以 ，
即 ，所以 ，
所以 ，
即 ，即 ，所以 对一切实数m都成立.
故存在点 ，使得 成立.
37．（2023·辽宁·校联考一模）已知椭圆 离心率为 ，经过 的左焦点 斜率为1的直
线与 轴正半轴相交于点 ，且 .
(1)求 的方程；
(2)设M，N是 上异于 的两点，若 ，求 面积的最大值.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据椭圆离心率和直线 斜率即可求出 ，则得到 值，即得到椭圆方程；
（2）设直线 ，联立椭圆方程得 ，得到韦达定理式，再利用
得到直线过定点 ，从而得到 ，通过换元和导数即可求出面积最值.
【详解】（1）由已知 ，可得 ， .可得 ，
因为 斜率为1，所以 ，
因为 ，所以 ，则 ，则 ，
于是 的方程为 ；
（2）由（1）知 ，因为 ，所以 不垂直于 轴.
设直线 ，代入 得 .
当 时，
设 ， ，则 ， ①
因为 ，所以 ，而
即 ，根据 ， ，
故 ，可得
.
将①代入上式可得 .因为 ，整理得 ，则 ，解得 ，
直线 经过定点 ， .
因为 ，
所以 面积 .
设 ，则 ，则 ， ，
设 ， ，当 时， ，则 ，
所以当 ，即 时， 面积取最大值 .
【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是采用设线法，设直线 ，联立椭圆方程得到韦达定理
式，利用 ，即 ，得到 ，再将韦达定理式整体代入化
简得 ，从而得到直线 经过定点 ，再求出面积表达式 ，利用换元法和导数即可求
出面积最值.
38．（2023·河南·统考模拟预测）设椭圆 ： 的右焦点恰好是抛物线 的焦点，椭圆
的离心率和双曲线 的离心率互为倒数.
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)设椭圆E的左、右顶点分别为A，B，过定点 的直线与椭圆E交于C，D两点（与点A，B不重合）.证
明：直线AC，BD的交点的横坐标为定值.【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）直接求出抛物线焦点坐标得到 值，再结合双曲线离心率即可求出椭圆的离心率，则可求出椭圆方
程；
（2）设过点 的直线为 ， ，联立椭圆方程得到韦达定理式，写出直线 ,
的方程，联立直线方程解出交点横坐标，将 以及韦达定理式代入化简计算为定值.
【详解】（1）因为抛物线 的焦点为 ,所以椭圆的半焦距 .
又因为双曲线的离心率是 ,所以椭圆的离心率 ，
从而 ,
所以椭圆 的标准方程为 .
（2）由（1）可得 .
若过点 的直线方程为 时，此时与椭圆交点为 点，不合题意，
故可设过点 的直线为 ,设 ，
联立 ，整理得 .
则 ， ， ，
则直线AC的斜率 ，直线BD的斜率
则直线 的方程为 ，直线 的方程为 ,联立两条直线方程,解得 ，
将 代人上式，得 ，
将 代人,得 ，
所以直线 , 的交点的横坐标为定值 .
