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解密18 空间向量在立体几何中的应用（角/距离）
【考点解密】
考点一：空间角的向量法解法
角的分类 向量求法 范围
两条异面直 设两异面直线 l，l 所成的角为θ，其方向向
1 2
线所成的角 量分别为u，v，则cos θ＝|cos〈u，v〉|＝
设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的
直线与平面
方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ
所成的角
＝|cos 〈u，n〉|＝
设平面α与平面β的夹角为θ，平面α，β的法
两个平面的
向量分别为n，n，则cos θ＝|cos 〈n，n〉|
1 2 1 2
夹角
＝
考点二：点P到直线 l 的距离
已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量AP在直线l上的投影向量为AQ＝
a，则点P到直线l的距离为 (如图)．
考点三：点P到平面α的距离
设平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离为(如图)．
【核心题型】
题型一：空间向量求线面角/面面角
1．（2023·湖南邵阳·统考二模）如图所示，在矩形 中， ， ， 平面 ，且 ，
点 为线段 （除端点外）上的动点，沿直线 将 翻折到 ，则下列说法中正确的是（ ）A．当点 固定在线段 的某位置时，点 的运动轨迹为球面
B．存在点 ，使 平面
C．点 到平面 的距离为
D．异面直线 与 所成角的余弦值的取值范围是
2．（2023春·湖北·高二校联考阶段练习）如图，在三棱柱 中， 是边长为 的等边三角形，
， ，平面 平面 ， 为线段 的中点．
(1)求证： ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值．
3．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）如图，在三棱锥 中， ， ，
，平面 平面 ，点 是线段 上的动点.(1)证明：平面 平面 ；
(2)若点 在线段 上， ，且异面直线 与 成30°角，求平面 和平面 夹角的余弦值.
题型二：空间向量求空间距离
4．（2023·宁夏银川·校联考一模）如图，圆锥SO的侧面展开图是半径为2的半圆，AB，CD为底面圆的两条直径，
P为SB的中点.
(1)求证： 平面PCD；
(2)当 体积最大时，求S到平面PCD的距离.
5．（2023·全国·校联考模拟预测）如图，在三棱锥 中，平面 平面ABC， ， ，
， ，D是棱PC的中点．(1)求证： ；
(2)若 ，求直线BC与平面ADB所成角的正弦值．
6．（2023秋·天津河北·高三统考期末）如图， 垂直于梯形 所在平面， ， 为
的中点， ， ，四边形 为矩形.
(1)求证： 平面 ；
(2)求平面 与平面 的夹角的大小；
(3)求点 到平面 的距离.
题型三：空间线段点存在问题
7．（2023·河南焦作·统考模拟预测）如图1，在 中， ， ， 为 的中点， 为 上
一点，且 .现将 沿 翻折到 ，如图2.(1)证明： .
(2)已知二面角 为 ，在棱 上是否存在点 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值为 ？若
存在，确定 的位置；若不存在，请说明理由.
8．（2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱柱 中，底面ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，
侧面 为菱形，点 在底面上的投影为AC的中点 ，且 ．
(1)求证： ；
(2)求点 到侧面 的距离；
(3)在线段 上是否存在点 ，使得直线DE与侧面 所成角的正弦值为 ？若存在，请求出 的长；若
不存在，请说明理由．
9．（2021·天津静海·静海一中校考二模）如图，在四棱锥 中，底面 为直角梯形，其中， 平面 ，且 ，点 在棱 上（不包括端点），点 为
中点.
(1)若 ，求证：直线 平面 ；
(2)求平面 与平面 的夹角的余弦值；
(3)是否存在点 ，使 与平面 所成角的正弦值为 ？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由.
【高考必刷】
一、单选题
10．（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）在正方体 中， 为 的中点， 为线段 上的
点，且 ，则（ ）
A．平面 平面 B．平面 平面
C． 四点共面 D． 与 所成角的余弦值为
11．（2023·全国·模拟预测）如图，已知圆柱 的轴截面 为矩形， ，P，Q分别为圆柱上、下
底面圆周上一点， ， ，则异面直线PQ与AB所成角的余弦值为（ ）A． B． C． D．
12．（2023·全国·模拟预测）如图，在直三棱柱ABC－ABC 中， ， ，直线AC 与平面
1 1 1 1
ABC 所成角的正弦值为 ，则异面直线BA 与BC所成角的余弦值为（ ）
1 1 1 1 1
A． B． C． D．
13．（2023·福建莆田·统考二模）在正方体 中，点M，N分别是 上的动点，当线段 的
长最小时，直线 与平面 所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
14．（2023·四川·校联考一模）在长方体 中，已知异面直线 与 ， 与AB所成角的大小
分别为 和 ，则直线 和平面 所成的角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
15．（2023·山东菏泽·统考一模）如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且 四个顶点在同一平面内，
下列结论：① 平面 ；②平面 平面 ；③ ；④平面 平面 ，正确命题的个
数为（ ）A．1 B．2 C．3 D．4
16．（2023春·云南昆明·高三校考阶段练习）如图，在棱长为1的正方体 中，P为棱 的中点，
Q为正方形 内一动点（含边界），则下列说法中不正确的是（ ）
A．若 平面 ，则动点Q的轨迹是一条线段
B．存在Q点，使得 平面
C．当且仅当Q点落在棱 上某点处时，三棱锥 的体积最大
D．若 ，那么Q点的轨迹长度为
17．（2023·甘肃兰州·校考模拟预测）在直三棱柱 中， ， ， ， ，
，分别是 ， ， 的中点，则下面说法中正确的有（ ）A． 平面
B．
C．直线 与平面 所成角的余弦值为
D．点 到平面 的距离为
18．（2022·陕西安康·统考一模）如图，在多面体 中，底面 为菱形， 平面
， ， ，点M在棱 上，且 ，平面 与平面 的夹角为 ，
则下列说法错误的是（ ）
A．平面 平面 B．
C．点M到平面 的距离为 D．多面体 的体积为
二、多选题
19．（2023春·全国·高三校联考阶段练习）在正方体 中，点P满足 ，则（ ）
A．若 ，则AP与BD所成角为 B．若 ，则
C． 平面 D．
20．（2023·河北石家庄·统考一模）已知正方体 的棱长为2，M，N分别是 ， 的中点，则
（ ）
A．
B．
C．平面 截此正方体所得截面的周长为
D．三棱锥 的体积为3
21．（2023·安徽·统考一模）在平行六面体 中，已知 ，
，则（ ）
A．直线 与 所成的角为
B．线段 的长度为C．直线 与 所成的角为
D．直线 与平面 所成角的正弦值为
22．（2023春·四川遂宁·高三校考阶段练习）如图，在平行六面体 中， 分别是 的中点，
以 为顶点的三条棱长都是 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 平面
B． 平面
C．
D． 与 夹角的余弦值为
三、填空题
23．（2022春·河南南阳·高三南阳中学校考阶段练习）如图，在四面体 中， ，
， ､ 分别是 ､ 的中点.若用一个与直线 垂直，且与四面体的每个面都相交的平面 去
截该四面体，由此得到一个多边形截面，则下面的说法中正确的有___________.① ，
②四面体外接球的表面积为 .
③异面直线 与 所成角的正弦值为
④多边形截面面积的最大值为 .
24．（2022·全国·高三专题练习）如图，在三棱柱 中， 平面 ， ，
， ， 分别是 ， 的中点.
（1）直线 与平面 所成角的正切值为___________；
（2）直线 到平面 的距离为___________；
（3）已知点 在棱 上，平面 与平面 所成二面角为60°则线段 的长为___________.
25．（2022秋·湖南怀化·高三校考阶段练习）如图，多面体ABCDEF中，面ABCD为正方形，DE⊥平面ABCD，
CF∥DE，且AB=DE=2，CF=1，G为棱BC的中点，H为棱DE上的动点，有下列结论：①当H为DE的中点时，GH∥平面ABE；
②存在点H，使得GH⊥AE；
③三棱锥B−GHF的体积为定值；
④三棱锥E−BCF的外接球的表面积为 ．
其中正确的结论序号为________．（填写所有正确结论的序号）
26．（2022·新疆·统考模拟预测）已知正方体 的棱长为1， 、 分别为棱 、 的中点，
为棱 上的动点， 为线段 的中点.则下列结论中正确序号为______.
① ；② 平面 ；③ 的余弦值的取值范围是 ；④△ 周长的最小值为
四、解答题
27．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考一模）如图，在四棱锥 中，底面ABCD是边长为2的菱形，
PAD为等边三角形，平面 平面ABCD， ．
△
(1)求点A到平面PBC的距离；
(2)E为线段PC上一点，若直线AE与平面ABCD所成的角的正弦值为 ，求平面ADE与平面ABCD夹角的余弦
值．28．（2023·重庆·统考二模）如图，在四棱锥 中，侧棱 矩形 ，且 ，过棱 的中点
，作 交 于点 ，连接
(1)证明： ；
(2)若 ，平面 与平面 所成二面角的大小为 ，求 的值．
