文档内容
专题 09 解三角形
【练基础】
一、单选题
1．（2023·四川内江·统考一模） 的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知 ， ，
，则 （ ）
A．4 B． C． D．
2．（2023·广西柳州·二模）在 中，内角 所对的边分别为 ，点 为 的中点， ， ，
且 的面积为 ，则 （ ）
A． B．1 C．2 D．3
3．（2023·河北·河北衡水中学校考模拟预测）如图是一款订书机，其内部结构可简化为如图模型.使用时将B下压，
E接触平台，D紧邻E，此时钝角 增大了（ ）（参考数据： ，
， .）
A． B． C． D．4．（2022秋·河南·高三洛阳市第一高级中学校联考阶段练习）已知 中，设角 、B、C所对的边分别为a、
b、c， 的面积为 ，若 ，则 的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
5．（2022·云南红河·校考模拟预测）在 中，角 的对边分别为 ， 的面积为
，则 （ ）
A． B． C． D．
6．（2022·四川·模拟预测）在 中，角 的对边分别为 ，已知三个向量 ，
共线，则 的形状为（ ）
A．等边三角形 B．钝角三角形
C．有一个角是 的直角三角形 D．等腰直角三角形
7．（2023·上海·高三专题练习）如图，在 中，已知 ，D是 边上的一点， ，
则 的长为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·安徽合肥·合肥市第八中学校考模拟预测）已知在 中， ．若 与
的内角平分线交于点 ， 的外接圆半径为 ，则 面积的最大值为（ ）A． B．
C． D．
二、多选题
9．（2022秋·广东肇庆·高三肇庆市第一中学校考阶段练习） 的内角A， ， 的对边分别为a，b，c，下列
说法正确的是 （ ）
A．若 ，则
B．若 ，则此三角形为等腰三角形
C．若 ， ， ，则解此三角形必有两解
D．若 是锐角三角形，则
10．（2022秋·福建福州·高三福建省福州延安中学校考阶段练习）如图所示， 中， ，
点M为线段AB中点，P为线段CM的中点，延长AP交边BC于点N，则下列结论正确的有（ ）．
A． B．
C． D． 与 夹角的余弦值为
11．（2022·吉林长春·长春市实验中学校考二模）锐角 的内角 的对边分别为 ，若 ，
则（ ）
A．
B． 的取值范围是
C．若 ，则
D． 的取值范围是
12．（2022·全国·模拟预测）在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ，，则以下四个命题中正确的是（ ）
A．
B． 面积的取值范围为
C．已知M是边BC的中点，则 的取值范围为
D．当 时， 的周长为
三、填空题
13．（2022·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）如图， 是等边三角形， 是等腰三角形，
交 于 ，则 __________.
14．（2022·云南·云南民族大学附属中学校考模拟预测）某景区为拓展旅游业务，拟建一个观景台 如图所示 ，
其中 ， 为两条公路， ， ， 为公路上的两个景点，测得 ， ，为了获
得最佳观景效果，要求 对的视角 现需要从观景台 到 ， 建造两条观光路线 ， ，且要
求观光路线最长.若建造观光路线的宽为 米，每平方造价为 元，则该景区预算需投入___万元可完成改造15．（2022秋·河北邯郸·高三校联考阶段练习）在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知 ，
，则 的最小值为______．
16．（2022·浙江·统考高考真题）我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法
称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是
，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积．设某三角形的三边
，则该三角形的面积 ___________．
四、解答题
17．（2023·浙江·统考一模）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ．
(1)若 ，求B；
(2)求 的取值范围．
18．（2023·四川内江·统考一模）已知函数 ， ．(1)已知 ，求 的值；
(2)已知 的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且 ，c＝3，若向量 与 垂
直，求 的周长．
19．（2023·安徽·校联考模拟预测）在 中，角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，且满足
．
(1)求 ；
(2)若 ， 是 边上的高，求 的最大值．
20．（2022·四川乐山·统考一模）设函数
(1)求函数 的最大值和最小正周期；
(2)在锐角 中，角 所对的边分别为 为 的面积.若 且 求
的最大值.
【提能力】
一、单选题
21．（2022·全国·高三专题练习）已知 中， ， ， ，
D是边BC上一点， .则 （ ）A． B． C． D．
22．（2022·河南·灵宝市第一高级中学校联考模拟预测）在 中， ，点 是边 的中点， 的
面积为 ，则线段 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
23．（2023·上海·高三专题练习）在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若
， ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
24．（2022·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）在锐角 中，角 所对的边分别为 ，若
，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
25．（2022·全国·高三专题练习）已知 是不共线向量，设 ， ， ， ，
若 的面积为3，则 的面积为（ ）
A．△8 B．△6 C．5 D．4
26．（2022·全国·高三专题练习）在 中， ，点 在边 上，且 ，设
，则当 取最大值时， （ ）
A． B．
C． D．27．（2022·江苏镇江·扬中市第二高级中学校考模拟预测）锐角 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ，
且 ， ，若 ， 变化时， 存在最大值，则正数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
28．（2023·全国·高三专题练习）设 的三个内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ．下列有关等边三角
形的四个命题中正确的是（ ）．
A．若 ，则 是等边三角形
B．若 ，则 是等边三角形
C．若 ，则 是等边三角形
D．若 ，则 是等边三角形
29．（2022秋·江苏扬州·高三校考阶段练习）在 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，面积为 ，有
以下四个命题中正确的是（ ）
A． 的最大值为
B．当 ， 时， 不可能是直角三角形
C．当 ， ， 时， 的周长为
D．当 ， ， 时，若 为 的内心，则 的面积为
30．（2022·全国·高三专题练习）中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即以
小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开
平方得积.把以上文字写成公式，即 （ 为三角形的面积， 、 、 为三角形的三边）.现有 满足 ，且 的面积 ，则下列结论正确的是（ ）
A． 的周长为 B． 的三个内角 、 、 成等差数列
C． 的外接圆半径为 D． 的中线 的长为
31．（2022秋·江苏苏州·高三校联考阶段练习）在△ 中，内角 所对的边分别为a、b、c，则下列说法
正确的是（ ）
A．
B．若 ，则
C．
D．若 ，且 ，则△ 为等边三角形
三、填空题
32．（2022秋·江西抚州·高三临川一中校考期中）在锐角 中，角 所对的边分别为 为 的面
积，且 ，则 的取值范围___________.
33．（2022秋·辽宁沈阳·高三校联考阶段练习）剪纸，又叫刻纸，是一种镂空艺术，是中国汉族最古老的民间艺
术之一．如图，纸片为一圆形，直径 ，需要剪去四边形 ，可以经过对折、沿 裁剪、展开
就可以得到．已知点 在圆上且 ．要使得镂空的四边形 面积最小， 的长应为_____ ．
34．（2022·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）在 中，角 ， ， 所对的边为 ， ， ，
若 ，且 的面积 ，则 的取值范围是___________.
35．（2022秋·福建龙岩·高三福建省长汀县第一中学校考阶段练习）锐角 中，角A，B，C所对边分别为a，
b，c，有 ，且 ，则 的取值范围为___________.
四、解答题
36．（2023·全国·高三专题练习）在锐角 中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知
．
(1)求角B的值；
(2)若 ，求 的周长的取值范围．
37．（2022秋·江苏泰州·高三江苏省泰兴中学校联考阶段练习） 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已
知
(1)求角A；
(2)若 为锐角三角形，且 的面积为S，求 的取值范围．
38．（2023·湖南衡阳·校考模拟预测）已知 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足
(1)求角C；
(2)CD是 的角平分线，若 ， 的面积为 ，求c的值.39．（2022·湖南·校联考模拟预测）在 中， 为 上一点， ．
(1)若D为 的中点，求 的面积的最大值；
(2)若 ，求 的面积的最小值．
