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培优点 5 平面向量“奔驰定理”
平面向量是高考的必考考点，它可以和函数、三角、数列、几何等知识相结合考查．平
面向量的“奔驰定理”，对于解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相
关的问题，更加有效快捷，有着决定性的基石作用．
考点一 平面向量“奔驰定理”
定理：如图，已知P为△ABC内一点，则有S ·PA＋S ·PB＋S ·PC＝0.
△PBC △PAC △PAB
例1 已知O是△ABC内部一点，满足OA＋2OB＋mOC＝0，且＝，则实数m等于( )
A．2 B．3 C．4 D．5
易错提醒 利用平面向量“奔驰定理”解题时，要严格按照定理的格式，注意定理中的点P
为△ABC内一点；定理中等式左边三个向量的系数不是三角形的面积，而是面积之比．
跟踪演练1 设点O在△ABC内部，且AO＝AB＋AC，则＝________.
考点二 “奔驰定理”和三角形的“四心”(四心在三角形
内部)
(1)O是△ABC的重心
⇔S
△BOC
∶S
△AOC
∶S
△AOB
＝1∶1∶1
⇔OA＋OB＋OC＝0.
(2)O是△ABC的内心
⇔S
△BOC
∶S
△AOC
∶S
△AOB
＝a∶b∶c
⇔aOA＋bOB＋cOC＝0.
(3)O是△ABC的外心
⇔S
△BOC
∶S
△AOC
∶S
△AOB
＝sin 2A∶sin 2B∶sin 2C
⇔sin 2A·OA＋sin 2B·OB＋sin 2C·OC＝0.(4)O是△ABC的垂心
⇔S
△BOC
∶S
△AOC
∶S
△AOB
＝tan A∶tan B∶tan C
⇔tan A·OA＋tan B·OB＋tan C·OC＝0.
考向1 “奔驰定理”与重心
例2 已知在△ABC中，G是重心，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且56aGA＋
40bGB＋35cGC＝0，则B＝________.
考向2 “奔驰定理”与外心
例3 已知点P是△ABC的外心，且PA＋PB＋λPC＝0，C＝，则λ＝________.
考向3 “奔驰定理”与内心
例4 在△ABC中，AB＝2，AC＝3，BC＝4，O为△ABC的内心，若AO＝λAB＋μBC，则3λ
＋6μ的值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
考向4 “奔驰定理”与垂心
例5 已知H是△ABC的垂心，若HA＋2HB＋3HC＝0，则A＝________.
规律方法 涉及三角形的四心问题时，内心和重心一定在三角形内部，而外心和垂心有可能
在三角形外部，上述定理及推论中的点都在三角形内部，解题时，要注意观察题目有无这一
条件．
跟踪演练2 (1)设I为△ABC的内心，且2IA＋3IB＋IC＝0，则角C＝________.
(2)设点P在△ABC内部且为△ABC的外心，∠BAC＝，如图．若△PBC，△PCA，△PAB的
面积分别为，x，y，则x＋y的最大值是______．
