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解密22 抛物线
【考点解密】
1．抛物线的概念
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直
线l叫做抛物线的准线．
2．抛物线的标准方程和几何性质
y2＝2px y2＝－2px x2＝2py x2＝－2py
标准
(p>0) (p>0) (p>0) (p>0)
方程
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形
顶点
O(0,0)
坐标
对称轴 x轴 y轴
焦点
F F F F
坐标
离心率 e＝1
准线
x＝－ x＝ y＝－ y＝
方程
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
开口
向右 向左 向上 向下
方向
焦半径 x＋ －x＋ y＋ －y＋
0 0 0 0
通径长 2p
【方法技巧】
求圆锥曲线中的有关三角形的面积时，常联立直线与曲线的方程，根据韦达定理求出弦长.然后根据点到直线的距
离公式，求出三角形的高，即可得出.【核心题型】
题型一：定义法求焦半径
1．（2023·山西晋中·统考二模）设F为抛物线C： 的焦点，点M在C上，点N在准线l上且MN平行于x
轴，若 ，则 （ ）
A． B．1 C． D．4
【答案】D
【分析】由抛物线方程可知焦点坐标及准线方程，设准线 与 轴交点为 ，画出图象，由抛物线定义及
可知 是正三角形，结合平行关系可判断 ，利用直角三角形性质即可求解.
【详解】由题可知， ，抛物线焦点F为 ，准线l为 ，设准线l与x轴的交点为E，如图所示，
由题知 ，由抛物线的定义可知 ，
因为 ，所以 是正三角形，则在 中，因为 ，
所以 ，所以 ．
故选：D
2．（2023·宁夏银川·六盘山高级中学校考一模）已知 为抛物线 上一点，点 到 的焦点的距
离为6，到 轴的距离为3，O为坐标原点，则 （ ）
A． B．6 C． D．9
【答案】C【分析】根据抛物线定义及题意求出 ，得出点A的坐标即可求解.
【详解】由已知及抛物线的定义可得 ，解得 ，
∴抛物线方程为 ，
，即 ，代入抛物线方程可得 ，
∴ ， .
故选：C
3．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线上，且 ，
若 的面积为 ，则 （ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】B
【分析】根据抛物线定义求得 点横坐标，代入抛物线方程得纵坐标，再利用三角形面积公式即可得 的值.
【详解】抛物线的焦点为 ，点 在抛物线上，由抛物线的定义可得 ，
，则 ，
，解得 或 （舍）.
故选：B.
题型二：定义法求焦点弦
4．（2021秋·陕西西安·高二统考期末）已知抛物线 的焦点为 ，过点 且斜率为 的直线 与
抛物线 交于A（点A在第二象限）， 两点，则 （ ）
A． B． C．4 D．5【答案】A
【分析】求出焦点坐标，设出直线方程，与抛物线方程联立，设 ，则 ， ，
从而利用焦半径公式和焦点弦公式求出 ，得到答案.
【详解】抛物线方程为 ，故焦点坐标为 ，则直线 方程为 ，
与 联立得： ，
即 ，
设 ，
则 ， ，
，
则 ， ，
所以 .
故选：A
5．（2023·全国·模拟预测）已知抛物线 的焦点为F，直线l过焦点F且与抛物线交于点
， ，与抛物线C的准线交于点Q，若 （O为坐标原点），
，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】将三角形面积间的数量关系转化为线段长之间的数量关系，求得有关线段的数量关系，并根据三角形相
似建立方程，解方程得到结果.
【详解】对于 OQN和 OFN，底边QN和FN上的高均为点O到直线l的距离，故由 可得
△ △，
如图，分别过点M，N作准线的垂线，垂足分别为点 ， ，
设 ，则 ， ，故 ．
因为 ，所以 ．
在直角三角形 中， ， ， ，所以 ，所以 ，解得
．
设抛物线的准线与x轴交于点 ，则 ，所以 ，
即 ，解得 ，
故选：B．
6．（2023秋·福建龙岩·高三校联考期末）抛物线 的焦点为 ，对称轴为 ，过 且与 的夹角为 的直线交 于
， 两点， 的中点为 ，线段 的中垂线 交 于点 ．若 的面积等于 ，则 等于（ ）
A． B．4 C．5 D．8
【答案】D
【分析】依题意不妨设抛物线为 ，不妨设直线 的倾斜角为 ，直线 ，设， ，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，即可求出 的坐标，从而求出直线 的
方程，则 的坐标可求，再根据三角形面积求出 ，最后根据焦半径公式计算可得.
【详解】解：依题意不妨设抛物线为 ，则 ，
根据对称性不妨设直线 的倾斜角为 ，则直线 ，
设 ， ，则 ，消去 整理得 ，
所以 ，则 ，
所以 ，则直线 的方程为 ，令 ，解得 ，即 ，
所以 ，解得 或 （舍去），
所以 ，则 ，
所以 .
故选：D
题型三：求距离的最值问题
7．（2023·湖南·模拟预测）希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点
A，B的距离之比为定值 （ ）的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，
简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系 中， ，若点P是满足 的阿氏圆上的任意一点，点Q
为抛物线 上的动点，Q在直线 上的射影为R，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【分析】先求出点 的轨迹方程，再结合阿波罗尼斯圆的定义及抛物线的定义可得
，从而可得出答案.
【详解】设 ，
则 ，
化简整理得 ，
所以点 的轨迹为以 为圆心 为半径的圆，
抛物线 的焦点 ，准线方程为 ，
则
，
当且仅当 （ 两点在 两点中间）四点共线时取等号，
所以 的最小值为 .
故选：D.
8．（2023秋·山东德州·高三统考期末）曲线 上有两个不同动点 ，动点 到 的最小距离为 ，点 与 和 的距离之和 的最小值为 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】对于 可直接利用两点间的距离公式结合二次函数进行求解，对于 可利用抛物线的性质，结合图象观
察发现取得最值时的 的位置进行求解.
【详解】设 ，则 ，结合关系式 可变形为：
，当 ，即动点 坐标为 时，
取到最小距离 ，即 ；
由题知，曲线 为抛物线在第一象限的部分以及原点，其焦点为 ，准线为 ，设 ，
过 作 准线，垂足为 ，根据抛物线定义， ，过 作 准线，垂足为 ，交抛
物线于 ，当 在运动时，结合下图可知， ，当 运动到 时取得等号，即
的最小值为 .故 .
故选：C9．（2023秋·河南信阳·高三信阳高中校考期末）已知点 是抛物线 上任意一点，则点 到抛物线 的
准线和直线 的距离之和的最小值为（ ）
A． B．4 C． D．5
【答案】C
【分析】点 到直线 的距离为 ，到准线 的距离为 ，利用抛物线的定义得 ，
当 ， 和 共线时，点 到直线 和准线 的距离之和的最小，由点到直线的距离公式求得
答案．
【详解】解：由抛物线 知，焦点 ，
准线方程为 ，根据题意作图如下；点 到直线 的距离为 ，
点 到 的距离为 ；
由抛物线的定义知： ，
所以点 到直线 和准线 的距离之和为 ，
且点 到直线 的距离为 ，
所以点 到直线 和准线 的距离之和最小值为 ．
故选：C．
题型四：抛物线的对称问题
10．（2021·宁夏中卫·统考一模）已知抛物线C： （ ）的焦点为F，准线与x轴交于点K，过点K作
圆 的切线，切点分别为点A，B.若 ，则p的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
【答案】C
【解析】连接 ，通过 是圆 的圆心，结合图形， ，通过求解 是等边三角形，推
出结果．
【详解】连接 ，如下图
因为F就是圆 的圆心，所以 ，且 .
又 ，所以 ，那么 ，
所以 是等边三角形
所以 .
又 ，所以 .
故选：C.
【点睛】考查抛物线的标准方程、焦点、准线以及圆有关的概念，考查数形结合的思维方法和学生对数量关系的
分析能力.
11．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 ： 与抛物线 ： 交于 两点， 为坐
标原点，若 的外接圆经过点 ，则 等于（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】A
【分析】根据椭圆和抛物线的对称性知 的外接圆的圆心必在x轴，设圆心为 ，结合圆的性质可得
、进而得 ，代入椭圆方程计算即可求解.
【详解】设 ，则 ， .
由题意知， 四点共圆，
由椭圆和抛物线的对称性，知 的外接圆的圆心必在x轴，
设 与x轴相交于点D，则 ，
在圆D中，有 ，
即 ，又 ，所以 ，解得 ，①
代入 ，得 ，②
将①②代入椭圆方程，得 ，
整理，得 ，解得 .
经检验， 时，符合题意.
故实数p的值为 .
故选：A.
12．（2020·全国·模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，点 在抛物线 上，且点 到准线
的距离为6， 的垂直平分线与准线 交于点 ，点 为坐标原点，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】解法一：先根据焦半径公式求出 的坐标，再求出 的垂直平分线的方程，从而可求 的坐标，故可求
的面积.
解法二：先根据焦半径公式求出 的坐标，过点 作 的垂线，垂足为 ，利用抛物线的定义可得 重合，从而
可求 的面积.
【详解】解法一：抛物线 ： 的焦点为 ，准线为 ： ，
设 ，由点 到准线 的距离为6，得 ，得 ，
代入抛物线的方程得 ，所以 ．由抛物线的对称性，不妨设 ，则直线 的斜率为 ，
又 的中点坐标为 ，故 的垂直平分线的方程为 ，
令 ，得 ，即 ．
所以 的面积为 ．
故选：B.
解法二：抛物线 ： 的焦点为 ，准线为 ： ，
设 ，由 到准线 的距离为6，得 ，得 ，
代入抛物线的方程得 ，所以 ．
由抛物线的对称性，不妨设 ，则直线 的斜率为 ，
所以 ．过点 作 的垂线，垂足为 ，则 ，连接 ，
则 ，而 ，所以 是等边三角形，于是边 的垂直平分线过点 ，即点 与点
重合，所以 的面积为 ．
故选：B.
【点睛】方法点睛：与抛物线焦点有关的距离计算问题，可利用抛物线的定义将此距离转化为到准线的距离来处
理.
题型五：抛物线的综合问题
13．（2023·河南洛阳·洛阳市第三中学校联考一模）已知抛物线 上的一个动点P到抛物线的焦点
F的最小距离为1．
(1)求抛物线C的标准方程；(2)过焦点F的直线l交抛物线C于 两点，M为抛物线上的点，且 ， ，求 的面积．
【答案】(1)
(2)32
【分析】（1）利用动点P到抛物线的焦点F的最小距离，结合抛物线定义求得p的值，可得答案；
（2）说明 轴不合题意，设直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，联立
抛物线方程可得根与系数的关系，结合题意进行化简，求得M点坐标，求得弦长 ,利用三角形面积公式，即可
求得答案.
【详解】（1）设点P的坐标为 ，由抛物线定义可知， ，
即当 时取得等号，
故 ，解得 ，所以抛物线C的标准方程为 ．
（2）由（1）知 ，设 ， ， ，
若 轴，由 ，得 ， ， 或 ， ，
此时不满足 ，所以不满足题意；
设直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，
如图所示，
将 代入抛物线方程得 ， ，
所以 ， ．将 代入抛物线方程得 ，所以 ①．
直线AM的斜率为 ，同理BM的斜率为 ．
因为AM⊥BM，所以 ，
所以 ，即 ②．
由①②解得 ，将其代入①可得， ，
所以 或 ，
当 时，直线 的方程为 ， ， ．
因为 ， 满足 ，所以 ， ．
所以 ，
所以 ．
同理可得，当 时，直线 的方程为 ， ， ，
因为 ， 满足 ，所以 ， ．
所以 ，
所以 ，
所以 的面积为32．
14．（2023·河南·洛阳市第三中学校联考一模）已知点 在抛物线 上，且到抛物线 的焦
点 的距离为2.
(1)求抛物线 的标准方程；(2)过点 向抛物线 作两条切线 ，切点分别为 ，若直线 与直线 交于点 ，且点 到
直线 ､直线 的距离分别为 .求证： 为定值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据题意可得 ，求出 ，即可得解；
（2）方法一：设 ，求导，再根据导数的几何意义分别求出抛物线在点 处和在点 处的切线
方程，再根据两条切线均过点 ，从而可求得切点坐标，在证明 平分 ，即可得出结论.
方法二：设切点为 ，求导，再根据导数的几何意义求出切线方程，联立方程，根据 求出切点坐标，从
而可得直线 ､直线 的方程，再结合点到直线的距离公式即可得证.
【详解】（1）因为 ，由题意可得 ，
解得 ，所以抛物线 的标准方程为 ；
（2）方法一：设 ，由 ，得 ，
所以抛物线在点 处的切线方程为 ，
在点 处的切线方程为 ，
因为两条切线均过点 ，所以 ，
所以点 的坐标均满足 ，
所以 ，即 ，解得 或 ，不妨设 ，则 ，
易知 ，所以 ，
所以 ，
，
所以 ，所以 ，所以 平分 ，
所以点 到直线 的距离 等于点 到直线 的距离 ，
所以 ，为定值，得证.
方法二：设切点为 ，由 ，得 ，
所以过点 的抛物线的切线方程为 ，
联立方程 ，消去 并整理得 ，
则 ，解得 或 ，
不妨设 ，则 ，
所以直线 的方程为 ，
易知 ，所以直线 的方程为 ，
由 ，得 ，即 ，
易得直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，所以点 到直线 的距离 ，
点 到直线 的距离 ，
所以 ，则 ，为定值，得证.
15．（2023·江西赣州·统考一模）已知抛物线 为其焦点，点 在 上，且 （
为坐标原点）.
(1)求抛物线 的方程；
(2)若 是 上异于点 的两个动点，当 时，过点 作 于，问平面内是否存在一个定点 ，
使得 为定值？若存在，请求出定点 及该定值：若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，定值4，定点
【分析】（1）由点在抛物线上及三角形面积列方程求出参数p，即可得方程；
（2）法一：设 ， ，利用 求得 ，讨论 与 轴是否垂直，
求直线 所过的定点；法二：设直线 的方程为 ，联立抛物线及韦达定理、
得 ；最后结合 确定 的轨迹，即可确定定点和定值；
【详解】（1）因为点 在 上，则 ，而 ，所以 ，
，所以 ，故该抛物线的方程为 .（2）法一：设 ，不妨设 ，
，则 ，解得 ，
①当 与 轴不垂直时， ，
此时直线 的方程为： ，整理得
，则 的方程为： ，则直线 恒过定点
由 ，即 ，故 在以 为直径的圆上，该圆方程为 ，
即当 为该圆心 时， 为定值；
②当 轴时， ，此时 ，而 ，故 ；
当 时，也满足 ，
综上，平面内存在一个定点 ，使得 为定值4
法二：设直线 的方程为
联立 ，且 ，
由韦达定理得： ，
由 ，即 ，解得 ，
即 ，直线 恒过定点 ，
由 ，即 ，故 在以 为直径的圆上，该圆方程为 ，
即定点 为该圆心 时， 为定值；
【高考必刷】一、单选题
16．（2023·陕西商洛·统考一模）已知F为抛物线 的焦点，P为该抛物线上的动点，点 ，则
的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【分析】设点 ，由点与点距离公式计算 以及 的长，代入所求结合二次函数的性质可求出
最大值.
【详解】设 ，则 ，又 ，所以 ，则
.令 ，则 ， ，即
时， 取得最大值，此时 .
故选：D
17．（2023春·全国·高三校联考阶段练习）如图1所示，抛物面天线是指由抛物面（抛物线绕其对称轴旋转形成的
曲面）反射器和位于焦点上的照射器（馈源，通常采用喇叭天线）组成的单反射面型天线，广泛应用于微波和卫
星通讯等领域，具有结构简单、方向性强、工作频带宽等特点．图2是图1的轴截面，A，B两点关于抛物线的对
称轴对称，F是抛物线的焦点，∠AFB是馈源的方向角，记为 ，焦点F到顶点的距离f与口径d的比值 称为抛
物面天线的焦径比，它直接影响天线的效率与信噪比等．如果某抛物面天线馈源的方向角 满足， ，
则其焦径比为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】建立直角坐标系，设抛物线的标准方程为： ， ， ，代入抛物线方程可得 ，
根据 ，解得 与 的关系，即可得出 ．
【详解】如图所示，建立直角坐标系，
设抛物线的标准方程为： ， ，
，代入抛物线方程可得： ，解得 ，
由于 ，得 或 （舍）
又 ，化为： ，解得 或 （舍）
.
故选：C.
18．（2023·河南·统考模拟预测）已知点 是抛物线C： 的焦点，过 的直线 交抛物线C于不同的两点
M，N，设 ，点Q为MN的中点，则Q到x轴的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据给定的抛物线，设出点M，N的坐标，利用 求出点M，N的纵坐标和即可求解作答.
【详解】依题意，点 ，设点 ，则 ，
由 得： ，解得 ， ，
因此点Q的纵坐标为 ，
所以Q到x轴的距离为 .
故选：B
19．（2023·河北石家庄·统考一模）截至2023年2月，“中国天眼”发现的脉冲星总数已经达到740颗以上．被
称为“中国天眼”的500米口径球面射电望远镜（FAST），是目前世界上口径最大，灵敏度最高的单口径射电望
远镜（图1）．观测时它可以通过4450块三角形面板及2225个触控器完成向抛物面的转化，此时轴截面可以看作
拋物线的一部分．某学校科技小组制作了一个FAST模型，观测时呈口径为4米，高为1米的抛物面，则其轴截面
所在的抛物线（图2）的顶点到焦点的距离为（ ）A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】A
【分析】由题意建立平面直角坐标系，求得抛物线标准方程，即可求得顶点到焦点的距离.
【详解】如图，以抛物线的顶点为原点，对称轴为 轴，建立平面直角坐标系，
则设抛物线的方程为 ，
由题可得抛物线上一点 ，代入抛物线方程可得 ，所以 ，
即抛物线方程为 ，则抛物线的焦点坐标为 ，故顶点到焦点的距离为 .
故选：A.
20．（2023·福建泉州·统考三模）已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，点 在 上，点 在 上．若
， ，则 到 的距离等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】取线段 的中点 ，连接 ，过点 作 ，垂足为点 ，分析出 为等边三角形，并求出
，从而可求得 ，即为所求.
【详解】取线段 的中点 ，连接 ，过点 作 ，垂足为点 ，
则 ，所以， ，所以， ，所以， ，
因为 ，所以， 是边长为 的等边三角形，则 ，
由抛物线的定义可知 ，所以， ，故 ，
所以， ，则 ，即点 到直线 的距离为 .
故选：B.
21．（2023·全国·高三专题练习）以抛物线 的焦点F为端点的射线与C及C的准线l分别交于A，B两点，
过B且平行于x轴的直线交C于点P，过A且平行于x轴的直线交l于点Q，且 ，则△PBF的周长为
（ ）
A．16 B．12 C．10 D．6
【答案】B
【分析】因 ，则 ，准线为 .由 ，可得 坐标，直线AF方程，进而可得B，P坐标，
后由两点间距离公式及抛物线定义可得答案.
【详解】因 ，则 ，准线为 .
由 ，如图，设 ，则 ，得 ，则 .
得直线AF方程： ，
代入 ，得 ，
将 代入 ，可得 .
则周长 ，
则 .故 .
故选：B22．（2023·河南·校联考模拟预测）已知抛物线 的焦点为F，过点F的直线与抛物线交于点A，
B，与抛物线的准线交于点M，且点A位于第一象限，F恰好为AM的中点， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】过点A，B分别作准线的垂线，垂足分别为N，E，根据抛物线的定义，又F恰好为AM的中点，可得到
比例 ，进一步推导得到 的值.
【详解】如图，
过点A，B分别作准线的垂线，垂足分别为N，E，根据抛物线的定义得 ， ，因为F为AM的
中点，所以 ，又 ，所以
，所以 .
故选：A23．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线 的焦点为 ，点 是抛物线 上
一点，圆 与线段 相交于点 ，且被直线 截得的弦长为 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据点在抛物线上及抛物线的定义，利用圆的弦长及勾股定理即可求解
【详解】由题意可知，如图所示，
在抛物线上，则
易知， ，由 ，
因为被直线 截得的弦长为 ，则 ，
由 ，于是在 中，
由 解得： ，所以 ．
故选：C.
二、多选题
24．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考一模）已知抛物线 ，O为坐标原点，F为抛物线C的焦点，
点P在抛物线上，则下列说法中正确的是（ ）A．若点 ，则 的最小值为4
B．过点 且与抛物线只有一个公共点的直线有且仅有两条
C．若正三角形ODE的三个顶点都在抛物线上，则 ODE的周长为
D．点H为抛物线C上的任意一点， ， ，当t取最大值时， GFH的面积为2
【答案】AD
【分析】A选项，过P点做准线的垂线，垂足为 .由抛物线定义， ，据此可得最小值；
B选项，过点B且与抛物线只有一个公共点的直线有两类，抛物线的切线与斜率不存在的直线；
C选项，设 ，由 及D，E两点在抛物线上可得 ，
后可得 ODE的周长；
D选项，设 ，则 ，由基本不等式可得 取最大值时， ，后
可得 GFH的面积.
【详解】A选项，过P点做准线 的垂线，垂足为 .则由抛物线定义，有 .则 ，
则当 三点共线时， 有最小值4.故A正确；
B选项，当过点B直线斜率不存在时，直线方程为 ，此时直线与抛物线只有一个交点；当过点B直线斜率存
在时，设直线方程为： ，将直线方程与抛物线方程联立，则 .令
或
，则直线 或 为抛物线切线.综上，过点 且与抛物线只有一个公共点的直线有3条，故
B错误；
C选项，设 ，因三角形ODE为正三角形，
则 ，又 ，则 .
因 ，则 .又由图可得 .
则 ，则 .
得 ODE的周长为 .故C错误；
D选项，设 ，则
，当 取最大值时，
.取 ，则此时 GFH的面积为 .
故D正确.
故选：AD
25．（2023·辽宁·校联考一模）抛物线 的焦点为 ，准线为 ，经过 上的点 作 的切线
m，m与y轴、l、x轴分别相交于点N、P、Q，过M作l垂线，垂足为 ，则（ ）
A． B． 为 中点
C．四边形 是菱形 D．若 ，则
【答案】BCD【分析】设 与 轴交点为 ，则 未必是 的中点，即可判断A，利用韦达定理表示出 的坐标可判断B，
根据菱形的判定定理可判断C，利用三角形的全等关系可判断D.
【详解】
设 ，可知 斜率 存在，可设 ，
将 代入可得 ，由 ，即 可得 ，
因此 ，令 解得 ，所以 ，
又因为 ， ，
要使 ，则 必需为 中点，则必有 ，即 ，
所以当且仅当 时， 才成立，无法满足任意性，A错误；
中令 ，于是 ，
因为 ， ，所以 为 中点，选项B正确.
因为 ，所以 是 的垂直平分线，
而 轴，所以四边形 是菱形，选项C正确；
，由 ，可得 ，所以 .因为 ，所以 ，选项D正确.
故选：BCD.
26．（2023·辽宁·校联考模拟预测）已知F是抛物线 的焦点，点 在抛物线W上，过点F
的两条互相垂直的直线 ， 分别与抛物线W交于B，C和D，E，过点A分别作 ， 的垂线，垂足分别为M，
N，则（ ）
A．四边形 面积的最大值为2
B．四边形 周长的最大值为
C． 为定值
D．四边形 面积的最小值为32
【答案】ACD
【分析】根据给定条件，求出抛物线 的方程，确定四边形 形状，利用勾股定理及均值不等式计算判断
A，B；设出直线 的方程，与抛物线方程联立，求出弦 长即可计算推理判断C，D作答.
【详解】因为点 在抛物线 上，
所以 ，故 ， ，
抛物线 的焦点 的坐标为 ，
因为 ， ，
所以 ，当且仅当 时，等号成立，
所以四边形 面积的最大值为2，故A正确.
由 ，
得 ，即 ，
当且仅当 时，等号成立，所以四边形 周长的最大值为 ，故B不正确.
设直线 的方程为 ，联立 消x得 ，
方程 的判别式 ，
设 ， ，则 ，
则 ，
同理得 ，
，C正确.
，所以 ，
当且仅当 时，等号成立，
此时 ，故D正确.
故选：ACD.
27．（2023·全国·高三专题练习）已知P为抛物线 上的动点， 为坐标原点， 在抛物线C上，过抛物线C的焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点， ，则（ ）
A． 的最小值为4
B．若线段AB的中点为M，则弦长AB的长度为8
C．若线段AB的中点为M，则三角形OAB的面积为
D．过点 作两条直线与抛物线C分别交于点G，H，且满足EF平分 ，则直线GH的斜率为定值
【答案】ABD
【分析】先求出抛物线的方程 ，利用抛物线的定义转化即可求出最小值可判断A；由直线与抛物线相交的
弦长公式判断B；由点到直线的距离公式可求三角形OAB的面积判断C；设 ， ,将已知转化
为 结合两点连线的斜率公式即可判断直线GH的斜率是否为定值判断D.
【详解】
由 在抛物线C上，得 ，抛物线C的方程为 ， ．
对于A，过点P作抛物线的准线 的垂线PD，垂足为D，
由抛物线的定义知 ，
即M，P，D三点共线时， 取得最小值，为 ，故A正确．
对于B，因为 为AB的中点，点A，B的横坐标 ，则 ， ，故B正确．
对于C，由直线l过焦点 与 求得直线l的方程为 ，则点O到直线l的距离 ，则 ，故C错误；
对于D，易知点 在抛物线上且 轴．设 ， ．
易知直线EG，EH的斜率存在， ，同理 ．
因为EF平分 ， 轴，所以 ，即 ，
直线 ，所以 ，
直线GH的斜率 为定值，故D正确．
故选：ABD
三、填空题
28．（2023·全国·校联考一模）抛物线 ： 的准线截圆 所得的弦长为_________.
【答案】
【分析】先求出圆心到准线的距离，再根据圆的弦长公式求解即可.
【详解】抛物线 ： 的准线为 ，
圆 的圆心为 ，半径 ，
圆心 到准线 的距离 ，
所以所求弦长为 .
故答案为： .
29．（2023·山西大同·校联考模拟预测）若P，Q分别是抛物线 与圆 上的点，则 的最小值
为________．【答案】 ##
【分析】设点 ，圆心 ， 的最小值即为 的最小值减去圆的半径，求出 的最小值即可得
解．
【详解】依题可设 ，圆心 ，根据圆外一点到圆上一点的最值求法可知，
的最小值即为 的最小值减去半径．
因为 ， ，
设 ，
，由于 恒成立，
所以函数 在 上递减，在 上递增，即 ，
所以 ，即 的最小值为 ．
故答案为： ．
30．（2023·湖南·湖南师大附中校联考模拟预测）已知直线 ，抛物线 的焦点为 ，过点 的直
线交抛物线 于 两点，点 关于 轴对称的点为 .若过点 的圆与直线 相切，且与直线 交于点 ，则
当 时，直线 的斜率为___________.
【答案】
【分析】根据题意设直线 的方程为 ，联立抛物线方程，然后结合韦达定理即可得到结果.
【详解】如图，易知过点 且与直线 相切的圆就是以 为直径的圆，设 ，则 ，由 有 ，
设直线 的方程为 ，代入 有 ，
所以 ，结合 ，得 .
故答案为:
31．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知抛物线 为抛物线内一点，不经过
点的直线 与抛物线相交于 两点，连接 分别交抛物线于 两点，若对任意直线 ，总存在
，使得 成立，则该抛物线方程为______.
【答案】
【分析】设 ，根据 推出 ，
结合点在抛物线上可得 ， ，即可求得p，即得答案.
【详解】由题意设 ，由 可得： ，
可得： ，同理可得： ，
则： （*）
将 两点代入抛物线方程得 ，
作差可得： ，而 ，即 ，
同理可得， ，代入（*），可得 ，
此时抛物线方程为 ，
故答案为：
四、解答题(共0分)
32．（2023·全国·高三专题练习）设抛物线 的焦点为 ， ，Q在准线上，Q的纵坐标为
，点M到F与到定点 的距离之和的最小值为4．
(1)求抛物线C的方程；
(2)过F且斜率为2的直线l与C交于A、B两点，求 的面积．
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）由已知可推得 ，求出 的坐标代入，即可得出关于 的方程，求解即可得出 ；
（2）由已知可求得直线方程为 ，联立直线与抛物线的方程，根据韦达定理求出弦长 .然后根据点到直线的距离求出点 到直线的距离，即可得出面积.
【详解】（1）由已知可得， ， .
因为 ，当且仅当 三点共线时，取得最小值.
又 ，所以 ，
即 ，整理可得 ，
因为 ，所以 .
所以，抛物线C的方程为 .
（2）由（1）知， ，所以直线 的方程为 ， .
联立直线 与抛物线的方程 可得， .
设 ， ，则由韦达定理可得 .
所以 .
又点 到直线 ，即直线 的距离为 ，
所以， 的面积 .33．（2023·山东·潍坊一中校联考模拟预测）已知 为抛物线 的焦点， 为坐标原点， 为
的准线 上的一点，直线 的斜率为 的面积为1．
(1)求 的方程；
(2)过点 作一条直线 ，交 于 两点，试问在 上是否存在定点 ，使得直线 与 的斜率之和等于直线
斜率的平方？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在， 或
【分析】（1）设点 的坐标为 ，根据直线 的斜率为 ，得到 ，再根据 的面积为 求出
，即可得解；
（2）假设存在点 ，使得直线 与 的斜率之和等于直线 斜率的平方．设直线 的方程为 ，
， ， ，联立直线与抛物线方程，消元列出韦达定理，又 ，
，化简 ，即可得到方程，求出 的值，即可得解.
【详解】（1）解：由题意知 ，设点 的坐标为 ，则直线 的斜率为 ．
因为直线 的斜率为 ，所以 ，即 ，
所以 的面积 ，
解得 或 （舍去），
故抛物线 的方程为 ．
（2）解：假设存在点 ，使得直线 与 的斜率之和等于直线 斜率的平方．
由（1）得 ，抛物线 的准线 的方程为 ．
设直线 的方程为 ， ， ， ，
联立 得 ，
所以 ， ， ．
因为 ，
，
所以 ，解得 或 ．
故存在定点 ，使得直线 与 的斜率之和等于直线 斜率的平方，其坐标为 或 ．
34．（2023·河南·校联考模拟预测）已知抛物线E： 的焦点关于其准线的对称点为 ，椭圆
C： 的左，右焦点分别是 ， ，且与E有一个共同的焦点，线段 的中点是C的左顶点．过点 的直线l交C于A，B两点，且线段AB的垂直平分线交x轴于点M．
(1)求C的方程；
(2)证明： ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由题意得 ，从而得出椭圆C的焦点 ， ，由线段 的中点为 求得
， ，可得C的方程；
（2）直线l的斜率存在，设为k，分两种情况讨论：当 时，直接验证结论；当 时，设出直线l的方程，
与椭圆方程联立，结合韦达定理求出线段AB的中点坐标，得到线段AB的垂直平分线的方程，求得 坐标及
，利用弦长公式求得 ，从而证得结论．
【详解】（1）抛物线E的焦点 关于其准线 的对称点为 ，
所以 ，即 ．
因为椭圆C与抛物线E有一个共同的焦点，所以 ， ，
所以线段 的中点为 ，所以 ， ．
故C的方程为 ．
（2）由题意知，直线l的斜率存在，设为k．
当 时，点A，B恰为椭圆C的左、右顶点，y轴为线段AB的垂直平分线，
， ， ，则 ．
当 时，直线l的方程为 ，设 ， ，线段AB的中点为 ， ．联立 ，消去y，得 ，
则 ， ，
所以 ，
则 ．
由题意知，线段AB的垂直平分线的方程为 ，
令 ，得 ，
则 ．
又 ，
所以 ．
综上， ．
