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专题 10 因式分解的概念及基本方法
题型一 因式分解的定义
1．下列从左到右的变形是因式分解的是
A． B．
C． D．
2．若 能分解为 ，求 的值．
3．若多项式 可分解为 ，求 的值．
4．两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成 ，另一位同
学因看错了常数项而分解成 ，请将原多项式分解因式．
5．（1）试说明代数式 的值与 、 的值取值有无关系；
（2）已知多项式 与 的乘积展开式中不含 的一次项，且常数项为 ，试求 的值；
（3）已知二次三项式 有一个因式是 ，求另一个因式以及 的值．
6．仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式 有一个因式是 ，求另一个因式以及 的值．
解：设另一个因式为 ，得
则
．解得： ，
另一个因式为 ， 的值为
问题：仿照以上方法解答下面问题：
已知二次三项式 有一个因式是 ，求另一个因式以及 的值．
题型二 提取公因式法
7．分解因式： ．
8．已知 ， ，则代数式 的值是 ．
9．已知 ， ，则 的值为 ．
10．已知 可分解因式为 ，其中 、 均为整数，则 的
值为 ．
11．若长方形的长为 ，宽为 ，周长为16，面积为15，则 的值为 ．
12．多项式 的公因式是 ，另一个因式是 ．
13．已知 可分解因式为 ，其中 ， 均为整数，则 等
于多少？
14．分解因式： ．
15．已知 ， ，则 ．
16．认真阅读以下分解因式的过程，再回答所提出的问题：
（1）上述分解因式的方法是 ；（2）分解因式： ；
（3）猜想： 分解因式的结果是 ．
题型三 公式法——平方差公式
17．分解因式： ．
18．分解因式： ．
19．分解因式： ．
20．分解因式
（1） （2） ．
21．已知 ， ， ，求 的值．
22．已知 ， ，则 的值．23．已知 ，则 的值为 ．
题型四 公式法——完全平方公式
24．若 ，则代数式 的值是 ．
25．已知 且 ，求 的值．
26．已知 是一个完全平方式， 求 的值 ．
27． 能被7整除吗？为什么？
28．下面是某同学对多项式 进行因式分解的过程．
解：设
原式 （第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
请问：
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的
．提取公因式法 ．平方差公式
．两数和的完全平方公式 ．两数差的完全平方公式（2）该同学因式分解的结果是否彻底？ ．（填“彻底”或“不彻底”
若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式 进行因式分解．29．下面是某同学对多项式 进行分解因式的过程．
解：设 ．
原式 （第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
回答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步运用了分解因式的 ．
．提取公因式 ．逆用平方差公式 ．逆用完全平方公式
（2）该同学分解因式的结果不正确，应更正为 ．
（3）试分解因式 ．
30．已知 ，你能用完全平方公式求出 ， 的值吗？
31．阅读下列材料，并解答相应问题：
对于二次三项式 这样的完全平方式，可以用公式法将它分解成 的形式，但是对于二次
三项式 ，就不能直接应用完全平方公式了，我们可以在二次三项式 中先加上一
项 ，使其成为完全平方式，再减去 这项，使整个式子的值不变，于是有：
．
（1）像上面这样把二次三项式分解因式的数学方法是．（2）这种方法的关键是．
（3）用上述方法把 分解因式．
