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专题 6.1 反比例函数
目录
反比例函数的概念与定义.........................................................................................................1
反比例函数求参.........................................................................................................................2
待定系数法求反比例函数.........................................................................................................2
反比例函数图像所在象限.........................................................................................................3
已知象限求参数范围.................................................................................................................4
图象共存问题.............................................................................................................................4
图象的对称性.............................................................................................................................5
K的几何意义.............................................................................................................................6
反比例函数的增减性.................................................................................................................8
比较大小.....................................................................................................................................8
反比例函数性质综合.................................................................................................................9
反比例函数与一次函数图象问题............................................................................................9
反比例函数与一次函数综合问题...........................................................................................11
反比例函数应用.......................................................................................................................12
反比例函数的概念与定义
k
y=
一般地,形如
x
（k为常数，
k≠0
)的函数称为反比例函数,它可以从以下几个
方面来理解：
⑴x是自变量，y是x的反比例函数；
⑵自变量x的取值范围是
x≠0
的一切实数，函数值的取值范围是
y≠0
；
⑶比例系数
k≠0
是反比例函数定义的一个重要组成部分；
【例1】下列函数 是 的反比例函数的是
A． B． C． D．
【变式训练1】下列函数中， 是 反比例函数的是
A． B． C． D．【变式训练2】给出的下列函数： ， ， ， ， ，
，其中 一定是 的反比例函数的个数有
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式训练3】下列等式中， ， 这两个量成反比例关系的是
A． B． C． D．
反比例函数求参
【例2】函数 是反比例函数，则 ．
【变式训练1】函数 是反比例函数，则 的值为 ．
【变式训练2】函数 是 关于 的反比例函数，则 ．
【变式训练3】函数 是反比例函数，则 ．
待定系数法求反比例函数
k
y=
由于反比例函数
x
（
k≠0
）中，只有一个待定系数，因此,只要一组对应值，
就可以求出k的值，从而确定反比例函数的表达式。
【例3】已知 与 成反比例，且其函数图象经过点 ．
（1）求 与 的函数关系式；
（2）求当 时， 的值．【变式训练1】已知 ， 与 成正比例， 与 成反比例，当 时，
，当 时， ．
（1）求 的表达式；
（2）求当 时 的值．
反比例函数图像所在象限
k的符号 图象 经过象限 y随x变化的情况
k>0 图象经过第 每个象限内，函数y的值
一、三象限 随x的增大而减小.
（ x 、 y 同
号）
k<0 图象经过第 每个象限内，函数y的值
二、四象限 随x的增大而增大.
（ x 、 y 异
号）
【例4】若反比例函数 的图象经过点 ，则该反比例函数的图象在
A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限
【变式训练1】已知反比例函数 的图象经过点 ，那么该反比例函数图象
也一定经过点
A． B． C． D．【变式训练2】若反比例函数 的图象过点 ，则该函数的图象应在
A．第一，三象限 B．第一，二象限 C．第二，四象限 D．第三，四象限
【变式训练3】反比例函数 的图象位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
已知象限求参数范围
（1）由两条曲线组成，叫做双曲线；
（2）图象的两个分支都无限接近x轴和y轴，但都不会与x轴和y轴相交；
（3）图象是中心对称图形，原点为对称中心；也是轴对称图形，2条对称轴分别是
平面直角坐标系一、三象限和二、四象限的角平分线．
【例5】反比例函数 的图象，当 时， 随 的增大而增大，则 的取值范围是
．
【变式训练1】反比例函数 ，其图象分别位于第一、 第三象限， 则 的取值范
围是 ．
【变式训练2】反比例函数 的图象有一支位于第一象限，则常数 的取值范围是
．
【变式训练3】已知反比例函数 的图象分别位于第二、第四象限，则实数 的值可以
是 ．（只需写出一个符合条件的实数）
图象共存问题
【例6】若 ，则正比例函数 与反比例函数 在同一坐标系中的大致图象可
能是
A． B． C． D．【变式训练1】函数 与 在同一平面直角坐标系中的图象可能是
A． B．
C． D．
【变式训练2】当 时，反比例函数 和一次函数 的图象大致是
A． B．
C． D．
【变式训练3】函数 与 在同一坐标系中的图象可能是
A． B．
C． D．图象的对称性
【例7】正比例函数 和反比例函数 的一个交点为 ，则另一个交点为
A． B． C． D．
已知一个正比例函数的图象与一个反比例函数的一个交点坐标为 ，则另一个交点坐标
是 ．
【变式训练1】如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点 ，且正方形的一组对边与
轴平行，点 是反比例函数 的图象上与正方形的一个交点，若图中阴影
部分的面积等于16，则 的值为
A．16 B．1 C．4 D．
【变式训练2】如图，已知直线 与双曲线 的一个交点坐标为 ，则它们的
另一个交点坐标是 ．K的几何意义
（1）意义：从反比例函数y＝(k≠0)图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线
与坐标轴所围成的矩形面积为|k|,以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的面
积为1/2|k|.
（2）常见的面积类型：
【例8】如图， 的直角边 在 轴上， ，反比例函数 经过另一
条直角边 的中点 ， ，则
A．2 B．4 C．6 D．3
【变式训练1】如图，点 是反比例函数 的图象上的一点，过点 作 轴，垂
足为 ．点 为 轴上的一点，连接 ， ．若 的面积为3，则 的值是
A．3 B． C．6 D．
【变式训练2】如图， 、 两点在双曲线 上，分别经过 、 两点向轴作垂线段，已知 ，则
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式训练3】如图，两个反比例函数 和 在第一象限内的图象分别是 和 ，
设点 在 上， 轴于点 ，交 于点 ，则 的面积为
A．1 B．2 C．4 D．无法计算
反比例函数的增减性
【例9】给出下列函数：① ；② ；③ ；④ ．其中 随
的增大而减小的函数是 ．
【变式训练1】给出下列函数：① ；② ；③ 中，符合条件“当
时，函数值随 增大而减小”的函数是 （填序号）．
【变式训练2】下 列 函 数 ： ① ； ② ； ③ ； ④
；⑤ 中， 随 的减小而增大的有 个．
【变式训练3】写出一个经过第一象限， 随 增大而减小的函数 ．比较大小
【例10】已知点 ， ， ， 是反比例函数 图象上的点，若 ，则
一定成立的是
A． B． C． D．
【变式训练1】已知点 ， ， 都在反比例函数 的图象上，则
A． B． C． D．
【变式训练2】点 ， ， ， 在反比例函数 图象上，则 ， ，
， 中最小的是
A． B． C． D．
【变式训练3】已知点 ， ， 都在反比例函数 的图象上，那么 ，
与 的大小关系是
A． B． C． D．
反比例函数性质综合
【例11】对于反比例函数 ，下列说法正确的是
A．图像必过点 B．图象与坐标轴交于正半轴
C．图象有两条对称轴 D． 随 的增大而减小
【变式训练1】关于函数 ，下列说法不正确的是
A．函数图象位于第一、三象限B．函数图象经过点
C．当 时，
D．若点 ， ， ， 都在该函数图象上，且 ，则
【变式训练2】对于反比例函数 ，下列说法不正确的是
A．它的图象在第二、四象限 B．点 在它的图象上
C．当 时， 随 的增大而增大 D．当 时， 随 的增大而减少
【变式训练3】已知反比例函数 ，下列结论中错误的是
A．图象位于第二、四象限
B．当 时， 随 的增大而增大
C．图象关于 对称
D．点 在该反比例函数图象上
反比例函数与一次函数图象问题
【例12】如图，一次函数 与反比例函数 的图象交于点 ，
，则关于 的不等式 的解集是
A． 或 B． 或C． 或 D． 或
【变式训练1】如图，函数 与函数 的图象相交于点 ， ．若
，则 的取值范围是
A． 或 B． 或
C． 或 D． 或
【变式训练2】如图，一次函数 与反比例函数 的图象交于 ，
， 两点，则不等式 的解集为
A． B． 或 C． D． 或
【变式训练3】如图，一次函数 的图象与反比例函数 为常数且
的图象都经过 ， ，结合图象，则不等式 的解集是A． B．
C． 或 D． 或
反比例函数与一次函数综合问题
【例13】如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于 ，
两点．
（1）求这两个函数的解析式；
（2）根据图象直接写出 时 的取值范围；
（3）求 的面积．
【变式训练1】如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于点， 两点．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）直接写出 时的 的取值范围；
（3）求 的面积．
反比例函数应用
（1）题意找出自变量与因变量之间的乘积关系；
（2）设出函数表达式；
（3）依题意求解函数表达式；
（4）根据反比例函数的表达式或性质解决相关问题.
【例14】下列各问题情境中都包含一对变量，其中属于反比例函数关系的是
A．直角三角形中两锐角之间的关系
B．匀速行驶的汽车经过的路程与时间的关系
C．正方形的面积与边长的关系
D．电压不变的电路中，电流强度与电阻的关系
【变式训练1】在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的某种气体，当改变容器的体积时，气体的密度也随之改变．密度 （单位： 与体积 （单位： 满足函
数关系式 为常数， ，其图象如图所示，则 的值为
A．9 B． C．4 D．
【变式训练2】教室办公室有一种可以自动加热的饮水机，该饮水机的工作程序是：放满水
后，接通电源，则自动开始加热，每分钟水温上升 ，待加热到 ，饮水机自动停
止加热，水温开始下降，水温 与和同电时间 成反比例关系．直至水温降至室
温，饮水机再次自动加热，重复上述过程，设某天水温和室温均为 ，接通电源后，水
温 和通电时间 的关系如图所示，回答下列问题：
（1）分别求出当 和 时， 与 之间的函数表达式；
（2）求出图中 的值；
（3）李老师这天早上 将饮水机电源打开，若他想在 上课前喝到不低于 的开
水，则他要在什么时间段内接水？【变式训练3】在探究欧姆定律时，小明发现小灯泡电路上的电压保持不变，通过小灯泡的
电流越大，灯就越亮．设选用小灯泡的电阻为 ，通过的电流强度为 （A）．（欧姆
定律公式：
（1）若电阻为 ，通过的电流强度为 ，求 关于 的函数表达式；
（2）如果电阻小于 ，那么与原来的相比，小灯泡的亮度将发生什么变化？并说明理
由．
一．选择题（共8小题）
1．下列函数中不是反比例函数的是
A． B． C． D．
2．下列函数中，是反比例函数的是
A． B． C． D．
3．已知 是关于 的反比例函数， ， 和 ， 是自变量与函数的两组对应值．则下列关系式中，成立的是
A． B．
C． D．
4．在同一坐标系中（水平方向是 轴），函数 和 的图象大致是
A． B．
C． D．
5．如图，在平面直角坐标系 中， 的顶点 在 轴正半轴上， 是 的中
线，点 、 在反比例函数 的图象上，若 的面积等于6，则 的值为
A．2 B．4 C．6 D．8
6．函数 与 在同一坐标系的图象可能是下列选项中的A． B．
C． D．
7．对于反比例函数 的图象的对称性叙述错误的是
A．关于原点中心对称 B．关于直线 对称
C．关于直线 对称 D．关于 轴对称
8．对于反比例函数 ，下列说法正确的是
A．图象经过点 B．图象位于第一、三象限
C．当 时， 随 的增大而减小 D．当 时， 随 的增大而增大
二．填空题（共4小题）
9．函数 是 关于 的反比例函数，则 ．
10．已知函数 是反比例函数，则 的值为 ．
11．在函数 中， 是 的 函数，其中比例系数为 ．
12．将函数 的图象先向左平移1个单位长度，再沿 轴翻折，所得到的图象对应的函
数表达式是 ．
三．解答题（共3小题）
13．已知 ， 与 成反比例， 与 成正比例，且当 时， ，
．
（1）求 关于 的函数解析式；
（2）求当 时的函数值．14．当 为何值时，函数 是反比例函数？
15．写出下列问题中两个变量之间的函数表达式，并判断其是不是反比例函数．
（1）底边为 的三角形的面积 随底边上的高 的变化而变化；
（2）一艘轮船从相距 的甲地驶往乙地，轮船的速度 与航行时间 的关系；
（3）在检修 长的管道时，每天能完成 ，剩下的未检修的管道长 随检修天数
的变化而变化．
