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专题 06 锐角三角函数
重点 锐角三角函数的概念，特殊角的三角函数值，利用计算器求锐角三角函数值
难点 锐角三角函数之间的关系
易错 混淆特殊角的三角函数值
一、锐角三角函数概念
熟记锐角三角函数的概念，可以简记为“正弦等于对比斜，余弦等于邻比斜，正切等于对比邻”.
【例1】如图，点A为 边上的任意一点，作 于点C， 于点D，下列用线段比表示出
的值，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】 ， ，
，
，
；
故正确的是B选项；
故选：B．
【例2】已知在 中， ， ，则 的值等于（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D【详解】解：∵ ，
∴可设 ，
则 ，
∴ ，
故选：D．
二、锐角三角函数之间的关系
同一锐角的三角函数之间的关系：
（1） ;
（2） .
【例1】已知 为锐角，且 ，那么 的正切值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】∵ ， 为锐角，
∴ ，
∴ ．
故选：A．
【例2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝ ，则cosA＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：由题意得：sin2A+cos2A＝1，∴ ，
∴ ，
故选C．
三、30°，45°，60°角的三角函数值及有关计算
熟记特殊角的锐角三角函数值是进行锐角三角函数计算的关键.
【例1】在 中， ， ，则 的值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解： 中， ， ，
∴ ,
故选：A
【例2】如图，在一块直角三角板 中， ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵ ，
∴ ．
故选：B．
四、利用计算器求锐角三角函数值或锐角
化简形如的式子时，先转化为|a|的形式，再根据a的符号去绝对值．
【例1】若用我们数学课本上采用的科学计算器计算 ，按键顺序正确的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【详解】解：科学计算器计算 ，按键顺序是
故选：D．
【例2】用我们数学课本上采用的科学计算器求 的值，按键顺序正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：采用科学计算器计算 ，按键顺序正确的是B选项中的顺序．
故选：B．
五、对概念本质理解不透
锐角三角函数值的本质是一个比值，它的大小只与锐角A的大小（即度数）有关，与所在的直角三角形的
边的长度无关，即只要锐角A确定，其三角函数值也随之确定.
【例1】在 中，如果各边长度都扩大为原来的 倍，则锐角 的余弦值
A．扩大为原来的3倍 B．没有变化
C．缩小为原来的 D．不能确定
【错解】A
【错因分析】误认为直角三角形各边的长度都扩大为原来的3倍，则∠A的正弦值也扩大为原来的3倍.
【解析】设原来三角形的各边分别为a，b，c，
则cosA= ，
若把各边扩大为原来的3倍，
则各边为3a，3b，3c，那么cosA= = ，
所以余弦值不变．
故选B．
【正解】B
一、单选题
1．如图，在 中， ，点 是 的中点， 交 于点 ， ，则
的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：连接BE，
∵D是AB的中点，
∴BD=AD= AB
∵∠C=∠BDE=90°，
在Rt△BCE和Rt△BDE中，
∵ ，
∴△BCD≌△BDE，∴BC=BD= AB．
∴∠A=30°．
∴tanA=
即 ，
∴AD=3，
∴AB=2AD=6．
故选C．
2．如图，AB是⊙O的直径，点C和点D是⊙O上位于直径AB两侧的点，连接AC，AD，BD，CD，若
⊙O的半径是13，BD＝24，则sin∠ACD的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∵⊙O的半径是13，
∴AB＝2×13＝26，
由勾股定理得：AD＝10，
∴sin∠B＝
∵∠ACD＝∠B，
∴sin∠ACD＝sin∠B＝ ，
故选D．
3．如图，点 在第二象限， 与 轴负半轴的夹角是 ，且 ，则 点的坐标为（）A． B． C． D．
【答案】B
【详解】过点P作PA⊥x轴于A，
∵ ，
∴ ，
∴ =4，
∵点 在第二象限，
∴点P的坐标是（-3,4）
故选：B.
4．如图，AB是⊙O的直径，直线DE与⊙O相切于点C，过A，B分别作AD⊥DE，BE⊥DE，垂足为点
D，E，连接AC，BC，若AD＝ ，CE＝3，则 的长为（ ）
A． B． π C． π D． π
【答案】D【详解】解：连接OC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，
∵AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠DAC+∠ACD＝90°，
∴∠DAC＝∠ECB，
∵∠ADC＝∠CEB＝90°，
∴△ADC∽△CEB，
∴ ，即 ，
∵tan∠ABC＝ ，
∴∠ABC＝30°，
∴AB＝2AC，∠AOC＝60°，
∵直线DE与⊙O相切于点C，
∴∠ACD＝∠ABC＝30°，
∴AC＝2AD＝2 ，
∴AB＝4 ，
∴⊙O的半径为2 ，
∴ 的长为： ＝ π，
故选：D．
5．如图，地面上点A和点B之间有一堵墙MN（墙的厚度忽略不计），在墙左侧的小明想测量墙角点M
到点B的距离．于是他从点A出发沿着坡度为 =1：0.75的斜坡AC走10米到点C，再沿水平方向走4米
到点D，最后向上爬6米到达瞭望塔DE的顶端点E，测得点B的俯角为40°．已知AM=8米，则BM大约
为（ ）米．（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）A．8.6 B．10.7 C．15.4 D．16.7
【答案】B
【详解】如图，过E点作DF⊥AB于F点，过C点作CG⊥AB于G点，
∵AC=10，坡比为 =1：0.75，
∴CG=8，AG=6，
∴EF=ED+DF=6+8=14，
又∠B=40°，
∴BF= = =16.7，
又GM=AM-AG=2，
∴AF=AM-FG-GM=2，
∴BM=AB-AM=16.7+2-8=10.7，
故选B.
6．如图，面积为24的 ▱ABCD中，对角线BD平分∠ABC，过点D作DE⊥BD交BC的延长线于点E，DE
＝6，则sin∠DCE的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：连接AC，过点D作DF⊥BE于点E，∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∵ ABCD中，AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∴∠ADB＝∠ABD，
∴AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OB＝OD，
∵DE⊥BD，
∴OC∥ED，
∵DE＝6，
∴OC＝ ，
∴AC=6，
∵ ABCD的面积为24，
∴ ，
∴BD＝8，
∴ ＝ ＝5，
设CF＝x，则BF＝5+x，
由BD2﹣BF2＝DC2﹣CF2可得：82﹣（5+x）2＝52﹣x2，
解得x＝ ，
∴DF＝ ，
∴sin∠DCE＝ ．故选：A．
二、填空题
7．将 放置在 的正方形网格中，顶点 、 、 在格点上．则 的值为______．
【答案】
【详解】解：如图所示：连接 ，
， ，
，
，
，
．
故答案为： ．
．
8．如图，边长为1的小正方形网格中，点 均在格点上，半径为2的 与 交于点 ，则
____________．
【答案】【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴在 中，
∴ ．
故答案为：
三、解答题
9．计算：
（1）2cos230°﹣2sin60°•cos45°；
（2）
【答案】（1） ；（2）1-2 ．
【详解】解：（1）原式＝2×（ ）2﹣2× ×
＝ ；
（2）原式＝ ﹣
＝ ﹣
＝ ﹣（ +1）
＝1﹣2 ．
10．如图， ， ， 是半径为2的 上三个点， 为直径， 的平分线交 于点 ，过点
作 的垂线，交 的延长线于点 ，延长 交 的延长线于点 ．（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ，求 的值．
【答案】（1）见解析；（2）
【详解】解：（1）证明：连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是 的平分线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是 的半径，
∴ 是 的切线．
（2）解：∵ 中， ， ，
∴根据勾股定理得 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴ ， ，∴ ，
∴在 中， ．
一、单选题
1．关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，则锐角 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：由题意可得： ，
解得 ，可得 ，
故选：B
2．如图，在边长为1的正方形网格中，连结格点 ， 和 ， ， 与 相交于点 ，则 的
值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【详解】解：连接格点 ，如图所示：
则四边形 是平行四边形， 和 都是等腰直角三角形，∴ ， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
3．如图，在菱形 中， ，E是 上一点，连接 ，将 沿AE翻折，使点B落在
点F处，连接 ．若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：设 与 的交点为 ，设 ，则
由菱形的性质可得， ，
由折叠的性质可得， ，
则 ，
∴ 为等腰直角三角形， ，
∴ ，即 ，
在 中， ， ，
∴ ，，
，
故选：D
4．在 中， ， 都是锐角， ， ，则对 的形状最确切的判断是
（ ）
A．锐角三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形
【答案】B
【详解】解：由 ， ，得
， ．
．
则对 形状的判断最确切的是等腰直角三角形．
故选：B．
5．如图，已知直线l： ，过点 作y轴的垂线交直线l于点B，过点B作直线l的垂线交y轴
于点 ；过点 作y轴的垂线交直线l于点 ，过点 作直线l的垂线交y轴于点 ； ；按此作法继续
下去，则点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【详解】∵直线l的解析式为 ，设直线l与x轴的夹角为 ，
∴ ，即 ，
∴直线l与x轴的夹角为 ，
∵ 轴，
∴ ，
∵ ， 轴，
∴
∴ ，
∵ ，且
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵
∴ 轴，
∴ ，
∴
∵ ，且 ，
∴
∴
∴ ，
∴∴点 的坐标为 ．
故选：C．
6．如图，正方形 的对角线 相交于点O，点F是 上一点， 交 于点E，连接
交于点P，连接 ．则下列结论：① ；② ；③四边形 的面积是正
方形 面积的 ；④ ；⑤若 ，则 ．其中正确的结论有
（ ）个．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【详解】解：在正方形 中， ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，故①正确；
∵ ，∴点 四点共圆，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，故②正确；
在正方形 中， ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
则四边形 的面积是正方形 面积的 ，故③正确；
过点 作 ，交 于点 ，如下图：
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴∴ ，故④正确；
由 ，设 ，则
， ， ，
过点 作 ，如下图：
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，故⑤错误；
综上，正确的个数为4，
故选：C
二、填空题
7．计算： ______．
【答案】
【详解】原式
．
故答案为： ．
8．如图，在平行四边形 中， 平分 ，交 于点 ， 平分 ，交 于点 ，与 交于点 ，连接 ， ．若 ， ， ，则 的值为________．
【答案】
【详解】解：四边形 是平行四边形，
，
，
，
，
，
同理 ，
四边形 是菱形；
，
，
， ，
，
，
如图，过点 作 于 ，
， ，
，
，
在 中， ．
故答案为： ．
三、解答题9．计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：
（2）解：
10．如图，在矩形 中， ， ，对角线 、 交于点O，点M为线段 上一点，联结
，在 内部作射线 分别与线段 、线段 交于点N（不与点A、点D重合）、点P且
．
(1)当 时，求 的正切值；(2)射线 交射线 与点Q，若 ，求 的长；
(3)设线段 ， ，写出y关于x的函数解析式，并写出定义域．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∵四边形 为矩形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）如图，
∵ ， ， ，∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（3）如图，过点M作 于E，
即有 ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
当P点与D点重合时， 与 重合，
此时M点与C点重合，即有： ，
当P点与A点重合时，此时A、N、P三点重合， 的延长线交 于G点，如图，
∵ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵在矩形 中， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵点P不与点A、点D重合，
∴ ，
综上所述， ．
