文档内容
专题三 直角三角形边角关系的应用
本专题主要是根据直角三角形边角的关系，确定边长、角的度数以及三角
函数值等，此类问题是锐角三角函数解决实际问题中的一个过渡，通过本专题
的复习，应达到以下目标：能根据直角三角形中的边角关系，求边长、角的度
数以及锐角三角函数值等．
例1 如图1，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=45°，
∠C=120°，AB=8，则CD的长为（ ）．
A． B． C． D．
分析：求 CD 的长可构造直角三角形利用三角函数求解：如图 1，作
AF⊥BC ， 垂 足 为 F ， DE⊥BC ， 垂 足 为 E ， 则 根 据 已 知 条 件 可 求 出
DE=AF=AB·sinB，再根据三角函数求出CD的长．
解：作AF⊥BC于F，DE⊥BC并交BC的延长线于E．
在Rt△ABF中，因为AB=8，∠B=45°，
√2
AF=AB⋅sin45°=8× =4√2
2
所以 ，
所以 ．
在Rt△CDE中，
因为 ，
所以 ，故选A．
说明：在利用锐角三角函数求边长时，若所求的边不在直角三角形内，则
需将它转化到直角三角形中去，转化的途径比较多，如构造直角三角形或用已
知的直角三角形的边或角来代替．
例2 如图2，已知AD为等腰三角形ABC底边上的高，
1 / 3且 ，AC上有一点E，满足AE∶EC=2∶3．那么，
tan∠ADE是（ ）．
A． B． C． D．
分析：要求tan∠ADE值，需要构造包含∠ADE的直角三角形，为此需要过
点E作EF⊥AD，再求出 即可．
解：因为AD⊥BC，垂足为D，AB=AC，
所以∠BAD=∠CAD．
因为 ，∠B+∠CAD=90°，
所以 ．
作EF⊥AD交AD于F，则tan∠CAD ．
所以 ．
因为AD⊥BC，EF⊥AD，
所以EF∥CB．
又AE∶EC=2∶3，所以AF∶FD=2∶3．所以 ．
所以 ．故选C．
说明：当要求锐角三角函数值的角不在直角三角形内时，其解题思路是构
2 / 3造直角三角形或寻找等角．本题采用了构造直角三角形的方法．
专题训练：
1 ． 如 图 3 ， CD 是 Rt△ABC 斜 边 上 的 高 ， AC=4 ， BC=3 ， 则
cos∠BCD=_____．
2．如图4，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是高，AC= ，tan∠DAC=
，则AB=（ ）．
A．5 B． C． D．
3．如图5，在△ABC中，∠B=60°，BC=2，中线CD⊥BC，求AB，tanA的
值．
参考答案：
1． 2．A
3．因为∠B=60°，CD⊥BC，所以∠CDB=30°．
因为CB=2，所以DB=4，CD= ．
所以AD=4，AB=8．
作CE⊥BD，则CE= ，DE=3．
所以AE=7．所以tanA= ．
3 / 3
