文档内容
1.1 锐角三角函数
第 2 课时 正弦与余弦
1．理解正弦与余弦的概念；(重点)
2．能用正弦、余弦的知识，根据三角形中已知的边和角求出未知的边和角．(难点)
一、情境导入
如图，小明沿着某斜坡向上行走了13m，他的相对位置升高了5m.
如果他沿着该斜坡行走了20m，那么他的相对位置升高了多少？行走了am呢？
在上述情形中，小明的位置沿水平方向又分别移动了多少？
根据相似三角形的性质可知，当直角三角形的一个锐角的大小确定时，它的对边与斜
边的比值、邻边与斜边的比值也就确定了．
二、合作探究
探究点：正弦和余弦
【类型一】 直接利用定义求正弦和余弦值
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，求sinA，cosA.
解析：利用勾股定理求出AC，然后根据正弦和余弦的定义计算即可．
解：由勾股定理得AC＝＝＝12，sinA＝＝，cosA＝＝.
方法总结：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为
对边比邻边，熟记三角函数的定义是解决问题的关键．
【类型二】 已知一个三角函数值求另一个三角函数值
如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在BC上，AD＝BC＝5，cos∠ADC＝，求
sinB的值．
解析：先由AD＝BC＝5，cos∠ADC＝及勾股定理求出AC及AB的长，再由锐角三角
函数的定义解答．
解：∵AD＝BC＝5，cos∠ADC＝，∴CD＝3.在Rt△ACD中，∵AD＝5，CD＝3，
∴AC＝＝＝4.在Rt△ACB中，∵AC＝4，BC＝5，∴AB＝＝＝，∴sinB＝＝＝ .
方法总结：在不同的直角三角形中，要根据三角函数的定义，分清它们的边角关系，结合勾股定理是解答此类问题的关键．
【类型三】 比较三角函数的大小
sin70°，cos70°，tan70°的大小关系是( )
A．tan70°＜cos70°＜sin70°
B．cos70°＜tan70°＜sin70°
C．sin70°＜cos70°＜tan70°
D．cos70°＜sin70°＜tan70°
解析：根据锐角三角函数的概念，知sin70°＜1，cos70°＜1，tan70°＞1.又cos70°＝
sin20°，锐角的正弦值随着角的增大而增大，∴sin70°＞sin20°＝cos70°.故选D.
方法总结：当角度在0°<∠A<90°间变化时，0cosA>0.当角度在45°＜∠A＜
90°间变化时，tanA＞1.
【类型四】 与三角函 数有关的探究性问题
在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为BC边(除端点外)上的一点，设∠ADC＝α，∠B
＝β.
(1)猜想sinα与sinβ的大小关系；
(2)试证明你的结论．
解析：(1)因为在△ABD中，∠ADC为△ABD的外角，可知∠ADC＞∠B，可猜想sinα＞
sinβ；(2)利用三角函数的定义可求出sinα，sinβ的关系式即可得出结论．
解：(1)猜想：sinα＞sinβ；
(2)∵∠C＝90°，∴sinα＝ ，sinβ＝ .∵AD＜AB，∴＞，即sinα＞sinβ.
方法总结：利用三角函数的定义把两角的正弦值表示成线段的比，然后进行比较是解
题的关键．
【类型五】 三角函数的综合应用
如图，在△ABC中，AD是BC上的高，tanB＝cos∠DAC.
(1)求证：AC＝BD；
(2)若sinC＝，BC＝36，求AD的长．
解析：(1)根据高的定义得到∠ADB＝∠ADC＝90°，再分别利用正切和余弦的定义得到
tanB＝，cos∠DAC＝，再利用tanB＝cos∠DAC得到＝，所以AC＝BD；(2)在Rt△ACD中，
根据正弦的定义得sinC＝＝，可设AD＝12k，AC＝13k，再根据勾股定理计算出CD＝5k，
由于BD＝AC＝13k，于是利用BC＝BD＋CD得到13k＋5k＝36，解得k＝2，所以AD＝24.
(1)证明：∵AD是BC上的高，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.在Rt△ABD中，tanB＝，在
Rt△ACD中，cos∠DAC＝.∵tanB＝cos∠DAC，∴＝，∴AC＝BD；
(2)解：在Rt△ACD中，sinC＝＝.设AD＝12k，AC＝13k，∴CD＝＝5k.∵BD＝AC＝
13k，∴BC＝BD＋CD＝13k＋5k＝36，解得k＝2，∴AD＝12×2＝24.
三、板书设计
正弦与余弦
1．正弦的定义
2．余弦的定义
3．利用正、余弦解决问题本节课的教学设计以直角三角形为主线，力求体现生活化课堂的理念，让学生在经历“问
题情境——形成概念——应用拓展——反思提高”的基本过程中，体验知识间的内在联系
让学生感受探究的乐趣，使学生在学中思，在思中学．在教学过程中，重视过程，深化理
解，通过学生的主动探究来体现他们的主体地位，教师是通过对学生参与学习的启发、调
整、激励来体现自己的引导作用，对学生的主体意识和合作交流的能力起着积极作用.
