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专题 28.6 锐角三角函数值与锐角关系（知识讲解）
【学习目标】
会运用有关解直角三角形的知识解决实际生活中存在的解直角三角形问题．
【要点梳理】
锐角三角函数之间的关系
如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．
(1)互余关系： ， ；
(2)平方关系： ；
(3)倒数关系： 或 ；
(4)商数关系： ．
要点诠释：
锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的
计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便．
【典型例题】
类型一、求证同角三角函数关系式
1．①sin2A+cos2A=________，②tanA•cotA=________．
【答案】 1 1
解：如图，设Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为 ，
则sinA= ，cosA= ，tanA= ，cotA= ， ，
∴（1）sin2A+cos2A= ；
（2）tanA•cotA= .【点拨】解答本题的要点是：画出符合要求的图形，结合锐角三角形函数的定义和勾
股定理进行推理计算即可得到答案.
举一反三：
【变式1】下列结论中（其中 ， 均为锐角），正确的是___________．（填序号）
① ；② ；③当 时， ；
④ ．
【答案】①③④
【分析】根据同角三角函数关系及锐角三角函数的增减性进行判断即可．
解：①如图，在 中，
∵ ， ，
∴ ，故①正确；
②若 ，则 ，
，
∴
∴ ，故②错误；③当 时， ，
∴ 越大，对边越大，且越接近斜边，
∴ 越大，
∴当 时， ，故③正确；
④∵ ， ， ，
∴ ，故④正确．
故答案为：①③④．
【点拨】本题考查了同角三角函数的关系及锐角三角函数的增减性，掌握锐角三角函
数的概念是解题的关键．
【变式2】已知： ， ，
，请你根据上式写出你发现的规律________．
【答案】
【分析】从角度的倍数关系方面考虑并总结写出结论．
解：根据题意发现：同一个角正弦与余弦的积等于这个角的2倍的正弦的一半，
规律为： .
故答案为 .
【点拨】本题考点：同角三角函数的关系.
类型二、利用同角三角函数关系求值
2．已知 ，求 的值．
【答案】
【分析】首先根据同角的三角函数关系进行变形，得到 ，然后对原式进
行替换求解即可．
解：∵ ，
∴ ，∴ ．
【点拨】本题考查同角的三角函数关系，锐角三角函数的混合运算，理解基本定义，
熟练运用整体代入思想是解题关键．
举一反三：
【变式1】计算：
（1） ； （2） ．
【答案】（1） ；（2）2.
【分析】(1)根据特殊角的三角函数值计算即可；
(2)根据直角三角形中tanA= ，sin2A+cos2A=1，sinA=cosB计算.
解： 原式 ；
原式
.
故答案为（1） ；（2）2.
【点拨】本题考查了三角函数值的计算.
【变式2】求证：若 为锐角，则 ．要求：
(1)如图，锐角 和线段 ，用尺规作出一个以线段 为直角边， 为内角， 为
的 （保留作图痕迹，不写作法）．
(2)根据（1）中所画图形证明该命题．
【答案】(1)见分析(2)见分析
【分析】（1）作线段 ，过点 作 ，作 ，射线 ，交
于点 ， 即为所求；
（2）利用勾股定理，三角函数的定义证明即可．（1）解：如图， 即为所求．
（2）证明： ，
，
， ，
．
【点拨】本题考查了作一个角等于已知角、作垂线、作三角形、勾股定理、三角函数，
熟练掌握勾股定理和三角函数是解题关键．
类型三、互余两角的三角函数的关系
3． 如图，已知BE、CF分别是△ABC的边AC、AB上的高，联结EF．
（1）求证：△AEF∽△ABC；
（2）如果sinA＝ ，求 的值．
【答案】（1）见分析；（2）
【分析】（1）先求证 ，得到 ，再根据 ，即可求证；（2）根据三角函数的定义以及关系，求得 的值，即可求解．
解：（1）∵BE、CF分别是△ABC的边AC、AB上的高
∴
又∵
∴
∴ ，即
又∵
∴
（2）在 ， ，
由锐角三角函数关系可得： ，即
由（1）得，
∴
【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质以及三角函数的定义和关系，熟练掌握
相似三角形的判定与性质以及三角函数的定义和关系是解题的关键．
举一反三：
【变式1】在 中， ， 与 有什么关系？
【答案】
【分析】利用锐角三角函数关系得出 ， ，进而求出即可．
解：在 中， ，
∴ ， ，
∴ ，
答： ．
【点拨】本题考查了互余两角三角函数的关系，解题的关键是正确记忆一个角的正弦
等于它余角的余弦．
【变式2】已知 ABC中，∠A＝90°，sinB和cosC是方程9x2－mx＋1＝0的两个根，
m=_________． △【答案】
【分析】根据 中， ，可得 ，即有 ,则方程
有两个相等的实数根， 是一个完全平方式，据此求解即可．
解： 中， ，
∴
∴ ,
则方程 有两个相等的实数根，
∴ 是一个完全平方式，
∴
∴ ，
∴ ，
故答案是： ．
【点拨】本题考查了锐角三角函数的性质，完全平方公式的应用，一元二次方程的性
质等知识点，熟悉相关性质是解题的关键．
类型四、三角函数综合
4．如图12，在 中， .
（1）利用尺规作线段 的垂直平分线 ，垂足为 ，交 于点 ；（保留作
图痕迹，不写作法）
（2）若 的周长为 ，先化简 ，再求 的值．
【答案】（1）详见分析；（2）
试题分析：（1）尺规作图——作线段的垂直平分线；（2）化简求值，利用三角函数
求其余两边的长度．
解：（1）如下图所示：（2）
,
考点：线段的垂直平分线的尺规作图；在直角三角形中利用三角函数求边长.
举一反三：
【变式1】如图，一枚运载火箭从距雷达站C处5km的地面O处发射，当火箭到达点
A，B时，在雷达站C处测得点A，B的仰角分别为34°，45°，其中点O，A，B在同一条
直线上．求AC和AB的长（结果保留小数点后一位）（参考数据：sin34°≈0.56；
cos34°≈0.83；tan34°≈0.67）
【答案】AC= 6.0km，AB= 1.7km；
【分析】在Rt△AOC, 由∠的正切值和OC的长求出OA, 在Rt△BOC, 由∠BCO的大
小和OC的长求出OA,而AB=OB-0A,即可得到答案．
解：由题意可得：∠AOC=90°，OC=5km．在Rt AOC中，
△
∵AC= ，
∴AC= ≈6.0km，
∵tan34°= ，
∴OA=OC•tan34°=5×0.67=3.35km，
在Rt BOC中，∠BCO=45°，
∴OB=△OC=5km，
∴AB=5﹣3.35=1.65≈1.7km．
答：AC的长为6.0km，AB的长为1.7km．
【点拨】本题主要考查三角函数的知识．
【变式2】如图，C地在A地的正东方向，因有大山阻隔，由A地到C地需要绕行B
地，已知B位于A地北偏东67°方向，距离A地520km，C地位于B地南偏东30°方向，若
打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求A地到C地之间高铁线路的长（结果保留整数）
（参考数据： ）
【答案】596km
试题分析：作BD⊥AC于点D，利用sin67°和AB=520，求AD=480；利用cos67°和
AB=520，求BD=200；最后利用tan30°和BD=200，求CD=116；最终得到AC的长.
解：如图，作BD⊥AC于点D，在Rt△ABD中，∠ABD=67°
，
∴
∴
在Rt△BCD中，∠CBD=30°
，
∴
∴
答：AC之间的距离约为596km．
考点：三角函数的应用
