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专题 28.7 锐角三角函数值与锐角关系（专项练习）
一、单选题
1．在 中，∠C=90°， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
2．已知： ，则锐角 等于（ ）
A． B． C． D．以上结论都不对
3．在 ， ， ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
4．在Rt ABC中，∠C＝90°，则tanA·tanB等于( )
A．0 △ B．1 C．－1 D．不确定
5．如图， ABC中，AB=25，BC=7，CA=24．则sinA的值为（ ）
△
A． B． C． D．
6．⊿ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，下列比值中不等于 的是（ ）
A． B． C． D．
7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝ ，则sinB的值为( )
A． B． C． D．
8．在 中， ， ，那么 的值等于（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在平面直角坐标系系中，直线y=kx+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，
1与反比例函数y= 在第一象限内的图象交于点B，连接BO．若S =1，tan∠BOC=
OBC
△
，则k 的值是（ ）
2
A．﹣3 B．1 C．2 D．3
10．如图，在正方形 中，对角线 与 相交于点 ，点 在 的延长线上，
连接 ，点 是 的中点，连接 交 于点 ，连接 ，若 ， ．则
下列结论：① ；② ；③ ；④ ；⑤点
D到CF的距离为 ．其中正确的结论是（ ）
A．①②③④ B．①③④⑤ C．①②③⑤ D．①②④⑤
二、填空题
11．已知 为锐角，且 ，则 ______．
12．已知：∠A+∠B＝90°，若sinA= ，则cosB＝__________.
13．如图， 的顶点 的坐标分别是 ，且 ，
则顶点A的坐标是_____．14．已知：tanx=2，则 ＝____.
15．如图，在Rt ABC中，∠A=90°，AD⊥BC，垂足为D．给出下列四个结论：
①sinα=sinB；②sinβ△=sinC；③sinB=cosC；④sinα=cosβ.其中正确的结论有_____.
16．如图，在菱形 中， ，对角线 、 相交于点 ，点 在
线段 上，且 ，点 为线段 上的一个动点，则 的最小值是______．
17．如图，在 中． ，点 是边 上一动点．
连接 ，将 沿 折叠，点 落在 处，当点 在 内部（不含边界）时，
长度的取值范围是___________．
18．如图，在平面直角坐标系中， 斜边上的高为1， ，将绕原点顺时针旋转 得到 ，点A的对应点C恰好在函数 的图象上，
若在 的图象上另有一点M使得 ，则点M的坐标为_________．
三、解答题
19．求值：
(1) ；
已知 ，求 的值．
20．（1）已知3tanα﹣2cos30°=0，求锐角α；
（2）已知2sinα﹣3tan30°=0，求锐角α．
21．如图，在△ABC中，BA=BC，BD平分∠ABC交AC于点D，点E在线段BD上，
点F在BD的延长线上，且DE=DF，连接AE，CE，AF，CF．
(1) 求证：四边形AECF是菱形；
(2) 若BA⊥AF，AD=4， ，求BD和AE的长．22．如图，已知BE、CF分别是△ABC的边AC、AB上的高，联结EF．
（1）求证：△AEF∽△ABC；
（2）如果sinA＝ ，求 的值．
23．如图，点P为函数 与函数 图象的交点，点P的纵坐标为
4， 轴，垂足为点B．（1）求m的值；
（2）点M是函数 图象上一动点，过点M作 于点D，若
，求点M的坐标．
24．如图所示，已知正方形 的顶点 为正方形 对角线 的交点，
连接 ．
（1）求证： ；
（2）若 ，正方形 的边长为2，线段 与线段 相交于点 ，
，求正方形 的边长．参考答案
1．D
【分析】根据锐角三角函数的定义和勾股定理求解即可．
解：在Rt ABC中，∠C=90°，
△
∵sinA= = ，设BC=3x，则AB=5x，
∵BC2+AC2=AB2 ∴AC=4x．
∴tanB= ＝ ＝ ．
故选D．
【点拨】本题考查了求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设
参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．
2．A解：∵sin2α+cos2α=1，α是锐角，
∴α=32°．
故选A．
3．B
【分析】根据互余两角三角函数的关系：sin2A+sin2B=1解答．
解：∵在Rt△ABC中,∠C=90 ，
∴∠A+∠B=90 ，
∴sin2A+sin2B=1，sinA>0，
∵sinB= ，
∴sinA= = .
故选B.
【点拨】本题考查互余两角三角函数的关系.
4．B
【分析】根据正切函数的定义，利用△ABC的边表示出两个三角函数，即可求解．
解：
故选B．
【点拨】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边
比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
5．A
【分析】根据勾股定理逆定理推出∠C=90°，再根据 进行计算即可；
解：∵AB=25，BC=7，CA=24，
又∵ ，
∴ ，
∴ ABC是直角三角形，∠C=90°，
△
∴ = ；
故选A.
【点拨】本题主要考查了锐角三角函数的定义，勾股定理逆定理，掌握锐角三角函数的定义，勾股定理逆定理是解题的关键.
6．D
【分析】根据题意，画出图形，根据正切的定义和同角的正切值相同即可得出结论．
解：如下图所示
在Rt 中， = ，故A不符合题意；
在Rt 中， = ，故B不符合题意；
∵∠A＋∠ACD=90°，∠BCD＋∠ACD=90°
∴∠A=∠BCD
∴ =tan∠BCD= ，故C不符合题意；
≠ ，故D符合题意．
故选D．
【点拨】此题考查的是正切，掌握正切的定义和同角的正切值相同是解决此题的关键．
7．D
【分析】根据互为余角的两个角的三角形函数之间的关系求解．
解：因为∠A＋∠B＝90°，
所以sinB＝cosA，
所以sinB＝ ．
故选D
【点拨】本题考查了互为余角的三角函数间的关系，如果∠A＋∠B＝90°，则sinA＝
cosB，sinB＝cosA
8．A
【分析】根据∠A+∠B=90°得出cosB=sinA，代入即可．
解：∵∠C=90°，sinA= ．又∵∠A+∠B=90°，∴cosB=sinA= ．
故选A．
【点拨】本题考查了互余两角三角函数的关系，注意：已知∠A+∠B=90°，能推出
sinA=cosB，cosA=sinB，tanA=cotB，cotA=tanB．
9．D
解：试题分析：先求得直线y=kx+2与y轴交点C的坐标为（0，2），然后根据
1
△BOC的面积求得BD的长为1，然后利用∠BOC的正切求得OD的长为3,，从而求得点
B的坐标为（1，3），代入y= 求得k=3．故答案选D.
2
考点：反比例函数与一次函数的交点问题．
10．C
【分析】由题意易得 ，
①由三角形中位线可进行判断；②由△DOC是等腰直角三角形可进行判断；③根据三角函
数可进行求解；④根据题意可直接进行求解；⑤过点D作DH⊥CF，交CF的延长线于点
H，然后根据三角函数可进行求解．
解：∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∵点 是 的中点，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，则 ，
∵OF∥BE，
∴△DGF∽△DCE，
∴ ，
∴ ，故①正确；∴点G是CD的中点，
∴OG⊥CD，
∵∠ODC=45°，
∴△DOC是等腰直角三角形，
∴ ，故②正确；
∵CE=4，CD=8，∠DCE=90°，
∴ ，故③正确；
∵ ，
∴ ，
∴ ，故④错误；
过点D作DH⊥CF，交CF的延长线于点H，如图所示：
∵点F是CD的中点，
∴CF=DF，
∴∠CDE=∠DCF，
∴ ，
设 ，则 ，
在Rt△DHC中， ，
解得： ，
∴ ，故⑤正确；∴正确的结论是①②③⑤；
故选C．
【点拨】本题主要考查正方形的性质、相似三角形的性质与判定及三角函数，熟练掌
握正方形的性质、相似三角形的性质与判定及三角函数是解题的关键．
11．
【分析】根据 ，设出关于两边的代数表达式，再根据勾股定理求出第三边长
的表达式即可推出 的值．
解：∵ ， ，
∴ ，
又∵ 为锐角，
∴ .
故答案为： .
【点拨】此题考查了同角三角函数的知识，求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三
角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关
系式求三角函数值．
12．
【分析】根据∠A+∠B＝90°，判定三角形ABC为直角三角形，则根据互余两角的三角
函数的关系求解即可.
解：由∠A+∠B＝90°，sinA＝ ，得：cosB＝sinA＝ ，
故答案为 ．
【点拨】本题考查了互余两角的三角函数的关系的应用，注意：在△ACB中，
∠A+∠B＝90°，则∠C=90°，则sinA=cosB，cosA=sinB，tanA=cotB，cotA=tanB．
13．
【分析】根据 的坐标求得 的长度, ， 利用30度角所对的直角边等于斜边的一半，求得 的长度，即点 的横坐标，易得 轴，则 的纵坐标即
的纵坐标．
解： 的坐标分别是
轴
．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了含30°角的直角三角形，用到的知识点有特殊角的三角函数，在
直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半，熟记特殊角的三角函数是解题的关
键．
14．
解：分子分母同时除以cosx，原分式可化为： ，
当tanx=2时，原式= ．
故答案为 ．
15．①②③④
【分析】根据∠A=90°，AD⊥BC，可得∠α=∠B，∠β=∠C，再利用锐角三角函数的定
义可列式进行逐项判断．
解：∵∠A=90°，AD⊥BC，
∴∠α+∠β=90°，∠B+∠β=90°，∠B+∠C=90°，
∴∠α=∠B，∠β=∠C，
∴sinα=sinB，故①正确；sinβ=sinC，故②正确；
∵在Rt ABC中sinB= ，cosC= ，
△
∴sinB=cosC，故③正确；
∵sinα=sinB，cos∠β=cosC，
∴sinα=cos∠β，故④正确；
故答案为①②③④．
【点拨】本题主要考查锐角的三角函数，解题的关键是熟练掌握互余两角的三角函数
间的关系．
16．
【分析】过M点作MH垂直BC于H点，与OB的交点为P点，此时 的长度
最小为MH，再算出MC的长度， 在直角三角形MPC中利用三角函数即可解得MH
解：过M点作MH垂直BC于H点，与OB的交点为P点，此时 的长度最小
∵菱形 中，
∴AB=BC=AC=10，△ABC为等边三角形
∴∠PBC=30°，∠ACB=60°
∴在直角△PBH中，∠PBH=30°
∴PH=
∴此时 得到最小值，
∵AC=10，AM=3,
∴MC=7
又∠MPC=60°
∴MH=MCsin60°=
故答案为：【点拨】本题主要考查了菱形的性质与三角函数，能够找到最小值时的P点是解题关
键.
17．
【分析】分别求出当 落在AC和BC上时 的长度即可.
解：∵∠ABC=90°，AB=2，BC=4，
∴ ，
当点 落在AC上时，如图，
∵将△ABD沿BD折叠，点A落在 处，
∴∠ADB= =90°，
∵ ，
∴ ，
当点 落在BC上时，如图，过点D作DH⊥AB于H，∵将△ABD沿BD折叠，点A落在 处，
∴∠ABD=∠DBC=45°，
∵DH⊥AB，
∴∠HDB=∠HBD=45°，
∴BH=DH，
∵ ，
∴HD=2AH=BH，
∵AB=AH+BH=2AH+AH=2，
∴ ， ，
∴ ，
∴当点 在△ABC内部（不含边界）时，AD长度的取值范围为 ．
【点拨】本题考查折叠问题，解题的关键是考虑两种极端情况．还可以利用相似来解
题．
18．
【分析】利用 的正切可以求出C点坐标，再利用C、M在 上，设M的
坐标，最后通过 可以求出M点的坐标．
解：如图，过点 作 轴，过点 作 轴，
由题意可知 ，
则 ，C在 上，
设即 解得 （不符合题意，舍去）
所以
故答案为： ．
【点拨】本题考查了直角三角形的性质，特殊角的锐角三角函数，反比例函数性质，
正确理解题意，求出C点的坐标是解决问题的关键．
19．（1）0；（2） .
【分析】（1）根据特殊角的三角函数值及互余两角三角函数值相互间的关系计算．
（2）根据同角三角函数值相互间的关系计算．
解：（1）原式 （ ）2﹣1 1=0；
（2）∵tanA=2，∴ =2，∴sinA=2cosA，∴原式= = = ．
【点拨】本题考查了特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常
出现，题型以选择题、填空题为主．
20．（1）α=30°；（2）α=60°．
【分析】（1）先求出tanα的值，然后求出角的度数；
（2）先求出sinα的值，然后求出角的度数．
解：（1）解得：tanα= ，
则α=30°；（2）解得：sinα= ，
则α=60°．
【点拨】本题考查了特殊角的三角函数值，解题的关键是掌握几个特殊角的三角函数
值．
21．(1)见分析(2)
【分析】（1）由等腰三角形的性质得到 ，再由菱形的判定定理即
可得到结论；
（2）先求出 ，由勾股定理得出BD的长度，解直角三角形求出AF的长度，
再由菱形的性质即可求解．
解：（1） BA=BC，BD平分∠ABC
DE=DF
四边形AECF是菱形；
（2） ，BA⊥AF
，BA=BC
AD=4
在 中，
四边形AECF是菱形【点拨】本题考查了等腰三角形的性质、菱形的判定和性质、勾股定理及利用同角的
三角函数关系求值，熟练掌握知识点是解题的关键．
22．（1）见分析；（2）
【分析】（1）先求证 ，得到 ，再根据 ，即可求证；
（2）根据三角函数的定义以及关系，求得 的值，即可求解．
解：（1）∵BE、CF分别是△ABC的边AC、AB上的高
∴
又∵
∴
∴ ，即
又∵
∴
（2）在 ， ，
由锐角三角函数关系可得： ，即
由（1）得，
∴
【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质以及三角函数的定义和关系，熟练掌握
相似三角形的判定与性质以及三角函数的定义和关系是解题的关键．
23．（1）24；（2）M点的坐标为
【分析】(1)根据交点坐标的意义，求得点P的横坐标，利用k=xy计算m即可；
（2）利用分类思想，根据正切的定义，建立等式求解即可.
解：（1）∵点P纵坐标为4，
∴ ，解得 ，∴ ，
∴ ．
（2）∵ ，
∴ ，
设 ，则 ，
当M点在P点右侧，
∴M点的坐标为 ，
∴（6+2t）（4-t）=24，
解得： ， （舍去），
当 时， ，
∴M点的坐标为 ，
当M点在P点的左侧，
∴M点的坐标为 ，
∴（6-2t）（4+t）=24，
解得： ， ，均舍去．
综上，M点的坐标为 ．
【点拨】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数解析式的确定，
三角函数，一元二次方程的解法，熟练掌握函数图像交点的意义，灵活运用三角函数的定
义，构造一元二次方程并准确解答是解题的关键．24．(1)见分析;(2) .
【分析】（1）由正方形 与正方形 ，对角线 ，可得
，
，即可证得 ，因 ，则可利用“边角
边”即可证两三角形全等
（2）方法一：过点 作 交 于点 ，由于 ，由可得
长，从而求得 ，即可求得 ，再通过 ，易证得 ，则有
，求得 即为正方形 的边长;
方法二：因为DG⊥BD，利用同旁内角互补证DG∥OA，进而得 DMG∽ AMO。由
DM和AM的长得相似比，再由OA的长求DG.最后在 ODG中根据△勾股定理△求OG.
解：（1）∵正方形 与正方形 ，对角△线 ，
∴ ， ， , ,
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴在 和 中，
，
∴ .
（2）方法一：如图，过点 作 交 于点 ，∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴在 中，由勾股定理得:
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，得 ，
则正方形 的边长为 .
方法二：
∵ ，
∴ ，
∴
∵DG⊥BD，∴ ，
又∵ ,
∴ ,
∴DG∥OA，
∴ ,
又∵ ,
∴ ，
∴ ，
∴GD= ，
∴在 中，由勾股定理得:
∴ ，
∴正方形 的边长为 .
【点拨】本题主要考查对正方形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性
质和判定，比例的性质，勾股定理等知识点的理解和掌握，解决问题的关键是正确的运用
相似三角形的性质和判定．
