文档内容
专题07 图形的相似（难点）
一、单选题
1．如图，在矩形 中，点 ， ， 分别在边 ， ， 上，四边形 由两个正方形组成，
若 ，则线段 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据矩形的性质可得∠B=∠A=90°，∠FEH=90°，∠EFG=90°，可证∠BFE=∠AEH，
△BEF∽△AHE，可得 ，求出AE，根据勾股定理EH= ，再证△GFC∽△BEF，根据相似传递性
△GFC∽△AHE， 即 即可，
【解析】解：在矩形 中，∠B=∠A=90°，四边形 由两个正方形组成是矩形
∴∠FEH=90°，∠EFG=90°，
∴∠BFE+∠BEF=∠BEF+∠AEH=90°，
∴∠BFE=∠AEH，
∴△BEF∽ AHE，
△
∴ ，
∴ ，
∴AE=1，
在Rt AEH中，AE=1，AH=2，
△
EH= ，
∵∠FGC=∠GFE=90°，
1∴∠CFG+∠FCG=∠CFG+∠BFE，
∴△GFC∽△BEF，
∵ BEF∽ AHE，
∴△GFC∽△AHE，
△ △
∴ ，
∵EH=FG= ，
∴ 即 ，
∴BC=BF+FC=2+ 4.5．
故选择B．
【点睛】本题考查矩形的性质，正方形性质，三角形相似的判定与性质，勾股定理，掌握矩形的性质，正
方形性质，三角形相似的判定与性质，勾股定理是解题关键．
2．如图， 与 均为等边三角形，O为 的中点，点D在边 上，则 的值为
（ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】A
【分析】连接 、 ，由已知可以推出 ，推出 ，根据锐角三角函数即可推
出 的值．
【解析】解：连接 、 ，
2与 均为等边三角形， 为 、 的中点，
， ， ， ，
，
，
即 ，
，
．
故选： ．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定及性质、等边三角形的性质，本题的关键在于找到需要证相似
的三角形，找到对应边的比即可．
3．四巧板是一种类似七巧板的传统智力玩具，它是由一个长方形按如图1分割而成，这几个多边形的内角
除了有直角外，还有 角．小明发现可以将四巧板拼搭成如图2的 字形和 字形，那么 字
形图中高与宽的比值 为（ ）
A． B． C． D．
3【答案】C
【分析】根据图1与图2的拼图结果先得出线段间的相等关系，求得h与l，此题即可得解．
【解析】解：如图，图1由一个长方形分割而成，且图中只有 角，
则根据题意可知：a∥b，
∴a＝b，
由图2可知c＝2a，
∴l＝a＋b＝2a，h＝ a＋2a，
．
故选：C．
【点睛】此题考查了几何变换，解题的关键是弄清题意，能从图形中找出线段间关系．
4．如图，在矩形 中，线段 ， 分别平行于 ， ，它们相交于点 ，点 ， 分别在线
段 ， 上， ， ，连接 ， ，相交于点 ．已知 ，
，则 的值为（ ）
4A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据 ，设AB=5x， BC=6x，求出AE= ，AH= ，EB= ，HD=
=4x，根据线段 ， 分别平行于 ， ，可证四边形AHIE，四边形HDGI，四边形EIFB均为矩形，
可得IN=HI=AE= ，IM=IE=AH=2x，IF=EB= ，IG=HD=4x，根据 ， ，可得
即 ，可证 NIF∽△MIG，再证 MPF∽△NPG，可得 ．
△ △
【解析】解：∵ ，
设AB=5x， BC=6x，
∵
∴AE= ，AH= ，
∴EB=AB-AE= ，HD=AD-AH=6x-2x=4x，
∵线段 ， 分别平行于 ， ，
∴∠DHI=∠A=∠AHI=∠D=∠BEI=∠AEI=∠B=90°
∴四边形AHIE，四边形HDGI，四边形EIFB均为矩形，
∴IN=HI=AE= ，IM=IE=AH=2x，IF=EB= ，IG=HD=4x，
∵ ， ，
∴ 即 ，
又∵∠MIG=∠NIF，
∴△NIF∽△MIG，
∴∠IFN=∠IGM，
5又∠MPF=∠GPN，
∴△MPF∽△NPG，
．
故选择B．
【点睛】本题考查线段的比，矩形判定与性质，三角形相似判定与性质，掌握线段的比时常常设比例份数
为x，用x表示一系列线段，矩形判定与性质，三角形相似判定与性质，根据相似得出
是解题关键．
5．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P从A点出发，按A→B→C的方向在AB和BC上移动，记
PA=x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
6【分析】①点P在AB上时，点D到AP的距离为AD的长度，②点P在BC上时，根据同角的余角相等求出
∠APB=∠PAD，再利用相似三角形的列出比例式整理得到y与x的关系式，从而得解．
【解析】①点P在AB上时，0≤x≤3，点D到AP的距离为AD的长度，是定值4；
②点P在BC上时，3＜x≤5，
∵∠APB+∠BAP=90°，
∠PAD+∠BAP=90°，
∴∠APB=∠PAD，
又∵∠B=∠DEA=90°，
∴△ABP∽△DEA，
∴ = ，
即 ，
∴y= ，
纵观各选项，只有B选项图形符合，
故选B．
6．“化积为方”是一个古老的几何学问题，即给定一个长方形，作一个和它面积相等的正方形，这也是
证明勾股定理的一种思想方法．如图所示，在矩形 中，以 为边做正方形 ，以 为斜边，
作 使得点在 的延长线上，过点 作 交 于 ，再过 点作 于 ，连结
交 于 ，记四边形 ，四边形 的面积分别为 ，若 ， ，则
为（ ）
7A． B． C． D．
【答案】B
【分析】通过说明△ADE≌△MDG，得出AE＝GM，DE＝DG．利用△DMG～△GMC得出比例式，求得
CM；利用S−S＝15，得到S EDC−S CMHB＝15，列出方程，解方程，结论可得．
1 2 矩形
△
【解析】解：∵四边形AHMD为正方形，
∴DM＝DA＝7，∠ADM＝90°．
∵DG⊥DE，
∴∠GDE＝90°．
∴∠ADE＋∠EDM＝90°，∠GDM＋∠CDM＝90°．
∴∠ADE＝∠GDM．
∵∠A＝90°，∠DMG＝90°，
∴∠A＝∠DMG．
∴△ADE≌△MDG（ASA）．
∴DE＝DG，AE＝GM．
∴四边形DEFG为正方形．
设AE＝x，则GM＝x．
在Rt△ADE中，DE＝ ＝ =
∵∠DGC＝90°，
∴∠DGM＋∠CGM＝90°．
∵GM⊥CD，
∴∠DMG＝∠GMC＝90°．
∴∠CGM＋∠GCM＝90°．
8∴∠DGM＝∠GCM．
∴△DMG～△GMC．
∴ ，
∴CM＝ ．
∵S−S＝15，
1 2
∴（S ＋S CMN）−（S＋S CMN）＝15．
1 2
△ △
即S EDC−S CMHB＝15．
矩形
△
∴ ×CD×AD−CM×MH＝15．
∴ ×AD×（CM＋DM）−CM×AD＝15．
∴ ×7×（7＋ ）−7× ＝15．
解得：x＝± （负数不合题意，舍去）．
∴x＝ ．
∴DG＝AE＝ = =2
故选：B．
【点睛】本题主要考查了矩形，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用，相似三角形
的判定和性质．利用相似三角形的性质得出比例式是表示线段长度的重要方法．
7．如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E． 若 ，则下列结论中正确的是（ ）
① ② 与 的周长比为
③ ④
9A．③④ B．①②③
C．①②④ D．①②③④
【答案】C
【分析】根据相似三角形可得①②正确，由四点共圆可知③不符合题意，面积比转化成边长比可得④正确．
【解析】解：∵ ，
∴
∴
∴①正确；相似三角形周长比等于相似比，②正确
∵ ，且△BDC和△BAC共有底BC
∴得到A，B，C，D四点共圆；
若 ，则 ，则AB=AC，但题目中并没有告诉这个条件，所以③不一
定正确；
∵△ABE和△ADE共有高，
∴ ，
∵△CBE和△CDE共有高，
∴
∴ 即， ，故 ④正确；
①②④正确，选C.
【点睛】此题主要考查了相似三角形的判断及其性质，解决本题的关键是合理作辅助圆，熟练掌握相似三
角的性质定理．
8．几千年来，在勾股定理的多种证明方法中，等面积法是典型的一种证法，清代数学家李锐运用这一方
法借助三个正方形也证明了勾股定理．如图，四边形 ，四边形 ，四边形 均为正方形，
10交 于点 交 于点K，点 在同条直线上，若 ， ，记四边形
的面积为 ，四边形 的面积为 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由 ，设 ，则 ，证明 ，由图建立关于 的方程解
得 ，作 ， ，证明 ，得出 ，此时只需算出四边形 、
的面积即可计算 的值．
【解析】解： ，
，
又 ，
，
又 ，
，
，
，
11设 ，则 ，
由已知： ， ， ，
，
，
又 ，
，
解得 ，检验是方程的解，
， ，
作 ， ，四边形 、 、 、 是矩形，
， ，
，
，
，
，
，
，
又 ， ，
，
，
，
，
12，
，
故选 ．
【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形相似、全等的判定与性质；能利用正方形的性质证明三角形全
等、相似，能利用参数构建方程是解决本题的关键．
9．如图，菱形 和菱形 在同一条直线上， ， ， ，连接AF，
H为 的中点，连接 ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【分析】证 是等边三角形， ，利用两边对应成比例且夹角相等证明 ，推出
，再利用勾股定理求解即可．
【解析】解：连接 与 的延长线交于点I，连接 交 于点 ， 的延长线交 于点J，
13∵菱形 和菱形 在同一条直线上， ，
∴ ， ，
∴ 是等边三角形， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵H为 的中点，
∴点H与点 重合，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选：B．
【点睛】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，证明 是解题的关键．
1410．如图，在正方形 中，点 是边 的中点，连接 、 ，分别交 、 于点 、 ，过
点 作 交 的延长线于 ，下列结论正确的有：（ ）
① ；② ；③若四边形 的面积为4，则该正方形 的面积为36；④
．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】连接OE、AF，①利用四点共圆证明∠AFP＝∠ABP＝45°即可；②设BE＝EC＝a，求出AE，OA
即可解决问题；③利用相似三角形的性质计算求得正方形ABCD的面积为48；④利用相似三角形的性质证
明即可．
【解析】解：如图，连接OE、AF
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 四点共圆，
∴ ，
15∴ ，
∴ ，故①正确，
设 ，则由勾股定理可得： ， ，
∴ ，即 ，故②正确，
根据对称性可知， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故③错误，
∵
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故④正确，
故选B
【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，四点共圆的性质
等知识，解题的关键是熟练掌握相关基本性质，并灵活运用所学知识解决问题．
二、填空题
11．已知非负数a、b、c满足 ,代数式3a+4b+5c的最大值是x，最小值是y，则x+y的值
16是 .
【答案】
【分析】先设 =t，用t表示出a、b、c的值，再由a，b，c为非负数即可求出t的取值范
围，把所求代数式用t的形式表示出来，根据t的取值范围即可求解．
【解析】设 =t，
则a=2t+1，b=2-3t，c=4t+3，
∵a≥0；b≥0；c≥0，
∴2t+1≥0；2-3t≥0；4t+3≥0；
解得t≥- ；t≤ ； t≥- ；
∴- ≤t≤ ，
∵w=3a+4b+5c，把a=2t+1，b=2-3t，c=4t+3，代入得：w=14t+26
∴t= ，
∴- ≤ ≤ ，
解得，19≤w≤ ．
∴w的最大值是x= ；最小值是y=19,
∴x+y= +19=54 .
故答案为54 ．
【点睛】本题考查的是一次函数的性质，通过设参数的方法求出W的取值范围是解答此题的关键．
12．如图四边形 ， ， ， ， ， ，P为 边上的一动点，以
为边作平行四边形 ，则对角线 的长的最小值是 ．
17【答案】12
【分析】根据题意，当 最小时，线段 取得最小，且最小值为 ，利用垂线段最短原理，只
需过点O作 于点P，构造三角形中位线定理计算即可．
【解析】设 与 的交点是点O，
∵平行四边形 ，
∴点O是 与 中点，
当 最小时，线段 取得最小，且最小值为 ，
过点O作 于点P，过点D作 于点M，交 于点N，
∵ ， ，
∴ ，四边形 是矩形，四边形 是矩形，又 ， ， ，
∴ ， ， ，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：12．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，矩形的判定和性质，垂线段最短，平行线分
线段成比例定理，熟练掌握三角形中位线定理，矩形的判定和性质，垂线段最短，平行线分线段成比例定
理是解题的关键．
13．如图，点E在矩形 边 上，将 沿 翻折，点D恰好落在 上的点F处，若
18， ，连接 ，与 交于H点，连接 ，则点F到 的距离为 ．
【答案】
【分析】根据折叠的性质，勾股定理，求得 ， ，过点H作 于点G，利用平行线分线段成
比例定理，三角形中位线定理，三角形面积公式计算即可．
【解析】∵点E在矩形 边 上，将 沿 翻折，点D恰好落在 上的点F处，
∴ ， ，
设 ，
∵ ， ，
∴ ，
由勾股定理，得 ，
∴ ，
解得 ，
故 ，
设 ，则 ,
由勾股定理，得 ，
∴ ，
解得 ，
故 ，
过点H作 于点G，
19∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
设点F到 的距离为h，
根据题意，得
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了折叠变换、矩形的性质、勾股定理的运用，平行线分线段成比例定理，三角形中
位线定理，合理利用勾股定理转换，平行线分线段成比例定理，三角形中位线定理是解题关键．
14．如图，矩形 中， ， ，点E从点B出发，以1单位每秒的速度向点C运动， ，
G，H分别是 ， 的中点，在点E的整个运动过程中，当 时，线段 扫过的图形面积为
．
【答案】
【分析】设当 时，点E的运动时间为t秒，则 ，由矩形的性质可证出 ，再
证出 进而得到 可求t的值，此时，线段 扫过的图形为图中阴影部分，点M、N
20分别为点G、H的初始位置，则可证出四边形 是平行四边形，延长 交 于点P，则 ，
且 ，利用点H是 中点， ，即可求出 进而得到 即可求解．
【解析】解：设当 时，点E的运动时间为t秒，则 ，
∵矩形 中， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即
解得 ，
即当 时，点E的运动时间为2秒；
此时，线段 扫过的图形为图中阴影部分，点M、N分别为点G、H的初始位置，如图：
则点M、点G、点N、点H分别为 、 、 、 的中点，
∴ 、 分别是 、 的中位线，
∴ ， ， ， ，
∴ ， ， ，
∴四边形 是平行四边形，
21延长 交 于点P，如图，
则 ，且 ，
∵点H是 中点， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即线段 扫过的图形面积为 ，
故答案为 ．
【点睛】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、平行四边形的判定、三角形中位线定理、相似三角
形的判定与性质等知识；画出辅助线是解题的关键．
15．如图，在矩形 中， ， ，点 在边 上， ，若点 、 分别为边 与
上两个动点，线段 始终满足与 垂直且垂足为 ，则 的最小值为 ．
【答案】
【分析】如图，过点 作 于点 ．利用相似三角形的性质求出 ，设 ，则 ，
， ，欲求 的最小值，相当于在 轴上找一点 ，使
得点 到 ， 的距离和最小，如图1中，作点 关于 轴的对称点 ，连接 ，则
，由 ，可得结论．
22【解析】解：如图，过点 作 于点 ．
四边形 是矩形，
， ， ，
，
，
，
，
四边形 是矩形，
， ， ，
，
，
， ，
，
，
，
，
，
设 ，则 ， ，
，
欲求 的最小值，相当于在 轴上找一点 ，使得点 到 ， 的距离和最小，如图
1中，
23作点 关于 轴的对称点 ，连接 ，
， ，
，
，
的最小值为 ，
的最小值为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查矩形的性质，轴对称最短问题，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添
加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．
16．如图，正方形 的边长为 ，点 是 的中点， 与 交于点 ， 是 上一点，连接
分别交 ， 于点 ， ，且 ，连接 ，则 ， ．
24【答案】 2
【分析】如图，证明 ，得到 ，勾股定理求出 的长，等积法求出 的长，证
明 ，相似比求出 的长，证明 ，求出 的长，证明 ，求
出 的长，再利用勾股定理求出 的长．
【解析】解：∵正方形 的边长为 ，点 是 的中点，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故点 作 ，则： ，
25∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：2， ．
【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，本题
的综合形较强，属于中考填空题中的压轴题．熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等和相似，是解题的
关键．
17．如图，点D是等边 边 上的一动点(不与端点重合)，点D绕点C引顺时针方向旋转 得点
E，所得的 边 与 交于点F，则 的最小值为 ．
【答案】 /
26【分析】由旋转的性质得 为等边三角形，由 得到 ，即 ，从而得
到当 最小时，比值最小，再由“垂线段最短”得到当 时， 值最小，作出对应图形，利用
“ 是含 角的直角三角形”求出 ，从而得解．
【解析】解：由旋转的性质得： ， ，
为等边三角形，
，
∵ ，
，即
为定值，
当 最小时，比值最小．
根据“垂线段最短”可知：当 时， 值最小，
过点C作 于D，并补全图形如下：
是等边三角形， ，
∴
设 ，则
∴ ，
∴此时 ，
27即 的最小值为 ．
故答案为： ．
【点睛】此题考查图形的旋转变化与性质，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，含
角的直角三角形的性质，垂线段最短，理解“垂线段最短”和利用相似三角形的性质将 转化为 是
解题的关键．
18．如图，点 在线段 上，在 的同侧作等腰直角三角形 和等腰直角三角形 ，
，连接 ， ， 与 ， 分别相交于点 ， ，连接 ．有下列结论：①
；② ；③ ；④ ．其中正确的是 （填
序号）．
【答案】①②③④
【分析】根据等腰直角三角形的性质得到 ， ， ，可以证明
，故①正确；进而得到 ，故②正确；根据 ，得到
，进而证明 ，即可得到 ，故③正确；根据
得到 ，进而证明 ，得到 ，进而证明
，证明 ，得到 ，即可得到 ，故④正确．
【解析】解：∵ 和 都是等腰直角三角形（ 和 是直角），
∴ ， ，
∴ ， ，
28∴ ， ，
∴ ，故①正确；
∴ ，
∴ ，故②正确；
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故③正确；
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故④正确．
故答案为：①②③④．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判断，等腰直角三角形的性质，理解题意，找到题目中的相似三
角形是解题关键．
29三、解答题
19．已知正方形 的边长为4，点E是边 的中点， ， 交对角线 于点F．
(1)如图1，取 的中点G，连接 、 、 ，求证： ；
(2)如图2， 是由 沿射线 平移得到的，点 与点A重合，点M是 的中点，连接 、
， 交 于点H．
①求证： ；
②求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②
【分析】（1）证明 和 ，根据相似三角形的性质分别求得 ，
，再根据线段垂直平分线的性质可得结论；
（2）①延长 到N，使 ，连接 、 ，分别证明 ，
，得到 ，根据等腰三角形的三线合一可证得结论；
②先证明 为等腰直角三角形，进而求得 ，设 ，证明
30求得 ，则 ，在 中，利用勾股定理
求得 可求解．
【解析】（1）证明：过G作 于H，则 ，
∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∵点E是边 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，则 ， ，
∵G是 的中点，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，则 ，
∴ ，又 ，
∴ 垂直平分 ，
∴ ；
（2）解：①根据题意， ， ，
31延长 到N，使 ，连接 、 ，
∵M是 的中点，
∴ ，又 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，又 ，
∴ ；
②在 中， ， ，
∴ ，
∵ ，
32∴ ，
∴ ，
∴ 为等腰直角三角形，又 ，
∴ ，
设 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，则 ，
∴ ，则 ，
∵在 中， ，
∴ ，
解得 ， （舍去），
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的
判定与性质、勾股定理、线段垂直平分线的性质、平移性质等知识，涉及知识点较多，综合性强，熟练掌
握相关知识的联系与运用，添加合适辅助线构造全等三角形求解是解答的关键．
20．如图， 中，D，E两点分别在边 ， 上，点F在 上，连接 ， ， ，已知
， ， ．
33(1)求证： ；
(2)连接AF，若 ， ，求证： ；
(3)在（2）的条件下，若 ，求 的值（用含k的代数式来表示）．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据三角形外角的性质可得 ，再结合 可得
，最后结合 即可证明结论；
（2）先证 可得 ，进而证得 ，即 ，然后
根据等边对等角即可证明结论；
（3）如图：过点F作 交 于点G，则 ， ，即
；再证 可得 ，进而得到 ；再根据平行线等分线段定理可
得 ，最后结合 进行计算即可解答．
【解析】（1）∵ 是 的外角，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
（2）在 和 中，
34， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
由（1）知 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（3）如图：过点F作 交 于点G，
∴ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质、全等三角形的判定与性质、平行线等分线段定理、等腰三角
形的判定与性质等知识点，灵活运用所学知识是解答本题的关键．
21．如图1， 中， ，点 在 的延长线上， ， 于 ， 交
35于点 ．
（1）求证： ；
（2）如图2，过 作 于 ，连接 ，若 平分 ，求证： ；
（3）在（2）的条件下，如图3，连接 ，若 ， ，求 的长．
【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）
【分析】（1）根据角的和差关系即可证明 ；
（2）通过证明 ，即可得证 ；
（3）通过 和勾股定理可得 ，再通过证明△BCF是等腰直角三角形可得 ，
即 ，即可证明 ，从而得到 ，再通过三角形面积公式和勾股定理可
得 ，再代入三角形面积公式即可求出FG的值，即可得到EG的值．
【解析】（1）∵
∴
∵
∵
∴ ；
（2）∵ 平分
∴
∵ ，
∴
∴
由（1）得
∴
36在△ABF和△EBF中
∴
∴ ；
（3）∵
∴
∵
∴
由勾股定理得
解得
∵ ，
∴
∴
∴
∴
∵ 平分
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴
在△EFG和△BCG中
37∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
解得 ， （舍去）
∵
∴
∴
解得
∴
【点睛】本题考查了三角形的综合问题，掌握角的和差关系、全等三角形的性质以及判定定理、平行线的
性质、等腰直角三角形的性质、三角形的面积公式、勾股定理是解题的关键．
22．平面内，先将一个多边形以自身的一个顶点为位似中心放大或缩小，再将所得多边形沿过该点的直线
翻折，称这种变换为自位似轴对称变换，变换前后的图形成自位似轴对称．例如：如图1，先将 以
点A为位似中心缩小，得到 ，再将 沿过点A的直线l翻折，得到 ，则 和 成
自位似轴对称．
38(1)如图2，在 中， ，垂足为D．下列3对三角形：①
；② ；③ ．其中成自位似轴对称的是________；（填写所有符
合要求的序号）
(2)在（1）答案最大序号图形中， ，设自位似轴对称变换的对称轴与 交于点E，求 ；
(3)如图4，在 中，D是 的中点，E为 内一点， ，连接 ，
求证： ．
【答案】(1)①②；
(2) ；
(3)证明见解析
【分析】（1）利用自位似轴对称概念，确定两个三角形成立的两个条件，①共顶点②其中一个三角形做
轴对称前后三角形位似．
（2）如图，根据轴对称性质得出 ，再证得 ，根据对应边成比例，算出结果．
（3）延长 ，交 于F，得出 ，利用三角形的外角定理得出 ，两次相似得
出对应线段成比例，再根据三角形中位线定理得出答案．
【解析】（1）解：如图1，
故答案为：①②
（2）解：由题可知， ， 为对称轴所在直线，
39是公共角， ，
，
，
．
， ，
，
，
．
，
．
将 代入 得
，
解得 ．
（3）证明：如图4，
40延长 ，交 于F，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∵点D是 的中点，
，
，
．
【点睛】本题考查了位似、轴对称的性质、相似三角形等知识，其中对轴对称的性质的理解是解题的关键，
相似三角形对应边成比例是易错点．
23．如图，在边长为9的正方形 中，动点E、F分别在边 、 上，将正方形 沿直线
折叠，使点B的对应点 始终落在边 上（点 不与点A、D重合），点C落在点 处， 与 交
于点P，连接 ，作 点H．
41(1)感知：①当 时， 的大小为________．
②求 的长．
(2)探究：当 在边 上位置变化时， 的周长是否发生变化？如变化，请说明理由；如不变，请求
出该定值．
(3)应用：若 ，直接写出五边形 的周长．
【答案】(1)① ；②9
(2) 的周长不发生变化，为定值18，理由见解析
(3)
【分析】（1）①根据正方形的性质得到 ，由平角的定义可得 ，由折叠的性质可
得 ， ，则 ，进一步求出 ，即可利用三
角形内角和定理求出答案；
②只需要利用 证明 ，即可得到 ；
（2）设 ，则 ，利用勾股定理得到 ，则 ，证明
，得到 ，即可推出 ；
（3）由折叠的性质可得 ，则 ，由（2）得 ，则 ，可
得五边形 的周长 ，进一步根据线段之间的关系进行转换求解即可 ．
【解析】（1）解：①∵四边形 是正方形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
由折叠的性质可得 ， ，
42∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ；
②由（1）①得 ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解： 的周长不发生变化，为定值18，理由如下：
设 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
由折叠的性质可得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴
，
43∴ 的周长不发生变化，为定值18；
（3）解：由折叠的性质可得 ，
∵ ，
∴ ，
∵ 的周长为18，
∴ ，
∴
∴五边形 的周长
．
【点睛】本题主要考查了正方形与折叠问题，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，相似三角形的性质与
判定，三角形内角和定理等等，正确利用折叠前后对应线段和对应角分别相等进行求解是解题的关键．
24．在 中， ， ，点 分别是 的中点．
(1)如图1，连接 ，求证： ；
(2)如图2，若将图1的 绕点 逆时针方向旋转到图2位置，作 ，垂足为 ， ，垂
足为 ，连接 ， ，求 的值．
(3)如图3，若 的延长线恰好经过 的中点 ，求证： ．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)见解析
44【分析】（1）首先根据中位线的定义与性质可得 ，即可获得结论；
（2）利用等腰直角三角形的性质推导 ， ，证明 ，即可获得答
案；
（3）过点 作 ，垂足为 ，连接 ，易得 ，再证明 ，结合相似三
角形的性质即可获得结论．
【解析】（1）证明：∵点 分别是 的中点，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ；
（2）解：∵ ， ， 于M，
∴ ，
∴ ，
同理可证 ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∴ ；
（3）如下图，过点 作 ，垂足为 ，连接 ，
∴ ，
45∵ ， ，
∴ ， ，
∵点 是 中点， ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、中位线的定义与性质等知识，
熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．
25．如图，在正方形 中，点 在 边上，点 在 边上， ，连接 ，与对角线
交于点 ．
(1)如图1，求证： ；
(2)如图2，过点 作 于点 ，交 边于点 ，求证： ；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接 ，若 ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）通过正方形性质，得到 ， ，从而可得 ， ，再结
合对顶角相等，可证明 ，即可得到 ；
（2）过点 作 交 于点 ，首先证明四边形 是平行四边形，得出 ，证明
46，得到 ，结合正方形性质即可得到最后结论；
（3）连接并延长 交 于点 ，延长 至 ，使得 ，连接 ，通过证明
可得到 ，求出 ，再证明 ，设 ，表示
出各边长利用勾股定理即可求出 的值，即可得出结果．
【解析】（1）证明： 四边形 为正方形，
， ，
，
，
，即 ，
在 和 中，
，
，
；
（2）如图，过点 作 交 于点 ，
， ，
四边形 是平行四边形，
，
，
， ，
，
47， ，
，
在 和 中，
，
，
，
，
；
（3）如图，连接并延长 交 于点 ，延长 至 ，使得 ，连接 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
48， ，
，
，即 ，
，
，
，
，
又∵ ，
，
，
，
，
，
，
，
，
设 ，
， ， ，
，
， ，
49，
，
在 中， ，
，
解得： ，
．
【点睛】本题考查四边形的综合问题，涉及勾股定理，全等三角形的判定与性质、正方形的性质、平行四
边形的判定与性质等，正确作出辅助线，构造全等三角形是解答本题的关键．
50
