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专题07 图形的相似（难点）
一、单选题
1．如图，在矩形 中，点 ， ， 分别在边 ， ， 上，四边形 由两个正方形组
成，若 ，则线段 的长为（ ）
A． B． C． D．
2．如图， 与 均为等边三角形，O为 的中点，点D在边 上，则 的值为
（ ）
A． B． C． D．不能确定
3．四巧板是一种类似七巧板的传统智力玩具，它是由一个长方形按如图1分割而成，这几个多边形的内角
除了有直角外，还有 角．小明发现可以将四巧板拼搭成如图2的 字形和 字形，那么 字
形图中高与宽的比值 为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在矩形 中，线段 ， 分别平行于 ， ，它们相交于点 ，点 ， 分别在线
1段 ， 上， ， ，连接 ， ，相交于点 ．已知 ，
，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P从A点出发，按A→B→C的方向在AB和BC上移动，记
PA=x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
6．“化积为方”是一个古老的几何学问题，即给定一个长方形，作一个和它面积相等的正方形，这也是
证明勾股定理的一种思想方法．如图所示，在矩形 中，以 为边做正方形 ，以 为斜
边，作 使得点在 的延长线上，过点 作 交 于 ，再过 点作 于 ，连
2结 交 于 ，记四边形 ，四边形 的面积分别为 ，若 ， ，则
为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E． 若 ，则下列结论中正确的是（ ）
① ② 与 的周长比为
③ ④
A．③④ B．①②③
C．①②④ D．①②③④
8．几千年来，在勾股定理的多种证明方法中，等面积法是典型的一种证法，清代数学家李锐运用这一方
法借助三个正方形也证明了勾股定理．如图，四边形 ，四边形 ，四边形 均为正方形，
交 于点 交 于点K，点 在同条直线上，若 ， ，记四边形
的面积为 ，四边形 的面积为 ，则 的值为（ ）
3A． B． C． D．
9．如图，菱形 和菱形 在同一条直线上， ， ， ，连接AF，
H为 的中点，连接 ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．2
10．如图，在正方形 中，点 是边 的中点，连接 、 ，分别交 、 于点 、 ，过
点 作 交 的延长线于 ，下列结论正确的有：（ ）
① ；② ；③若四边形 的面积为4，则该正方形 的面积为36；④
．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
4二、填空题
11．已知非负数a、b、c满足 ,代数式3a+4b+5c的最大值是x，最小值是y，则x+y的值
是 .
12．如图四边形 ， ， ， ， ， ，P为 边上的一动点，以
为边作平行四边形 ，则对角线 的长的最小值是 ．
13．如图，点E在矩形 边 上，将 沿 翻折，点D恰好落在 上的点F处，若
， ，连接 ，与 交于H点，连接 ，则点F到 的距离为 ．
14．如图，矩形 中， ， ，点E从点B出发，以1单位每秒的速度向点C运动，
，G，H分别是 ， 的中点，在点E的整个运动过程中，当 时，线段 扫过的图形面积为
．
15．如图，在矩形 中， ， ，点 在边 上， ，若点 、 分别为边 与
上两个动点，线段 始终满足与 垂直且垂足为 ，则 的最小值为 ．
516．如图，正方形 的边长为 ，点 是 的中点， 与 交于点 ， 是 上一点，连接
分别交 ， 于点 ， ，且 ，连接 ，则 ， ．
17．如图，点D是等边 边 上的一动点(不与端点重合)，点D绕点C引顺时针方向旋转 得点
E，所得的 边 与 交于点F，则 的最小值为 ．
18．如图，点 在线段 上，在 的同侧作等腰直角三角形 和等腰直角三角形 ，
，连接 ， ， 与 ， 分别相交于点 ， ，连接 ．有下列结论：①
；② ；③ ；④ ．其中正确的是 （填
序号）．
三、解答题
19．已知正方形 的边长为4，点E是边 的中点， ， 交对角线 于点F．
6(1)如图1，取 的中点G，连接 、 、 ，求证： ；
(2)如图2， 是由 沿射线 平移得到的，点 与点A重合，点M是 的中点，连接
、 ， 交 于点H．
①求证： ；
②求 的长．
20．如图， 中，D，E两点分别在边 ， 上，点F在 上，连接 ， ， ，已知
， ， ．
(1)求证： ；
(2)连接AF，若 ， ，求证： ；
(3)在（2）的条件下，若 ，求 的值（用含k的代数式来表示）．
21．如图1， 中， ，点 在 的延长线上， ， 于 ， 交
于点 ．
（1）求证： ；
（2）如图2，过 作 于 ，连接 ，若 平分 ，求证： ；
（3）在（2）的条件下，如图3，连接 ，若 ， ，求 的长．
722．平面内，先将一个多边形以自身的一个顶点为位似中心放大或缩小，再将所得多边形沿过该点的直线
翻折，称这种变换为自位似轴对称变换，变换前后的图形成自位似轴对称．例如：如图1，先将 以
点A为位似中心缩小，得到 ，再将 沿过点A的直线l翻折，得到 ，则 和 成
自位似轴对称．
(1)如图2，在 中， ，垂足为D．下列3对三角形：①
；② ；③ ．其中成自位似轴对称的是________；（填写所有符
合要求的序号）
(2)在（1）答案最大序号图形中， ，设自位似轴对称变换的对称轴与 交于点E，求
；
(3)如图4，在 中，D是 的中点，E为 内一点， ，连接 ，
求证： ．
23．如图，在边长为9的正方形 中，动点E、F分别在边 、 上，将正方形 沿直线
折叠，使点B的对应点 始终落在边 上（点 不与点A、D重合），点C落在点 处， 与 交
于点P，连接 ，作 点H．
(1)感知：①当 时， 的大小为________．
②求 的长．
(2)探究：当 在边 上位置变化时， 的周长是否发生变化？如变化，请说明理由；如不变，请求
8出该定值．
(3)应用：若 ，直接写出五边形 的周长．
24．在 中， ， ，点 分别是 的中点．
(1)如图1，连接 ，求证： ；
(2)如图2，若将图1的 绕点 逆时针方向旋转到图2位置，作 ，垂足为 ， ，垂
足为 ，连接 ， ，求 的值．
(3)如图3，若 的延长线恰好经过 的中点 ，求证： ．
25．如图，在正方形 中，点 在 边上，点 在 边上， ，连接 ，与对角线
交于点 ．
(1)如图1，求证： ；
(2)如图2，过点 作 于点 ，交 边于点 ，求证： ；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接 ，若 ， ，求 的长．
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