专题07图形的平移和旋转（解析版）-重难点突破八年级数学下册常考题专练（北师大版）_北师大初中数学_8下-北师大版初中数学_旧版-可参考_06专项讲练

专题 07 图形的平移和旋转 题型一 图形的平移性质 1．如图，将 沿 所在直线向右平移 得到 ，连结 ．若 的周长为 ，则四边 形 的周长为 A． B． C． D． 【解答】解： 沿 方向平移 得到 ， ， ， 四边形 的周长 ， 的周长 ， ， 四边形 的周长 ． 故选： ． 2．如图，将直角三角形 沿 方向平移得到直角三角形 ．已知 ， ， ，则 图中阴影部分的面积为 A．16 B．20 C．26 D．12 【解答】解：由平移的性质可知， ， ，， ， ， 故选： ． 3．如图，在 中， ， ．将 沿着 的方向平移至 ，若平移的距离是 5，则图中阴影部分的面积为 A．25 B．50 C．35 D．70 【解答】解： 直角 沿 边平移5个单位得到直角 ， ， ， 四边形 为平行四边形， ， 即阴影部分的面积为50， 故选： ． 4．如图，将三角形 沿直线 平移得到三角形 ，其中，点 和点 是对应点，点 和点 是 对应点，点 和点 是对应点．如果 ， ，那么线段 的长是 A．2 B．4 C．6 D．8 【解答】解：由平移的性质可知， ， ， ，， ，故选： ． 5．如图，将直角 沿斜边 的方向平移到 的位置， 交 于点 ， ， ， 的面积为4，下列结论：① ；② 平移的距离是4；③ ；④四边形 的面积为16，正确的有 A．②③ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【解答】解： 的是直角三角形 沿着斜边 的方向平移后得到的，且 、 、 、 四点在 同一条直线上， ， ， ， ，故③正确； 由图形的平移知， ， ， ， ， ，故①正确； ， ， 平移的距离 ，故②错误； ， ， 的面积等于4， ， ， 四边形 的面积 ，故④正确； 故选： ． 6．如图，为一副重叠放置的三角板，其中 ， 与 共线，将 沿 方向平移，当 经过 的中点 时，直线 交 于点 ，若 ，则此时 的长度为 ． 【解答】解：如图（2）， ， ， ， ， ， ， ， ， 点 是 的中点， ， 过 作 于 ， ， ， ， ， ， 故答案为： ．7．如图，将 沿 方向平移到 ， 交 于点 ，若 ， 的面积是 面积 的一半，求 平移的距离． 【解答】解：由平移的性质可知： ， 则 ， 故 ， 则 ， ， ． 8．在平面直角坐标系中， ， ，经过原点的直线 上有一点 ，平移线段 ，对应线 段为 对应 ，若点 、 分别恰好在直线 和 轴上，则 点坐标为 ．【解答】解：由题意点 的纵坐标为4，可得 ， 点 向左平移2个单位，向下平移4个单位得到 ， ． 故答案为 ． 9．如图，在平面直角坐标系中，点 的坐标为 ， 沿 轴向右平移后得到△ ，点 的对 应点在直线 上一点，则点 与其对应点 间的距离为 A． B．3 C．4 D．5 【解答】解：如图，连接 、 ． 点 的坐标为 ， 沿 轴向右平移后得到△ ， 点 的纵坐标是3． 又 点 的对应点在直线 上一点， ，解得 ． 点 的坐标是 ， ． 根据平移的性质知 ． 故选： ．10．如图，在平面直角坐标系中，点 ， 的坐标分别为 ， ．将线段 平移后 点的对 应点是 ，则点 的对应点 的坐标为 A． B． C． D． 【解答】解： 点 向右平移10个单位，向上平移4个单位得到 ， 点 向右平移10个单位，向上平移4个单位得到 ， 故选： ． 11．如图，点 为 角平分线交点， ， ， ，将 平移使其顶点 与点 重合， 则图中阴影部分的周长为 8 ． 【解答】解：如图，连接 ， ， 点 为 角平分线交点， 和 分别平分 和 ， ， ，将 平移，使其顶点与点 重合， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 即图中阴影部分的周长为8． 故答案为：8． 12．如图，已知 ， 、 、 在射线 上， 点在射线 上，且满足 ， ， ， 平分 ． （1）求 的度数； （2）若平行移动 ，那么 的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律；若不变，求 出这个比值； （3）在平行移动 的过程中，是否存在某种情况，使 ？若存在，求出 的度数；若 不存在，说明理由． 【解答】解：（1） ， ， ， 平分 ， ； （2） 的值不会发生变化，为 ． ， ，， ， ， ； （3）当平行移动 至 时， ． 设 ， ， ， ， ， 四边形 是平行四边形， ． ， ， ， ， ． 13．如图所示，已知射线 ， ， 、 在 上，且满足 ， 平分 ． （1）求 的度数； （2）若平行移动 ，那么 的值是否随之变化？若变化，请找出规律；若不变，求出这个 比值； （3）在平行移动 的过程中，是否存在某种情况，使 ？若存在，求出 度数； 若不存在，请说明理由．【解答】解：（1） ， ， ， 平分 ， ； （2） 的值不会发生变化，为 ． ， ， ， ， ， ； （3）设 ， ， ， ， ， 四边形 是平行四边形， ． ， ， ， ， ．题型二 图形的旋转性质 14．如图，在 的网格纸中， 的三个顶点都在格点上，现要在这张网格纸的四个格点 ， ， ， 中找一点作为旋转中心．将 绕着这个中心进行旋转，旋转前后的两个三角形成中心对称，且 旋转后的三角形的三个顶点都在这张 的网格纸的格点上，那么满足条件的旋转中心有 A．点 ，点 B．点 ，点 C．点 ，点 D．点 ，点 【解答】解：观察图象可知，点 ．点 满足条件． 故选： ． 15．如图，在等腰直角 中， ， 是斜边 的中点，点 ， 分别在直角边 ，上，且 ， 绕点 旋转， 交 于点 ．则下列结论： （1） ； （2） ； （3） 的面积等于四边形 面积的2倍； （4） ． 其中正确的结论有 A．①④ B．②③ C．①②③ D．①②③④ 【解答】解： 在等腰直角 中， ， 是斜边 的中点， ， ， ， ， ，且 ，且 ， ， ， ， 同理可得： ， 在 中， ， ， ， ， ， 的面积等于四边形 面积的2倍； 故选： ． 16．如图，在 中， ， 、 是斜边 上两点，且 ，将 绕点 顺时针 旋 转 后 ， 得 到 ， 连 接 ， 下 列 结 论 ： ① ； ② ； ③ ；④ ．其中一定正确的是 A．②④ B．①③ C．①④ D．②③ 【解答】解：在 中， ， ， ， ， ， 将 绕点 顺时针旋转 后，得到 ， ， ， ， ， ， ， ， ，①正确， ， 在 中， ， ，③错误， 与 的大小无法确定， 与 是否全等无法确定，故②错误； 在 中， ， ；④正确； 故选： ． 17．如图，在平面直角坐标系 中，直线 经过点 ，作 轴于点 ，将 绕点 旋转 得到 ，若点 的坐标为 ，则点 的对应点 的坐标为 或 ．【解答】解： 点 的坐标为 ， 而 轴， 的横坐标为2， 当 时， ， ， ， 当 绕点 顺时针旋转 得到 ，如图1，作 轴，则 ， ， 在 中， ， ， ， ， 点坐标为 ； 当 绕点 逆时针旋转 得到 ，如图2，作 轴，则 ， ，在 中， ， ， ， ， 点坐标为 ， 综上所述，点 的对应点 的坐标为 或 ． 故答案为 或 ． 18．如图， 是边长为6的等边 三边中垂线的交点，将 绕点 逆时针方向旋转 ，得到△ ，则图中阴影部分的面积为 ． 【解答】解：根据旋转的性质可知，图中空白部分的小三角形也是等边三角形，且边长为 ，且面 积是 的 ， 观察图形可得，重叠部分的面积是 与三个小等边三角形的面积之差， 的高是 ，一个小等边三角形的高是 ， 的面积是 ，一个小等边三角形的面积是 ， 所以重叠部分的面积是 ． 故答案为 ． 19．如图，在 中， ， 、 是斜边 上两点，且 ，将 绕点 顺时 针旋转 后，得到 ，连接 ，下列结论，其中正确的是 ①③④ ．① ； ② ； ③ ； ④ ． 【解答】解： 绕 顺时针旋转 后得到 ， ， ， ， ， ， 在 和 中， ， ，故①正确， ， ， 在 中， ， ， ， 将 绕点 顺时针旋转 后，得到 ， ， ， ， ， ；故④正确，②错误． ，， ， ， 即 ，故③正确． 故答案为：①③④． 20．如图，在 中， ， ，将 绕点 逆时针旋转 ，得到 ， 连接 ，则 的长是 ． 【解答】解：如图，连接 ，设 与 相交于点 ， 中， ， ， ， ， 将 绕点 逆时针旋转 ， ， ， 是等边三角形， ， 又 ， 是 的中垂线， ， ，又 是等腰直角三角形， 是等边三角形， ， ， ， 故答案为： ． 21．如图，在 中， ， ，将 绕点 顺时针旋转 ，得到 ， 连接 ，则 的长为 ． 【解答】解：连接 ，设 与 相交于点 ，如下图所示， 中， ， ， ， 绕点 逆时针旋转 与 重合， ， ， 又 旋转角为 ， ， 是等边三角形 ， 在 与 中，， ， ， ， 在 中， ， ， 在 中，由勾股定理得， ， 又在 中， ， ， ， ， 故答案为： ． 22．如图1所示，在 中， ， ， ，将 沿着 翻折得到 ，如图 2，将 绕着点 旋转到△ ，连接 ，当 时，四边形 的面积为 ． 【解答】解：如图（2），过点 作 交 的延长线于 ，由翻折得 ，是矩形， ， ， ， 故答案为： ． 23．如图，边长为2的正方形 绕点 逆时针旋转45度后得到正方形 ，边 与 交于点 ，则四边形 的周长是 ． 【解答】解：连接 ， 旋转角 ， ， 在对角线 上， ， 在 中， ，， 在等腰 △ 中， ， 在直角三角形 中， ， ， 四边形 的周长是： ， 故答案为 ． 24．在平面直角坐标系 中，点 绕坐标原点 顺时针旋转 后，恰好落在图中阴影区域（包 括边界）内，则 的取值范围是 ． 【解答】解：如图，将阴影区域绕着点 逆时针旋转 ，与直线 交于 ， 两点，则点 在线段 上，又 点 的纵坐标为2.5，点 的纵坐标为3， 的取值范围是 ， 故答案为： ． 25．如图，在平面直角坐标系中，已知点 ，点 是 轴上一动点，将线段 绕点 逆时针旋转 ，得到线段 ，当点 从当 运动到点 时，点 运动的路径长为 4 ． 【解答】解：设点 ，连接 ，将线段 绕点 逆时针旋转 ，得到线段 ，连接 ， 则 就是点 运动的路径， ， ， 过点 作 轴于 ，过点 作 轴于 ，如图所示： ， ， ， ， 线段 绕点 逆时针旋转 ，得到线段 ， ， ，， ， ， 在 和 中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在△ 和 中， ， △ ， ， ， ， ， ， 故答案为：4．26．如图，在 中， ， ， ，将 绕点 按逆时针方向旋转得到△ ，此时点 恰好在 边上，则点 与点 之间的距离为 ． 【解答】解：作 于 ，连接 ， 在 中， ， 由勾股定理得： ， 由面积知 ， 在 中，由勾股定理得： ， ， ， ， 将 绕点 按逆时针方向旋转得到△ ， ， ， ，， ， ， ． 故答案为： ． 27．如图，点 是等边 内一点，将 绕点 顺时针旋转 得到 ，连接 ， ， ， （1）求证： ． （2）若 ， ， ，求 的面积． 【解答】（1）证明： 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 在 和 中， ， ． （2）解： ， ， ， ， ，是等边三角形， ， ， ， ． 28．等边三角形 的边长为6，点 是三边垂直平分线的交点， ， 的两边 ， 与 ， 分别相交于 ， ， 绕 点顺时针旋转时，下列四个结论正确个数是 ① ；② ；③ ；④ 周长最小值是9 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：连接 、 ，如图， 为等边三角形， ， 点 是等边 的内心和外心， ， 、 分别平分 和 ， ， ，即BOECOE 120， 而DOE120，即BOEBOD120， BODCOE，BODCOE  BOCO  在BOD和COE中，OBDOCE ， BODCOE(ASA) ， BDCE，ODOE ，①正确； S S BOD COE， 1 1 3 S  S   62 3 3 四边形ODBE的面积 OBC 3 ABC 3 4 ，③错误； 作OH DE ，如图，则DH EH ，  DOE 120， ODE OEH 30， 1 3 OH  OE HE 3OH  OE 2 ， 2 ， DE 3OE， 1 1 3 S  OE 3OE  OE2 ODE 2  2  4 ， 即 S ODE随OE的变化而变化， 而四边形ODBE的面积为定值， S S ODE BDE；②错误；  BDCE， BDE 的周长BDBEDE CEBEDE BCDE 6DE 6 3OE ， 当OE BC时，OE最小，BDE的周长最小，此时OE  3， BDE 周长的最小值639，④正确． 故选：B．29．如图，在ABC 中，AB6，将ABC 绕点B按逆时针方向旋转30后得到△ A 1 BC 1，则阴影部分的 面积为 9 ． 【解答】解：在ABC 中，AB6，将ABC 绕点B按逆时针方向旋转30后得到△ A 1 BC 1， ABC △ A 1 BC 1， AB AB6 1 ， △ A 1 BA 是等腰三角形， A 1 BA30 ， 1 S  639 A_1BA 2 ， S S S S 又 阴影 A_1BA A_1BC_1 ABC， S S A_1BC_1 ABC， S S 9 阴影 A_1BA ． 故答案为：9．30．如图，ABC 与CDE都是等边三角形，连接 AD、BE ．CD2，BC 1，若将CDE绕点C顺时 针旋转，当点A、C、E在同一条直线上时，线段BE 的长为 3或 7 ． ． 【解答】解：可以将CDE不动，ACB绕点C顺时针旋转，点A落在线段CE 上，如图1:  ABC与CDE都是等边三角形， BC  AC，BCE ACD，CECD， BCEACD(SAS) ， BE  AD，  CD2，BC  AC 1， DACE， 在RtACD中，由勾股定理得： AD CD2 AC2  3，BE AD 3， 当点A落在线段EC的延长线上时，如图2: 同理可知：BCEACD， BE  AD， 过点E作EH BD 于H ， 则EH  3， 在RtBEH中，由勾股定理得： BE  BH2 EH2  34  7 ， 综上所述：BE  3或 7 ． 故答案为： 3或 7 ． 31．如图，在等边ABC 中，D是边AC 上一点，连接BD，将BCD绕点B逆时针旋转60得到BAE， 连接ED，若BC 6，BD4，则有以下四个结论：①BDE是等边三角形；②AE//BC ；③ADE的周 长是10；④ADEBDC．其中正确结论的序号是 ( )A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③ 【解答】解： BCD绕点B逆时针旋转60，得到BAE， BDBE，DBE60， BDE 是等边三角形，所以①正确；  ABC为等边三角形， BABC，ABC C BAC 60，  BCD绕点B逆时针旋转60，得到BAE， BAEBCD60，BCDBAE 60， BAEABC， AE//BC，所以②正确； BDE 60，  BDC BACABD60， ADE BDC，所以④错误；  BDE 是等边三角形， DE BD4， 而BCD绕点B逆时针旋转60，得到BAE， AECD， AED的周长 AE ADDECD ADDE  AC46410，所以③正确． 故选：D． 32．在ABC 中，AB AC， BAC (060) ，将线段BC绕点B逆时针旋转60得到线段BD． （1）如图1，直接写出ABD的大小（用含的式子表示）； （2）如图2，BCE150，ABE60，判断ABE的形状并加以证明；（3）在（2）的条件下，连接DE，若DEC 45，求的值． 【解答】（1）解： AB AC ，A， ABC ACB，ABCACB180A， 1 1 ABC ACB (180A)90  2 2 ，  ABDABCDBC，DBC 60， 1 ABD30  即 2 ； （2）ABE是等边三角形， 证明：连接AD，CD，ED， 线段BC绕B逆时针旋转60得到线段BD， 则BC BD，DBC 60，  ABE 60， 1 ABD60DBEEBC 30  2 ，且BCD为等边三角形， 在ABD与ACD中 AB AC  AD AD  BDCD ABDACD(SSS) ， 1 1 BADCAD BAC   2 2 ，  BCE150， 1 1 BEC 180(30 )150 BAD 2 2 ，在ABD和EBC 中 BEC BAD  EBC ABD  BC BD ABDEBC(AAS) ， ABBE ， ABE是等边三角形； （3）解： BCD60，BCE150， DCE 1506090，  DEC 45， DEC为等腰直角三角形， DC CEBC，  BCE150， 1 EBC  (180150)15 2 ， 1 EBC 30 15  2 ， 30． 33．如图，在等边ABC 中，点D为ABC 内的一点，ADB120，ADC 90，将ABD绕点A逆时 针旋转60得ACE ，连接DE． （1）求证：ADDE； （2）求DCE的度数； （3）若BD1，求AD，CD的长．【解答】（1）证明：将ABD绕点A逆时针旋转60得ACE ABDACE，BAC DAE ， AD AE，BDCE ，AEC ADB120，  ABC为等边三角形 BAC 60 DAE 60 ADE 为等边三角形， ADDE， （2）ADC 90，AEC 120，DAE60 DCE 360ADCAECDAE90， （3） ADE 为等边三角形 ADE 60 CDE ADCADE30 又 DCE 90 DE2CE 2BD2， ADDE 2 在RtDCE中，DC  DE2 CE2  22 12  3． 34．如图，在ABC 中， AB 6， AC  3，BAC 30，将ABC 绕点 A逆时针旋转60得到△ ABC BC BC ( ) 1 1，连接 1，则 1的长为2 3 2 2 A．3 B． C． D．4 【解答】解：将ABC 绕点A逆时针旋转60得到△ AB 1 C 1，AB 6，AC  3， CAC 60 AC  AC  3 1 ， 1 ，  BAC 30， BAC 306090 1 ， RtBAC BC  AB2  AC2  ( 6)2 ( 3)2 3 在 1中，由勾股定理得： 1 1 ， 故选：A． 35．如图，在ABC 中，AC BC 9，C 120，D为AC 边上一点，且AD6，E是AB边上一动点， 连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转30得到DF，若F 恰好在BC边上，则AE的长为 34 3 ． 【解答】解：如图，延长DC到G ，使DG AE ，连接FG，  AC BC，C 120， A30，FCG60，  A1EDF 2， 又 EDF 30， 12， 在EDA和DFG中， AEGD  12  EDDF ， EDADFG(SAS) ADGF 6，AG30，  GFCG90，CFG90， 设CF x，则CG2x，由CF2 FG2 CG2 得： x2 62 (2x)2 ， x 2 3 x 2 3 解得 1 ， 2 （不合题意舍去）， CG4 3 ， AE DG34 3， 故答案为：34 3． 36．如图， AD//BC ，ABBC于点B，AD4，将CD绕点D逆时针旋转90至DE，连接AE、CE ， 若ADE的面积为6，则BC  7 ． 【解答】解：过D点作DF BC，垂足为F ，过E点作EG AD，交AD的延长线于G 点， 由旋转的性质可知CDED，  EDGCDGCDGFDC 90， EDGFDC，又DFC G90， CDF EDG， CF EG， 1 S  ADEG6  ADE 2 ，AD4，EG3，则CF EG3， 依题意得四边形ABFD为矩形， BF  AD4， BC BF CF 437， 故答案为：7． 37．加试题（本小题满分20分，其中（1）、（2）、（3）题各3分，（4）题11分） （1）一个正数的平方根为3a和2a3，则这个正数是 8 1 （2）若 x2 2x y2 6y100 ，则xy  （3）已知a，b分别是6 13的整数部分和小数部分，则2ab （4）阅读下面的问题，并解答问题： 1) 如图1，等边ABC 内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，求APB的度数是 多少？（请在下列横线上填上合适的答案） 分析：由于PA，PB，PC不在同一个三角形中，为了解决本题我们可以将ABP绕顶点A逆时针旋转到 ACP处，此时可以利用旋转的特征等知识得到： ①APBAPC APPPPC； ②AP AP，且PAP 度，所以APP为 三角形，则APP 度； ③PC BP4，PP AP3，PC 5，所以△PPC为 三角形，则PPC  度，从而得到 APB 度． 2) 1) 请你利用第 题的解答方法，完成下面问题： 如图 2，在 ABC 中， CAB90， AB AC， E、 F 为边 BC上的点，且 EAF 45，试说明： EF2 BE2 FC2 ．【解答】解：（1）一个正数的平方根是3a和2a3， 3a和2a3互为相反数， (3a)(2a3)0 即 ； 解得a6， 则3a9； 则这个数为92 81； 故答案为：81， x2 2x y2 6y100 （2） ， (x1)2 (y3)2 0 ， x10， y30 ， x1， y3 ， 则xy 1， 故答案为：1， （3）解： 9  13 16 ， 3 134， 26 133， a2， b6 1324 13，2ab22(4 13) 13 ． 故答案是 13． （4） 1) 将ABP绕顶点A旋转到ACP处， BAPCAP， AB AC ，AP AP，BAPCAP， BAC PAP60， APP是等边三角形， APP60， 因为B P P不一定在一条直线上 连接PC，△PPC是直角三角形，APBAPC 150， BPA150； 故答案是：②60，等边，60，③直角，90，150； 2) 把ACF 绕点A顺时针旋转90，得到ABG．连接EG． 则ACF ABG． AG AF ，BGCF，ABGACF 45．  BAC 90，GAF 90． GAEEAF 45， 又AG AF，AE AE． AEGAFE． EF EG， 又GBE90， BE2 BG2 EG2 ， 即BE2 CF2 EF2 ．38．如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为 (0,2) ，ABO为等边三角形，P是x轴上的一个动点 （不与O点重合），将线段AP绕A点按逆时针方向旋转60，P点的对应点为点 Q ． （1）求点B的坐标； （2）当点P在x轴负半轴运动时，求证： ABQ90 ； （3）连接 OQ ，在点P运动的过程中，当 OQ 平行AB时，求点P的坐标． 【解答】解：（1）如图1，过点B作BC x轴于点C，  AOB为等边三角形，且OA2， AOB60，OBOA2， BOC 30，而OCB90， 1 BC  OB1 2 ，OC  3， 点B的坐标为 B( 3 ， 1) ； （2）  APQ 、AOB均为等边三角形，AP AQ 、AO AB、 PAQOAB ， PAOQAB ， AP AQ  PAOQAB  在APO与 AQB 中，AO AB ， APOAQB(SAS) ， ABQAOP90 ； （3）当点P在x轴正半轴上时，  OAB60， 将AP绕点A逆时针旋转60时，点 Q 在点B上方， OQ 和AB必相交， 当点P在x轴负半轴上时，点 Q 在点B的下方， AB//OQ BQO90 BOQABO60  ， ， ． 在 RtBOQ 中，OB2， OBQ90BOQ30 ， BQ 3 ， APOAQB 由（2）可知， ， OPBQ 3 ， 此时P的坐标为 ( 3 ， 0) ．39．如图，等腰ABC 中，BAC 150，D是AB上一点，AD1，BD4，E点在边BC上，若点E 绕点D逆时针旋转15的对应点F 恰好在AC 上，则BE 的长度为 14 2 ． 【解答】解：如图，延长BA到T ，使得DT BE，连接TF ，过点T 作TM  AC于M ．  AB AC ，BAC 150， BACB15，  TDE BDEBTDF EDF ，EDF B15， TDF BED，  DT EB，DF DE ，TDF BED(SAS) ， BDTF 4，DTF B15，  TFC TAF ATF 45，TM FM ， TM FM 2 2 ， 在RtATM中， TAM 30， AT 2TM 4 2 ， BE DT  AD AT 14 2， 故答案为14 2 ． 40．如图，把RtABC绕顶点C顺时针旋转90得到RtDFC，若直线DF垂直平分AB，垂足为点E，连 接BF ，CE ，且BC 2．下面四个结论： ①BF 2 2； ②CBF 45； ③CED30； ④ECD的面积为2 23， 其中正确的结论有 ①②④ ． 【解答】解：把RtABC绕顶点C顺时针旋转90得到RtDFC， CF CB2，BCF 90， CBF 为等腰直角三角形， BF  2BC 2 2，CBF 45，所以①②正确； 直线DF垂直平分AB， FAFB，BE  AE，AABF ， 而BFC AABF 45， A22.5，  CE为斜边AB上的中线， EC EA， ECAA22.5， CEF 18090222.545，所以③错误； 作EH BD于H ，如图， 把RtABC绕顶点C顺时针旋转90得到RtDFC， CDCA22 2 ， 点E为AB的中点， 1 EH  AC  21 2 ， 1  ( 21)(22 2)2 23 ECD的面积 2 ，所以④正确． 故答案为①②④． 41．如图1，点C为线段AB上任意一点（不与点 A、B重合），分别以AC 、BC为一腰在AB的同侧作 等腰ACD和BCE ，CACD，CBCE ，ACDBCE30，连接 AE交CD于点M ，连接BD交 CE 于点N，AE与BD交于点P，连接CP． （1）线段AE与DB的数量关系为 AEBD ；请直接写出APD ； （2）将BCE 绕点C旋转到如图2所示的位置，其他条件不变，探究线段 AE与DB的数量关系，并说明 理由；求出此时APD的度数； （3）在（2）的条件下求证：APC BPC．【解答】（1）解：如图1中，  ACDBCE， ACDDCE BCEDCE， ACE DCB， 又 CACD，CE CB， ACE DCB． AE BD，CAE CDB，  AMC DMP， APDACD30， 故答案为AEBD，30 （2）解：如图2中，结论：AEBD，APD30．理由： ACDBCE， ACDDCE BCEDCE， ACE DCB， 又 CACD，CE CB， ACE DCB． AE BD，CAE CDB，  AMPDMC， APDACD30． （3）证明：如图21中，分别过C作CH  AE ，垂足为H ，过点C作CGBD，垂足为G ，  ACE DCB． AE BD， S S  ACE DCB（全等三角形的面积相等）， CH CG， DPC EPC （角平分线的性质定理的逆定理）， APDBPE，APC DPCAPD，BPC EPCBPE， APC BPC ． 42．如图1，在ABC 中，ABBC 5，AC 6，将ABC 沿BC方向向右平移得DCE．A，C的对应 点分别是D，E．AC 与BD相交于O点． （1）将射线 BD绕 B点顺时针旋转，且与 DC， DE分别相交于 F ，G ，CH //BG交 DE于 H ，当 DF CF 时，求DG的长． （2）如图2，将直线BD绕O点逆时针旋转，与线段 AD，BC分别相交于点 Q ，P．设 OQx ，四边形 ABPQ 的周长为 y ，求 y 与x之间的函数关系式，并求 y 的最小值． PQ AOQ PQ （3）在（2）中 的旋转过程中， 是否构成等腰三角形？若能构成等腰三角形，求出此时 的 长；若不能，请说明理由． 【解答】解：（1）如图中，  DF FC ，CH //FG， DGGH ，  BC CE，CH //BG， GH HE， DGGH HE，1 1 DG DE  AC 2 3 3 ． （2）如图2中，作AH BC于H ．  AB//CD，ABCD， 四边形ABCD是平行四边形，  ABBC， 四边形ABCD是菱形， AC BD， OAOC 3，OBOD 52 32 4， 1 1 S  BC AH  AC BO  ABC 2   2   ， 24 AH  5 ， AQ//PC  ， QAOPCO ，  OAOC， AOQCOP ， AOQCOP(ASA) ， AQPC ， 12 y AQ ABBPPCPQ ABBCPQ102x( 剟x 4) 5 ．12 y2x10( 剟x 4) 5 ． 12 74 x 当 5 时， y 有最小值，最小值为 5 ． （3）如图3中， 分三种情形：①当 AQ AO3 时，作OH  AD于H ． 12 OH  易知 5 ， 9 AH  OA2 OH2  5 ， 9 6 HQ3  5 5 ， 6 5 OQ OH2 HQ2  5 ， 12 5 PQ2OQ 5 ． 5 AQOQDQ ②当点 Q 是AD的中点时， 2， PQ2OQ5 ． OAOQ3 PQ2OQ6 ③当 时， ． 12 5 综上所述，满足条件的 PQ 的值为 5 或5或6． 43．类比探究：（1）如图1，等边ABC 内有一点 P，若 AP8，BP15，CP17，求APB的大小；（提示：将 ABP绕顶点A旋转到ACP处） （2）如图 2，在ABC 中，CAB90， AB AC， E、 F 为 BC上的点，且EAF 45．求证： EF2 BE2 FC2 ； （3）如图3，在ABC 中，C 90，ABC 30，点O为ABC 内一点，连接 AO、BO、CO，且 AOC COBBOA120，若AC 1，求OAOBOC的值． 【解答】解：（1）如图1，将APB绕着点A逆时针旋转60得到ACP， ACPABP， AP AP8、CPBP15、APC APB， 由题意知旋转角PA P60， △AP P为等边三角形， P P AP8，A PP60，  PP2 PC2 82 152 172 PC2 ， PPC 90， APBAPC A PPP PC 6090150 （2）如图2，把ABE绕着点A逆时针旋转90得到ACE，则AE AE，CECE，CAEBAE ，  BAC 90，EAF 45， BAECAF CAF CAEFAE45， EAF EAF ，且AE  AE，AF  AF ， AEF △ AEF(SAS) ， EF EF ，  BACB90， ACBACE90， FCE90， EF2 CF2 CE2 ， EF2 BE2 CF2 ； （3）如图3，将AOB绕点B顺时针旋转60至△AOB处，连接OO， 在RtABC中，C 90，AC 1，ABC 30， AB2， BC  AB2 AC2  3，  AOB绕点B顺时针方向旋转60，△AOB如图所示； ABC ABC60306090，  ACB90，AC 1，ABC 30， AB2AC 2，  AOB绕点B顺时针方向旋转60，得到△AOB， AB AB2，BOBO，AO AO， BOO是等边三角形， BOOO，BOOBOO60，  AOC COBBOA120， COBBOOBOABOO12060180， C 、O、A、O四点共线， 在Rt△ABC 中，AC  BC2  AB2  7 ， OAOBOC  AOOOOC  AC  7．