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专题 01 三角形证明之等腰三角形证明
题型一 等腰三角形的性质
1．如图，在 中， , 为斜边 上的两个点，且 ， ,则 的度数为
A． B． C． D．
2．如图， 中， ，点 在 边上，且 ，则 的度数为
A． B． C． D．
3．已知 ， 是一个等腰三角形的两边长，且满足 ，则这个等腰三角形的周长为
．
4．已知两个等腰 ， 有公共顶点 ， ，连接 ， 是 的中点，
连接 、 ．（1）如图1，当 与 在同一直线上时，求证： ；
（2）如图1，若 ， ，求 ， 的长；
（3）如图2，当 时，求证： ．
5．如图，已知 和 都是等腰直角三角形， ， ， ．连接
交 于 ，连接 交 于 ， 与 交点为 ，连接 ．
（1）如图1，求证： ；
（2）如图1，求证： 是 的平分线；
（3）如图2，当 ， 时，求 的长．题型二 等腰三角形的判定
6．下列说法中错误的是
A．三角形的一个外角大于任何一个内角
B．三角形的中线、角平分线、高线都是线段
C．任意三角形的内角和都是
D．三角形按边分可分为三边都不相等的三角形和等腰三角形
7．如图， 等腰直角三角形 中， ， 、 分别为 、 边上的点，
， 交 于点 ，过点 作 交 的延长线于点 ，交 于
点 ．
（1） 求证： 为等腰三角形；
（2） 判断线段 、 与 的数量关系并证明你的结论 ．
题型三 等腰三角形的性质与判定的综合
8．如图，已知点 为 内一点， 平分 ， ， ．若 ， ，
则 的长为 ．9．如图， 中， ， ， ， 与 的平分线交于点 ， ，
，则
A． B． C． D．
10．如图，已知 的面积为12， 平分 ，且 于点 ，则 的面积是
A．10 B．8 C．6 D．4
11．如图， 中， ， ， 是 的角平分线， ，则 的最大值
为 ．
12．如图，在 中， 、 分别是 和 的平分线， 于 ，交 于 ，
于 ，交 于 ， ， ， ， ，结论① ；② ；③ ；④ ．其中不正确的有
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
13．如图， 中， ， 是角平分线， ， ， 、 为垂足，对于结论：
① ；② ；③ 上任一点到 、 的距离相等；④ 上任一点到 、 的距离相
等．其中正确的是
A．仅①② B．仅③④ C．仅①②③ D．①②③④
14．如图，已知 ，点 、 、 在射线 上，点 、 、 在射线 上；△
、△ 、△ 均为等边三角形．若 ，则△ 的边长为
A． B． C． D．
15．如图，已知等腰 中， ， ， 于点 ，点 是 延长线上一点，
点 是线段 上一点， ，下面的结论：① ；② 是等边三角形；③ ；④ ，其中正确的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
16．如图，在 中， ， 是 上任意一点，过 分别向 ， 引垂线，垂足分别为 ，
， 是 边上的高．
（1） ， ， 的长之间存在着怎样的等量关系？并加以证明；
（2）若 在底边的延长线上，（1）中的结论还成立吗？若不成立，又存在怎样的关系？请说明理由．题型四 等腰三角形的分类讨论
17．若 的三边分别为 ， ，8，且 为等腰三角形，则 的周长为 ．
18．在等腰 中， ， 上的中线 将三角形周长分为15和21两部分，则这个三角形的底
边 长为 ．
19．已知等腰三角形的周长是12，设腰长为 ，底边长为 ，那么 关于 的函数关系式为
（写出自变量 的取值范围）．
20．如图，在 中， ， ，点 在线段 上运动 不与 、 重合），连接 ，
作 ， 交线段 于 ，在点 的运动过程中， 的形状也在改变，当 是等腰三
角形时， 的度数是 ．
21．在 中， ， 的垂直平分线与 所在直线相交所得的锐角为 ，则底角 的度数
是 ．
题型五 等腰三角形存在性问题
22．在平面直角坐标系中，点 坐标为 ，点 在 轴上运动，当以点 ， 、 为顶点的三角形为
等腰三角形时，点 的个数为
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
23．如图，在 中， 为钝角， ， ，点 从点 出发以 的速度向点
运动，点 同时从点 出发以 的速度向点 运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之
停止运动．当 是等腰三角形时，运动的时间是A． B． C． D．
24．如图，在平面直角坐标系中，已知点 ，点 是 轴上的一个动点，当 是等腰三角形时，
点 的坐标为 ．
25．在平面直角坐标系中点 、 分别是 轴、 轴上的点且点 坐标是 ， ．点 在
线段 上，是靠近点 的三等分点．点 是 轴上的点，当 是等腰三角形时，点 的坐标是 ．
26．如图，正方形 边长为2， 为 上一动点，作 于 ，连接 ．当 是以
为腰的等腰三角形时， 的长为 ．27．如图，在平面直角坐标系 中，一次函数 的图象与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，
且与正比例函数 的图象交于点 ．
（1）求一次函数 的函数关系式；
（2）求 的面积；
（3）若点 在第二象限， 是以 为直角边的等腰直角三角形，直接写出点 的坐标．
28．如图1，平面直角坐标系中，直线 交 轴于点 ，交 轴正半轴于点 ．
（1）求点 的坐标；
（2）如图2，直线 交 轴负半轴于点 ，且 ， 为线段 上一点，过点 作 轴的平行线
交直线 于点 ，设点 的横坐标为 ，线段 的长为 ，求 与 之间的函数关系式；
（3）在（2）的条件下， 为 延长线上一点，且 ，在线段 上是否存在点 ，使 是
以 为斜边的等腰直角三角形，若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．29．如图，在平面直角坐标系中， 是坐标原点，直线 与 轴、 轴分别交于 ， 两点，
且 ，点 是直线 上的一个动点，连接 ．
（1）求 点的坐标和 的值；
（2）求 的面积 与 之间的函数关系式；
（3）探索：
①当点 运动到什么位置时， 的面积是 ？
②在①的情形下， 轴上是否存在一点 ，使 是等腰三角形？若存在，请写出满足条件的所有 点
的坐标；若不存在，请说明理由．
30．如图1，一次函数 的图象与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，与正比例函数
的图象交于点 ．
（1）求一次函数的解析式及点 的坐标；
（2）在 轴上是否存在一点 ，使 是等腰三角形，若存在，请直接写出点 的坐标，若不存在，
请说明理由；
（3）如图 2，过点 作 轴于点 ，点 是线段 上一点， 是 轴正半轴上一点，且
，连接 ，求 的面积的最大值．31．如图1，平面直角坐标系中，直线 交 轴于点 ，交 轴正半轴于点 ．
（1）求 的面积；
（2）如图2，直线 交 轴负半轴于点 ， ， 为线段 （不含 ， 两点）上一点，过点
作 轴的平行线交线段 于点 ，设点 的横坐标为 ，线段 的长为 ，求 与 之间的函数关系
式；
（3）在（2）的条件下， 为线段 延长线上一点，且 ，在直线 上方的直线 上是否存
在点 ，使 是以 为斜边的等腰直角三角形？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明
理由．
32．如图（1）， 中， ， ， ， 的平分线 交 于 ，过
点作与 垂直的直线 ．动点 从点 出发沿折线 以每秒1个单位长度的速度向终点 运
动，运动时间为 秒，同时动点 从点 出发沿折线 以相同的速度运动，当点 到达点 时 、
同时停止运动．（1）求 、 的长；
（2）设 的面积为 ，求 与 的函数关系式；
（3）当 在 上 在 上运动时，如图（2），设 与 交于点 ，当 为何值时， 为等
腰三角形？求出所有满足条件的 值．
33．如图，正方形 的边 ， 在坐标轴上，点 的坐标为 ．点 从点 出发，以每秒1
个单位长度的速度沿 轴向点 运动；点 从点 同时出发，以相同的速度沿 轴的正方向运动，规定点
到达点 时，点 也停止运动．连接 ，过 点作 的垂线，与过点 平行于 轴的直线 相交于点
． 与 轴交于点 ，连接 ．设点 运动的时间为 ．
（1） 的度数为 ，点 的坐标为 （用 表示）；
（2）当 为何值时， 为等腰三角形？
（3）探索 周长是否随时间 的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，试求这个定值．题型六 等边三角形的性质与判定
34．等边 的边长为 6， 是 边上的中线， 是 上的动点， 是 边上的动点，则
的最小值 ，若 ， 的最小值为 ．
35．如图，直线 交 轴于点 ，交 轴于点 ，点 和点 关于 轴对称，连接 ，点
是 外一点， ，点 是 上一点，点 是 上一点，且 ，连接 ， ．
若 ，则 的值为 ．
36．如图，在 中， ， ， ，点 是 上的动点，连接 ，以 为
边作等边 ，连接 ，则点 在运动过程中，线段 长度的最小值是 ．37．如图， 在平面直角坐标系中， 已知点 ， 为等边三角形， 是 轴上一个
动点 （不 与原点 重合） ，以线段 为一边在其右侧作等边三角形 ．
（1） 求点 的坐标；
（2） 在点 的运动过程中， 的大小是否发生改变？如不改变， 求出其大小；如改变，
请说明理由 ．
（3） 连接 ，当 时， 求 点的坐标 ．
38．如图1，将两个完全相同的三角形纸片 和 重合放置，其中 ， ．
（1）操作发现如图2，固定 ，使 绕点 顺时针旋转．当点 恰好落在 边上时．
①线段 与 的位置关系是 ．（不需证明）
②设 的面积为 ， 的面积为 ，则 与 的数量关系是 ，证明你的结论；（2）猜想论证
当 绕点 旋转到图3所示的位置时，小明猜想（1）中 与 的数量关系仍然成立，并尝试分别作
出了 和 中 ， 边上的高，请你证明小明的猜想．
