文档内容
专题 01 三角形的内角和外角
目录
A题型建模・专项突破
题型一、三角形内角和定理的证明..........................................................................................................................1
题型二、与平行线有关的三角形内角和问题..........................................................................................................6
题型三、与角平分线有关的三角形内角和问题......................................................................................................9
题型四、三角形折叠中的角度问题........................................................................................................................14
题型五、三角形外角的性质....................................................................................................................................18
题型六、三角形的内、外角综合问题....................................................................................................................20
B综合攻坚・能力跃升
题型一、三角形内角和定理的证明
1．（24-25八年级上·河北邢台·期末）下列证明“三角形的内角和等于180°”所作的辅助线不正确的是（
）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是平行线的判定和性质，三角形内角和，根据平行线性质对各选项进行逐一分析即可．
熟知平行线的性质是解题的关键．
【详解】解：A、作 ，则可得 ，
，故该选项不符合题意；
B、作 ，则可得 ，
，故该选项不符合题意；
C、如图，过点 作 ，
，
则可得 ， ， ，，
故该选项不符合题意，
D、添加图中辅助线不能说明“三角形的内角和等于180°”，故该选项符合题意，
故选：D．
2．（25-26八年级上·天津南开·期中）在探究证明“三角形的内角和是 ”时，综合实践小组的同学作
了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是 ”的是
A．如图①所示，过点 作
B．如图②所示，过点 作
C．如图③所示，过点 作 、垂足为点
D．如图④所示，过 边上点 作 ，
【答案】C
【分析】本题主要考查三角形内角和定理的证明，根据平行线的性质，平角的定义即可得解，熟练掌握三
角形内角和定理的证明方法，是解决本题的关键．作出相应的平行线，把三角形的三个内角转化到同一条
直线上，再根据平角的定义解决此题．
【详解】解：如图①所示，过点 作 ，
， ，
，
故图①能证明“三角形内角和是 ”，
故A选项不符合题意；
如图②所示，过点 作 ，
， ，
，
故图②能证明“三角形内角和是 ”，
故B选项不符合题意；
如图③所示，过点 作 、垂足为点 ，
只能证明 ，
故图③无法证明“三角形内角和是 ”，
故C选项符合题意；
如图④所示，过 边上点 作 ， ，
四边形 是平行四边形， ， ，，
，
故图④能证明“三角形内角和是 ”，
故D选项不符合题意．
故选：C．
3．（25-26九年级上·四川攀枝花·期末）我们在解决“三角形内角和”问题时，将三角形的三个内角顺次
标上 、 、 ，如图1，再将 、 剪下，将它们与 拼在一起，如图2．
(1)在图2中，通过 、 、 的拼接，你发现了什么？
(2)通过图2中的发现，你能得出什么猜想？
(3)通过图2的拼接过程，找到一种作辅助线的方法来证明你的猜想．
【答案】(1)
(2)三角形内角和为 ；
(3)见解析
【分析】题目主要考查证明三角形内角和定理及平行线的性质，理解题意是解题关键．
（1）根据图形直接写出结果即可；
（2）根据（1）写出猜想即可；
（3）根据题意，延长 ，过点C作 ，然后利用平行线的性质即可证明．
【详解】（1）解：通过 、 、 的拼接，发现 ；
（2）猜想：三角形内角和为 ；
（3）延长 ，过点C作 ，如图所示：
∴ ，
∵ ，
∴ ．
4．（24-25七年级下·宁夏吴忠·期末）【探究学习】小学阶段，我们可以通过“拼”角、“折”角，观察
得到三角形内角和为 ，现在我们学习了平行线的性质，就可以证明此结论的正确性了．（1）如图1，过 的顶点 作 的平行线 ，请你证明三角形的内角和为 ．
证明：∵ ，
∴ ， ______（______）
∵ （平角的定义）
∴______ （等量代换）
即三角形的内角和为 ．
【解题反思】平行线具有“等角转化”的功能．
【迁移应用】（2）近年来，我国一直提倡“绿色环保、低碳生活”，健康骑行越来越受到老百姓的喜欢．
自行车的示意图如图 ，其中 ，请你求 ， ， 这三个角的关系．（提示：过点
作 ）
【学以致用】（3）如图 是超市购物车，图 是其侧面示意图，已知 ， ，测量得知
， ，则 ______．
【答案】
（1） ，两直线平行，内错角相等，
（2）
（3）
【分析】本题考查平行线的性质，三角形的内角和定理，平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相
关性质．
（1）根据平行线的性质，补全证明过程即可；
（2）由平行线的判定和性质，可得 ， ，等量代换即可得 ， ，
这三个角的关系；
（3）作 ， ，由平行线的性质可得 ， ，相加即可．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ， （两直线平行，内错角相等）
∵ （平角的定义）
∴ （等量代换）
即三角形的内角和为 ．
故答案为： ，两直线平行，内错角相等， ．
（2）解：过点 作 ，∵ ，
∴ （平行于同一直线的两条直线平行），
∴ ， （两直线平行，内错角相等），
∴ （等量代换）
即
（3）如图，作 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
作 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴
∴
故答案为： ．
题型二、与平行线有关的三角形内角和问题
5．（24-25七年级下·广西百色·期末）如图，直线 ， ， ，则 的度数为 ．【答案】 /102度
【分析】本题考查平行线的性质，解题的关键是利用平行线的性质求出相关角的度数，再结合三角形内角
和为 求出 的度数．
【详解】
如图：
故答案为： ．
6．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在 中， ，点D在 边上， ，若
，求 的度数．
【答案】
【分析】本题考查了平行线的性质及三角形的内角和定理，掌握平行线的性质是解决问题的关键．
先由平行线的性质求出 的度数，再根据三角形内角和定理即可求出 的度数．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ．7．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）如图， 中， 分别是 上的点，满足
．
(1) ， 是否平行？说明理由．
(2)若 平分 ， ，求 度数．
【答案】(1)平行
(2)
【分析】本题考查了三角形的内角和，平行线的判定等知识点．
（1）由三角形内角和为 ，结合已知可得 ，由同位角相等两直线平行即可得出结论；
（2）根据角平分线定义可得 ，结合 可得 ．
【详解】（1）结论：平行，
∵ ，
，
∴ ，
∴ ．
（2）∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
8．（24-25七年级下·河南焦作·期末）如图所示的格线彼此平行．小航在格线中作已知角，探究角的两边
与格线形成的锐角所满足的数量关系．他先作出 ，记 与图中一条格线 形成的锐角为 ，
与图中另一条格线 形成的锐角为 ．
(1) 如图1，点O在一条格线上，当 时， _________ ； 如图2，点O在两条格线之间，
用等式表示 与 之间的数量关系，并说明理由；
(2)在图3中，小航作射线 ，使得 ．记 与图中的格线形成的锐角为 ， 与图中格线形成的锐角为 ，请直接用等式表示 与 之间的数量关系．
【答案】(1) ； ，理由见解析
(2) 或 ．
【分析】（1） 根据“两直线平行，同位角相等”，即可得答案； 过O点作 平行于格线，同理可
得 ；
（2）分两种情况讨论： 射线 在 的内部 射线 在 的外部．
【详解】（1）解：如图：
如图1： 格线都互相平行， ，
，
，
，
，
故答案为： ；
，
证明：如图2：过O点作 平行于格线，
格线都互相平行,
，
，
;
（2） 或 ，
理由： 当射线 在 的内部，如图：
，
，
格线都互相平行，,
，
，
；
当射线 在 的外部，如图：
，
，
格线都互相平行，
,
，
．
综上所述： 或 ．
题型三、与角平分线有关的三角形内角和问题
9．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在 中， ， ， 是角平分线，则
度
【答案】100
【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，由三角形内角和定理求出 的度数，
由角平分线的定义求出 的度数，则由三角形内角和定理可得答案．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ，
∵ 是角平分线，
∴ ，∴ ，
故答案为：100．
10．（25-26八年级上·四川广元·期中）如图，已知 中， 与 ， 相邻的外角的
角平分线交于点D，则 的度数为 ．
【答案】 /70度
【分析】本题考查了三角形外角的性质与角平分线的定义，解题的关键是利用三角形内角和及外角和的关
系，结合角平分线表示出相关角的度数．
先根据三角形外角的性质，用 表示出 与 的外角和；再结合角平分线的定义，求出
所在三角形的内角和，进而得出 的度数．
【详解】解：在 中， ，
故
∴ ，
∵ 是外角平分线， ，
∴ ，
故 ．
故答案为： ．
11．（25-26八年级上·吉林·期末）如图， 中， 平分 ．点E，F分别在边 ， 上；
， 交于点G， ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的度数．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】本题考查了平行线的判定，三角形内角和定理，角平分线的定义等知识点，掌握平行线的判定，
三角形内角和定理，角平分线的定义是解本题的关键．（1）首先根据 ， ，等量代换可得 ，进而得到
，最后利用平行线的性质即可得证 ，再由角平分线的定义得出 ，
等量代换即可得出 ．
（2）根据三角形的内角和定理得出 ，再利用角平分线的定义得出 ，又因为
，所以 ，进而可求出 的度数．
【详解】（1）证明： ， ，
，
，
．
平分 ，
∵ ，
∴ ．
∴（2）解： ， ，
，
是角平分线，
，
，
，
．
12．（24-25八年级上·吉林·期末）在 中， 与 的平分线相交于点 ．
(1)如图1，试探究 与 的数量关系；
(2)如图2，作 外角的平分线 ， 交于点 ．请分别写出 与 ， 与 的数量关系，
不需要证明；
(3)如图3，延长线段 ， 交于点 ．在 中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，直接用
（1）和（2）中的相关结论求 的度数．
【答案】(1)(2) ；
(3) 或 或
【分析】本题考查角平分线的定义，三角形内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，
学会用分类讨论的思想思考问题．
（1）利用角平分线的定义以及三角形的内角和定理求解即可．
（2）证明 ， 可得结论．
（3）首先证明 ，分3种情形分别求解即可解决问题．
【详解】（1）解：如图①中， 与 的平分线相交于点 ，
，
，
；
（2）解： ； ，理由如下：
理由：如图②中， 外角 ， 的角平分线交于点 ，
，
，
，
；
（3）解：如图，延长 至 ，平分 ，
，
， ，
，
平分 ，
，
，
，
即 ，
又 ，
，
，
如果 中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分3种情况：
① ，则 ， ，
② ，则 ， ；
③ ，则 ，
综上所述， 的度数是 或 或 ．
题型四、三角形折叠中的角度问题
13．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，在 中， ， 为 边上一点，连接
，将 沿 翻折得到 ，若 ，则 的度数为 ．【答案】64
【分析】本题考查折叠中的三角形的内角和问题，根据折叠，得到 ，三角形的内
角和定理求出 的度数，平行线的性质，角的和差关系，求出 的度数，进而求出 的度数，
再根据三角形的内角和定理进行求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵折叠，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：64．
14．（25-26八年级上·山西朔州·期中）如图，在 中， 、 的平分线交于点P，将
沿 折叠使得点A与点P重合，若 ，则 的度数是 ．
【答案】
【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，找出角度之间的数量关系是解题
关键．由折叠的性质可知， ， ，则
，从而得出 ，再利用三角形内角和定理求解
即可．
【详解】解：由折叠的性质可知， ， ，
， ，
，
，
，
，
，
，、 的平分线交于点P，
， ，
，
，
故答案为： ．
15．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图， 是一张纸片，把 沿 折叠，使点C落在点 的
位置．
(1)当 时，求 的度数．
(2)若 ，请直接写出 的度数．（用含 的代数式表示）
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查折叠的性质与三角形内角和定理，掌握“折叠前后对应角相等、三角形内角和为
”是解题的关键．
（1）根据折叠性质， ，故 ， ， ；
（2）根据（1）以及折叠的性质，代入求解即可．
【详解】（1）解：∵点C沿 折叠落在点 ，
∴ ，
在 中，
，
， ，
∴ ．
（2）解：由（1）可得： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
16．（25-26八年级上·福建厦门·月考）定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”，例如：在 中，如果 ，
，那么 与 互为“友爱角”， 为“友爱三角形”．
(1)如图1， 是“友爱三角形”，且 与 互为“友爱角”（ ），
①则 _________， __________．
②将 沿过点 的直线翻折，使得点 落在 边上的点 处，折痕为 （ 在 上）．判断
是否为“友爱三角形”，并说明理由．
(2)如图2，在 中， ， ， 是边 上一点（不与 、 重合），连接 ．将
沿 翻折得到 ， 落在 边上，若 是“友爱三角形”，求 的度数．
【答案】(1)① ； ；② 是“友爱三角形”，理由见解析
(2) 或 或 或
【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
（1）①根据三角形内角和定理和“友爱角”的定义求解即可；由折叠的性质可证明 ，
则可证明 ，据此可得结论；
（2）由折叠的性质得到 ， 则 ；再分
， ， 和 四种情况，讨论求解即可．
【详解】（1）解：①∵ ，
∴ ；
∵ 与 互为“友爱角”（ ），
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
② 是“友爱三角形”，理由如下：
由折叠的性质可得 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是“友爱三角形”；（2）解：由折叠的性质可得 ， ，
∴ ；
∵ 是“友爱三角形”，
∴当 时，则 ，
∴ ，
∴ ；
当 时，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
当 时，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
当 时，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
综上所述， 的度数为 或 或 或 ．
题型五、三角形外角的性质
17．（25-26八年级上·福建厦门·月考）如图， 的补角等于 ， ，则 ．
【答案】
【分析】本题考查三角形外角的性质，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和．
由已知可得 ，根据 ，即可求解．
【详解】解： 的补角等于 ，
，，
．
故答案为： ．
18．（25-26八年级上·北京昌平·期中）如图，直线 ，则 度．
【答案】
【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角的性质，根据两直线平行，内错角相等可得 的
度数，再根据三角形外角的性质即可得到答案．
【详解】解：∵直线 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
19．（25-26八年级上·重庆·期中）如图所示， ， ， ，则 ．
【答案】 /76度
【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，通过延长 交 于点 ，利用三角形外角的性质，逐步推
导得出 的度数．
【详解】解：延长 交 于点 ．
∵ 是 的外角，
∴ ．
∵ ， ，∴ ，
∴ ．
∵ 是 的外角，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
20．（25-26八年级上·陕西榆林·月考）如图，在 中， 的角平分线和 的外角平分线交
于点 ；若 ，则 ．
【答案】 / 度
【分析】本题考查了与角平分线有关的计算，三角形的外角性质，根据 的角平分线和 的外
角平分线交于点 ，得 ，结合三角形的外角性质进行分析，则
，代入数值到 进行计算，即可作答．
【详解】解：∵ 的角平分线和 的外角平分线交于点 ，
∴ ，
∵ ，且 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
题型六、三角形的内、外角综合问题
21．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图， 分别是 的两个外角．
(1)若 ，求 的度数．(2)若 ，请用含 的代数式表示 的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，熟知三角形外角的性质和三角形内角和
定理是解题的关键．
（1）根据三角形外角的性质可得 ，由三角形内角和定理可得
，据此可得答案；
（2）同（1）求解即可．
【详解】（1）解：∵ 分别是 的两个外角，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ；
（2）∵ 分别是 的两个外角，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ．
22．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，在 中， 平分 ， 为线段 上的一个动点，
交 的延长线于点 ．
(1)若 ， ，求 的度数；
(2)当P点在线段 上运动时，猜想 ， 与 的数量关系，并证明．
【答案】(1) 的度数是
(2) ，证明见解析
【分析】本题考查了三角形的内角和定理及外角性质、角平分线的定义，特别注意第（2）小题，根据第
（1）小题的思路即可推导．
（1）首先根据三角形的内角和定理求得 的度数，再根据角平分线的定义求得 的度数，从而
根据三角形的内角和定理即可求出 的度数，进一步求得 的度数；
（2）根据第（1）小题的思路即可推导这些角之间的关系．
【详解】（1）解：∵ ， ，∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ 交 的延长线于点E，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 的度数是 ．
（2）解：
证明：∵ ， 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∵ 交 的延长线于点E，
∴ ，
∴ ，
即 ．
23．（25-26八年级上·安徽六安·月考）如图，在 中， ， 分别是 的中线和高， 是
的角平分线．
(1)若 ， ，求 的度数．
(2)若 的面积为 ， ，求 的长．
【答案】(1)
(2)8
【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，三角形的中线，高以及角平分线，解题的关
键是熟练掌握相关性质．
（1）由三角形外角的性质可得， ，得到 ，根据角平分线的定义可得，
，再根据 为高可得 ，再根据三角形内角和定理即可求解；（2）由 是中线可得 ，再根据面积求解即可．
【详解】（1）解：由三角形外角的性质可得， ，
∴ ，
平分 ，
，
为高，
，
；
（2）解：∵ 是中线，
∴ ，即 ，
则 ，解得 ．
24．（25-26八年级上·甘肃陇南·期末）综合与探究
【感知】如图1，在 中， 、 分别是 和 的角平分线．
【应用】
(1)若 ，则 ；若 ，则 ；
(2)求 与 之间的关系并证明；
【拓展】
(3)如图2，在四边形 中， 、 分别是 和 的角平分线，求 与 的数
量关系．
【答案】(1) ； ；
(2) ，证明见解析；
(3)
【分析】本题考查三角形内角和定理，外角性质定理，角平分线的定义；熟练掌握三角形的内角和定理是
解题的关键．
（1）根据角平分线定义，三角形内角和定理求解即可；
（2）根据角平分线，三角形内角和定理进行求解；
（3）结合（2）的结论，根据三角形外角性质，内角和定理求解．
【详解】（1）解：若 ，
∵ 分别是 和 的平分线， ， ，∴ ，
∴ ．
若 ，
∵ 分别是 和 的平分线，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ； ；
（2）解： ；理由如下：
∵ 分别是 和 的平分线，
∴ ， ，
∴
；
（3）解： ．
如图，延长 ，交于点E，由（2）知， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴
，
即 ．
一、单选题
1．（25-26八年级上·天津滨海新·期中）如图， 是 的一个外角，若 ， ，则
的度数（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查三角形的外角性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．三
角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，由此即可计算．
【详解】解： ， ，
．
故选：B．
2．（25-26八年级上·吉林松原·期末）马扎（图①）是中国传统手工艺制品，腿交叉，上面绷帆布或麻绳
等，可以合拢，方便携带，图②为其侧面示意图．若 ， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【分析】本题考查三角形中求角度，熟记三角形外角性质是解决问题的关键．
根据题中图②，由 是 的一个外角，得到 ，将 ，
代入计算即可得到答案．
【详解】解：如图所示：
是 的一个外角，
，
， ，
，
故选：B．
3．（24-25七年级下·重庆·期末）如图，将 纸片沿 折叠，使点A落在点 处，且 平分
， 平分 ，若 ， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查三角形的内角和定理、轴对称的性质，角平分线的定义、三角形的外角的性质等知识，
解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识，属于中考常考题型．
连接 ．首先求出 ，再求出 ，由折叠可知： ，
，然后求出 即可解决问题．
【详解】解：连接 ，
∵ ，∴ ，
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ，
∴ ，
由折叠可知： ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故选：B．
4．（25-26八年级上·广东深圳·期末）随着科技的发展，骑行共享单车这种＂低碳＂生活方式已融入人们
的日常生活．如图是深圳某品牌共享单车放在水平地面的实物图和抽象出来的单车示意图，其中 ，
都与地面 平行， 与 平行， ， ，则 的度数为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了根据平行线的性质求角度，三角形内角和定理．根据 ，得出
，根据三角形内角和定理，得出 ，再利用
，可得出 ．
【详解】解： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
故选：C．
∴
5．（25-26八年级上·安徽·月考）在 中， ， 的平分线交于点 ， 的外角平分
线所在直线与 的平分线相交于点 ，与 的外角平分线相交于点 ，则下列结论一定正确的
个数有（ ）个．① ；② ；③ ；④ ．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了三角形内角和定理，外角的性质，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握并灵活应
用相关性质进行求解．根据三角形内角和定理，外角的性质，角平分线的定义，逐项分析判断即可．
【详解】解：由条件可知，
， ，
，
，
故③正确，符合题意；
由条件可知， ，
， ，
，
，
故④正确，符合题意；
， ， ，
，
平分 ， 平分 ，
， ，
，
，
故②正确，符合题意；
，
，，
，
故①正确，符合题意；
综上正确的有：①②③④．
故选：D．
二、填空题
6．（25-26八年级上·广东江门·月考）在 中， ， ，则 的度数为 ．
【答案】 /87度
【分析】本题考查三角形内角和定理，关键是掌握三角形的内角和是 ．
利用三角形内角和定理计算 的度数．
【详解】解：在 中， ，
， ，
．
故答案为： ．
7．（25-26八年级上·广东江门·期中）如图，直线 平分 ， 平分 的外角 ，则
与 、 的数量关系是 ．
【答案】
【分析】本题考查三角形外角的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理等，作 的平分线与
的延长线交于点 ， 与 交于点M， 与 交于点Q，根据角平分线的定义证明 ，
再用 、 表示出 ，最后由三角形外角的性质得出 ，即可求解．
【详解】解：如图，作 的平分线与 的延长线交于点 ， 与 交于点M， 与 交于点
Q，
平分 ， 平分 ， 平分 ，
， ， ，
，．
， ，
， ，
，
，
，
，
，
即 ．
故答案为： ．
8．（25-26八年级上·江苏泰州·月考）如图，在 中， ， ，点 在边 上，且
，点 在直线 上，且 ， ，则 与 的函数关系式为 ．
【答案】 或
【分析】本题等腰三角形的性质，三角形的内角和，三角形的外角性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．
分当点 在线段 上时和当点 在线段 的延长线上时，两种情况讨论，根据等边对等角，三角形的内
角和以及三角形的外角性质，先表示出 ， ，进而表示出 ， 最后等量代换表示出
即可．
【详解】解：当点 在线段 上时，如图所示，
， ，
， ，
，，
即 ；
当点 在线段 的延长线上时，如图所示，
， ，
， ，
，
，
即 ；综上， 与 的函数关系式为 或 ．
9．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图， 是 的外角 的平分线，且 交 的延长线
于点 ．
（1）若 ， ，则 °；
（2）直接写出 、 和 之间存在的等量关系： ．
【答案】
【分析】本题考查了角平分线的定义、三角形内角和定理，三角形的外角性质，熟练掌握三角形的外角性
质是解题关键．
（1）先根据三角形的外角性质和角平分线的定义可得 ，再根据三角形内角和性质求
解即可得；
（2）先根据角平分线的定义可得 ，再根据三角形的外角性质即可得出结论．
【详解】解：（1）∵ ， ，
∴ ，
∵ 是 的外角 的平分线，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
（2） ．理由如下：
∵ 是 的外角 的平分线，
∴ ，
由三角形的外角性质得： ， ，
∴ ．
故答案为： ．
10．（24-25八年级下·福建宁德·月考）经过三角形一个顶点及其对边上一点的直线，若能将此三角形分割
成两个等腰三角形，称这个三角形为“钻石三角形”，这条直线称为这个三角形的“钻石分割线”，例如：
在 中， ，若存在过点 的“钻石分割线” ，使 是“钻石三角形”，如图所示，
当 ， 时，是满足条件的一种情况，此时 ．求满足以上条件的其他情况时 的
度数为 ．【答案】 或 或
【分析】本题考查等腰三角形的性质与判定，三角形的内角和性质，三角形外角性质，能够正确分类讨论
是解决本题的关键．
分类当 ， 时， ， 时， ， 时， ，
时，结合等腰三角形的性质与三角形外角的性质计算求解．
【详解】解：当 ， 时，如图所示，
，
，
，
，
，
即此时 ，
；
当 ， 时，如图所示，
，
，
，
，
，
，
即此时 ，
；
当 ， 时，如图所示，
，
，，
，
，
即此时 ，
；
当 ， 时，如图所示，
，
，
，
，
，
，
即此时 ，
；
当 ， 时，如图所示，
，
，
，
，
，
，
即此时 ，
；
综上所述， 的度数为 或 或 或 ．
故答案为： 或 或 ．三、解答题
11．（25-26八年级上·全国·期末）如图，点E，F，G分别在直线 上，已知
．
(1) 与 平行吗？请说明理由；
(2)若 ， ，求 的度数．
【答案】(1)平行，理由见解析
(2)
【分析】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能灵活运用性质进行推理是解此题的关键．
（1）根据内错角相等，两直线平行得 ，根据平行线的性质得出 ，等量代换得
，根据平行线的判定得出即可；
（2）由平角的定义 ，根据平行线的性质得出 ，根据三角形外角的
性质得出即可．
【详解】（1）解： ，理由如下：
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ．
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
12．（2025八年级上·全国·专题练习）为了证明“三角形的内角和是 ”，林老师给出了如图所示四种
作辅助线的方法．回答下列问题：(1)能证明“三角形内角和是 ”的方法是______（请填写序号）；
(2)在（1）的正确方法中，任意选择其中一种方法进行证明．
【答案】(1)①②③
(2)选择图①，证明见解析．
【分析】本题主要考查平行线的性质和三角形内角和定理，牢记平行线的性质是解题的关键．
证明“三角形的内角和是 ”的方法均是将三角形的三个内角的和转化为平角．
【详解】（1）①②③
（2）当选择图①时，证明：如图．
．
，
三角形的内角和为 ．
当选择图②时，
证明： ．
，
， 三角形的内角和为 ．
当选择图③时，证明： ，
．
，
∴三角形的内角和为 ．（答案不唯一，选择一种方法证明即可）．
13．（25-26八年级上·江西上饶·月考）如图1，点 ， 分别在射线 ， 上运动（不与点 重合），
， 分别是 和 的平分线，延长 交 于点 ．(1)若 ，求 的度数；
(2)如图2，若 ，过点 作 交 于点 ，求 与 的数量关系．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，三角形外角的性质和内角和定理，熟练应用三角形
外角性质是解题的关键．
（1）根据角平分线的定义得到 ，再根据三角形的外角性质求出 的度数；
（2）根据角平分线的定义得到 ，再根据三角形的外角性质求出 ，根据
平行线的性质得到 ，进而得到 ．
【详解】（1）解： ，
，
， 分别是 和 的平分线，
， ，
，
．
（2） ，
，
， 分别是 和 的平分线，
， ，
，
，
，
，
，
故 与 的数量关系为 ．
14．（25-26八年级上·湖北随州·期中）如图，在 中， ，点 、 分别在边 、 上．(1)如图甲，若 ， 是 上的高， ，则 ________ ；
(2)如图乙，若 ， 是 上的高， ，则 ___________ ；
(3)通过对图甲、乙的观察和 的探究，如图丙，当 时，你会发现 与 大小间有
何关系？请用式子表示，并证明．
【答案】(1)
(2)
(3) ，证明见解析
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角的性质．解题的关键在于确
定角度的数量关系．
（1）由题意知 ， ， ，由三角形的内角和定理求
的值，由 计算求解即可；
（2）同（1）的方法计算求解即可；
（3）由题意知 ， ， ，由
可知 与 的关系．
【详解】（1）解： 在 中， ， 是 上的高，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为： ．
（2）解：同（1）得 ， ，
，
，
，
，
．故答案为： ．
（3）解： （或 ）；理由如下：
证明： ， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
15．（25-26八年级上·湖南永州·期中）【阅读】如图1， 是 的一个外角，我们知道：
，又因为 ，所以 ．于是我们得到一个结论：
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
提问：若 ， ，则 ；
【理解】
如图2，在五角星形 中， 是 的一个外角， 是 的一个外角，求：
的度数；
【应用】
如图3， ，点A、B分别在 、 上运动（不与点O重合）， 是 的平分线，
的反向延长线交 的平分线与点D．试问：随着点A、B的运动， 的大小会改变吗？如果不会，
求出 的度数；如果会，请说明理由．
【答案】[阅读] ；[理解] ；[应用] 的度数不会发生改变，为
【分析】本题考查了角平分线的有关计算，三角形内角和定理的应用，三角形的外角的定义及性质等知识，
解题关键是掌握上述知识点并能运用求解．
[阅读]利用三角形外角的性质求解；
[理解]通过两次运用三角形外角的性质，分别得出 ， ，再利用三角形
内角和定理求解即可；[应用]先利用三角形外角的性质得出 ，再利用角平分线的意义结合
求解．
【详解】[阅读]
解：∵ ， ，
∴ ，
故答案为： ；
[理解]
∵ 是 的一个外角，
∴ ，
∵ 是 的一个外角，
∴ ，
在 中， ，
∴ ；
[应用]
的度数不会发生改变，为 ，理由如下：
在 中， ，
∵ ，
∴ ，
∵ 、 分别是 、 的角平分线，
∴ ， ，
在 中， ．
