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第 07 讲 “平行线”的证明
1.平行线的概念：
在同一平面内，永不相交的两条直线称为平行线．用“ ”表示．
2.平行线的性质与判定
平行线的性质 几何语言
1
a
3
4 2
b
两直线平行，同位角相等； 若 ，则 ；
两直线平行，内错角相等； 若 ，则 ；
两直线平行，同旁内角互补． 若 ，则
平行线的判定 几何语言
1
a
3
4 2
b
同位角相等，两直线平行； 若 ，则 ；
内错角相等，两直线平行； 若 ，则 ；
同旁内角互补，两直线平行． 若 ，则3.平行公理：
经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
简单说成：过一点有且只有一条直线与已知直线平行．
几何语言：
过直线 外一点 做 ， ，则 与 重合．
A
b (c)
a
4. 平行公理推论：
如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
简单说成：平行于同一条直线的两条直线平行．
几何语言：
若 ，则 ． c
b
a
5.常考模型（1）M型模型（也称“猪蹄模型”）
（2）铅笔头模型
（3）鸡翅模型
（4）折鸡翅模型（5）多个M型模型
（6）多个铅笔头模型
6.三角形的内角和为180°，三角形任意一个外角度数等于与它不相邻的两个内
角之和。例题1
如图所示，点E在AC的延长线上，下列条件中能判断AB//CD的是（ ）
A． B． C． D．
例题2
下列说法：
①在同一平面内，不相交的两条线段叫做平行线；
②过一点，有且只有一条直线平行于已知直线；
③两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等；
④同旁内角相等，两直线平行．
正确的个数有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
例题3
如图，若AB∥CD，则α、β、γ之间的关系为( )
A．α+β+γ=360° B．α﹣β+γ=180°C．α+β﹣γ=180° D．α+β+γ=180°
例题4
如图，已知BE平分∠ABD，DE平分∠CDB，且∠1与∠2互余，
求证：AB∥CD．
例题5
如图，将一副直角三角板摆放，点C在EF上，AC经过点D，已知∠A=∠EDF=90°，AB=AC，
∠E=30°，∠BCE=40°，则∠CDF=（ ）
A． B． C． D．1.如图，下列能判定 的条件有（ ）个．
（1） ；（2） ；（3） ；（4） ．
A．1 B．2 C．3 D．4
2.如图，在下列四组条件中，能判断 的是（ ）
A． B．
C． D．
3.如图，点E在BC的延长线上，下列条件中不能判定AB∥CD的是（ ）
A．∠1=∠2 B．∠3=∠4
C．∠B=∠DCE D．∠D+∠DAB=180°4.如图，下列条件中，能判定DE∥AC的是（ ）
A．∠EDC＝∠EFC B．∠AFE＝∠ACD
C．∠3＝∠4 D．∠1＝∠2
5.有下列命题：①对顶角相等：②垂直于同一条直线的两直线垂直；③平行于同一条直线的
两直线平行；④内错角相等.其中假命题有( )
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
6.如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边 上（ ∥ ），若∠1=25°，则∠2的度数
为（ ）
A．55° B．25° C．60° D．65°
7.如图所示，在△ABC中，内角∠BAC与外角∠CBE的平分线相交于点P，BE＝BC，PB与CE
交于点H，PG∥AD交BC于F，交AB于G，连接CP,下列结论：①∠ACB＝2∠APB；②S ：
△PAC
S ＝AC：AB；③BP垂直平分CE；④∠PCF＝∠CPF;其中，正确的有( )
△PABA．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8.如图，已知D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A=∠ABD，若AC=9，BC=5，则CD
的长为（ ）
A． B． C． D．
9.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E，若
∠C=15°，EC=8，则△AEC的面积为( )
A．16 B．32 C．64 D．128
10.如图，把△ABC沿EF对折，叠合后的图形如图所示．若∠A=60°，∠1=85°，则∠2的
度数（ ）A．24° B．25° C．30° D．35°
11.以下命题的逆命题为真命题的是( )
A．对顶角相等 B．如果a=0，b=0，那么ab=0
C．若a>b，则a2>b2 D．同旁内角互补，两直线平行
12.如图，将一副直角三角板摆放，点C在EF上，AC经过点D，已知∠A=∠EDF=90°，
AB=AC，∠E=30°，∠BCE=40°，则∠CDF=（ ）
A． B． C． D．
13．如图，△ABC中，BC=10，AC−AB=4，AD是∠BAC的角平分线，CD⊥AD，则S 的最大
△BDC
值为______.
14.如图，已知 ， ，点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC，BD分别平分 和 ，分别交射线AM于点C，D．
（1）求 的度数
（2）当点P运动时， 的比值是否随之变化？若不变，请求出这个比值；若变化，
请找出变化规律；
（3）当点P运动到某处时， ，求此时 的度数．
15. 如图所示，直线AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于E、F两点，∠BEF、∠DFE的平分线相交于
点K．
（1）求∠EKF的度数；
（2）如图（2）所示，作∠BEK、∠DFK的平分线相交于点K ，问∠K 与∠K的度数是否存在某种特定的
1 1
等量关系？写出结论并证明．
（3）在图（2）中作∠BEK 、∠DFK 的平分线相交于点K ，作∠BEK 、∠DFK 的平分线相交于点K ，
1 1 2 2 2 3
依此类推，……，请直接写出∠K 的度数．
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