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专题突破卷 13 等差数列中 Sn 的最值问题
题型一：二次函数法求等差数列前n项和的最值
1．已知数列 的前 项和为 ，且 ，则当 取得最小值时， 的值
是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
2．已知等差数列{a }的前 项和为 ， ，且 ，则 取最大值时， （ ）．
n
A．9 B．10 C．9或10 D．10或11
3．已知等差数列 ， ，……，则该数列的前n项和 （ ）
A．无最大值，有最小值 B．有最大值，无最小值
C．有最大值，有最小值 D．无最大值，无最小值
4．已知 ，记数列 的前 项和为 ，则下列说法正确的
个数是（ ）
（1） （2） （3） （4） 的最小值为A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．已知 是等差数列， 是其前 项的和，则下列结论错误的是（ ）
A．若 ，则 取最小值时 的值为12
B．若 ，则 的最大值为108
C．若 ，则必有
D．若首项 ， ，则 取最小值时 的值为9
6．设 是等差数列 的前 项和，且 ， ，则使得 取最小值时的
为（ ）
A．6 B．7 C．6或7 D．8
7．设 是一个无穷数列 的前 项和，若一个数列满足对任意的正整数 ，不等式
恒成立，则称数列 为和谐数列，给出下列两个命题：
①若对任意的正整数 均有 ，则 为和谐数列；
②若等差数列 是和谐数列，则 一定存在最小值；
下列说法正确的是（ ）．
A．① 是真命题，② 是假命题 B．① 是假命题，② 真命题
C．① 和 ② 都是真命题 D．① 和 ② 都是假命题
8．设 是一个无穷数列 的前 项和，若一个数列满足对任意的正整数 ，不等式
恒成立，则称数列 为和谐数列，判断下列2个命题的真假：（ ）
①若等差数列 是和谐数列，则 一定存在最小值；
2
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！②若 的首项小于零，则一定存在公比为负数的一个等比数列是和谐数列.
A．①假命题，②真命题 B．①假命题，②假命题
C．①真命题，②假命题 D．①真命题，②真命题
9．数列{an}中，如果an=49﹣2n，则Sn取最大值时，n等于（ ）
A．23 B．24 C．25 D．26
10．已知等差数列 的前n项和为 ，当且仅当 时 取得最大值，若 ，则
公差d的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
题型二：求等差数列前n项和的最值
11．设等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，使 最小的 的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．4或5
12．若数列 为等差数列， 为前n项和， ， ， ，则下列说法错误
的是（ ）
A． B． C． D． 和 均为 的
最大值
13．已知等差数列 的前 项和为 ，若 、则“ 有最大值”是“公差 ”的
（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
14．已知等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则当 取得最小值时，
（ ）
A．4 B．5 C．6 D．715．若 是等差数列 的前 项和， ，则（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
16．设数列 的前 项和为 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 是等比数列
B． 成等差数列，公差为
C．当且仅当 时， 取得最大值
D． 时， 的最大值为33
17．已知 为等差数列 的前 项和， ， ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
18．已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，公差 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
19．若 是等差数列， 表示 的前n项和， ，则 中最小的项是
（ ）
A． B． C． D．
20．已知等差数列 的前n项和为 ，若 ， ， 取得最大值时n的值为
（ ）
A．6 B．5或6 C．7 D．6或7
题型三：根据等差数列前n项和的最值求参数
4
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！21．已知等差数列 满足 ， ，且数列 的前n项和 有最
大值，那么 取最小正值时，n等于（ ）
A．4045 B．4046 C．4035 D．4034
22． 是等差数列 的前 项和，若 恒成立，则 不可能的值为（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
23．已知 是等差数列 的前 项和，若 ，则使 的最小整数
（ ）
A．12 B．13 C．24 D．25
24．已知数列 的通项公式 ，其前 项和为 ，则 取最小值时 的值为
（ ）
A．1012 B．1013 C．1014 D．1015
25．已知等差数列 的前 项和为 ．若 ， ，则当 取最大值时，
的值为（ ）
A． B． C． D．
26．已知等差数列 的前n项和为 ，对任意 ，均有 成立，则 的取值范
围是（ ）
A． B．
C． D．
27．已知数列 的前 项和为 ， ，且 ， ，则当 取得最大
值时， （ ）
A．7 B．8 C．9 D．1028．已知数列 的通项公式为 ，记数列 的前 项和为 ，若 对
任意的 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
29．已知等差数列 的前n项和为 ，对任意的 ，均有 成立，则 的值的
取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
30．已知等差数列 的前 项和 有最小值，且 ，则使 成立的正整数
的最小值为（ ）
A．2022 B．2023 C．4043 D．4044
1．在等差数列 中， 是其前n项和，且 ， ，则正整数k为（ ）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
2．已知等差数列 的前 项和为 ．若 ，则 的值是（ ）
A．5 B．7 C．8 D．9
3．已知等差数列 的首项为 ，公差为 ，其前 项和为 ，若 ，则下列说
法正确的是（ ）
A．当 时， 最大
6
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！B．使得 成立的最小自然数
C．
D．数列 中的最小项为
4．数列 的前 项和为 ，已知 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 是递减数列
B．
C．当 时，
D．当且仅当 时， 取得最大值
5．已知等差数列 的公差为 ，前 项和为 ，若 ，则下列结
论正确的是（ ）
A．
B．若 ，则
C．当 时， 取得最小值
D．当 时，满足 的最大整数 的值为25
6．在等差数列 中 ，且 ，则下列结论正确的有（ ）
A． B． C． D．
7．已知等差数列 的前n项和为 ，若 ， ，则下列结论正确的是（ ）
A．数列 是递增数列 B．C．当 取得最大值时， D．
8．设数列{a }的前n项和为S ，且 ， ， 请写出一个满足条件的数
n n
列{a }的通项公式 .
n
9．已知 是等差数列，其前n项和为 ， ，再从条件①： ；条件②：
.这两个条件中选择一个作为已知，求：
(1)数列 的通项公式；
(2) 的最小值，并求当 取得最小值时n的值.
10．已知等差数列 中，
(1)求数列的通项公式
(2)若 单调递增， ，求数列 前 项和 的最小值
8
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