文档内容
第 07 讲 “平行线”的证明
1.平行线的概念：
在同一平面内，永不相交的两条直线称为平行线．用“ ”表示．
2.平行线的性质与判定
平行线的性质 几何语言
1
a
3
4 2
b
两直线平行，同位角相等； 若 ，则 ；
两直线平行，内错角相等； 若 ，则 ；
两直线平行，同旁内角互补． 若 ，则
平行线的判定 几何语言
1
a
3
4 2
b
同位角相等，两直线平行； 若 ，则 ；
内错角相等，两直线平行； 若 ，则 ；
同旁内角互补，两直线平行． 若 ，则3.平行公理：
经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
简单说成：过一点有且只有一条直线与已知直线平行．
几何语言：
过直线 外一点 做 ， ，则 与 重合．
A
b (c)
a
4. 平行公理推论：
如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
简单说成：平行于同一条直线的两条直线平行．
几何语言：
若 ，则 ． c
b
a
5.常考模型
（1）M型模型（也称“猪蹄模型”）（2）铅笔头模型
（3）鸡翅模型
（4）折鸡翅模型
（5）多个M型模型（6）多个铅笔头模型
6.三角形的内角和为 180°，三角形任意一个外角度数等于与它不
相邻的两个内角之和。例题1
如图所示，点E在AC的延长线上，下列条件中能判断AB//CD的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据平行线的判定逐项判断即可．
【详解】
解：A、∵∠3=∠4，∴AC∥BD，不能判断AB∥CD，此选项不符合题意；
B、∵∠1=∠2，∴AB∥CD，此选项符合题意；
C、∵ ，∴AC∥BD，不能判断AB∥CD，此选项不符合题意；
D、∵ ，∴AC∥BD，不能判断AB∥CD，此选项不符合题意，
故选：B．
【点睛】
本题考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解答的关键．
例题2
下列说法：①在同一平面内，不相交的两条线段叫做平行线；
②过一点，有且只有一条直线平行于已知直线；
③两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等；
④同旁内角相等，两直线平行．
正确的个数有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】
①根据平行线的定义进行判定；
②根据平行线的性质进行判定；
③根据平行线的性质定理进行判定，两条直线平行，同位角相等；
④根据平行线的判定定理进行判定，同旁内角互补两条直线平行．
【详解】
①在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，故原命题错误；
②过直线外一点，有且只有一条直线平行于已知直线，故原命题错误；
③两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，正确；
④同旁内角互补，两直线平行，故原命题错误．
故选：A
【点睛】
本题考查了平行线的定义，平行线性质定理和平行线的判定定理．
例题3
如图，若AB∥CD，则α、β、γ之间的关系为( )A．α+β+γ=360° B．α﹣β+γ=180°
C．α+β﹣γ=180° D．α+β+γ=180°
【答案】C
【分析】
过点E作EF∥AB，如图，易得CD∥EF，然后根据平行线的性质可得∠BAE+∠FEA=180°，
∠C=∠FEC=γ，进一步即得结论．
【详解】
解：过点E作EF∥AB，如图，∵AB∥CD，AB∥EF，∴CD∥EF，
∴∠BAE+∠FEA=180°，∠C=∠FEC=γ，
∴∠FEA=β﹣γ，∴α+(β﹣γ)=180°，即α+β﹣γ=180°．
故选：C．
【点睛】
本题考查了平行公理的推论和平行线的性质，属于常考题型，作EF∥AB、熟练
掌握平行线的性质是解题的关键．
例题4如图，已知BE平分∠ABD，DE平分∠CDB，且∠1与∠2互余，
求证：AB∥CD．
【答案】见解析
【分析】
先用角平分线的性质得到 ， ，再用 与 互余，即可得到
与 互余.
【详解】
证明：∵∠1与∠2互余，
∴∠1＋∠2＝90°.
∵BE平分∠ABD，DE平分∠CDB，
∴∠ABD＝2∠1，∠BDC＝2∠2.
∴∠ABD＋∠BDC＝2∠1＋2∠2＝2(∠1＋∠2)＝180°.
∴AB∥DC.
【点睛】
此题主要考查了平行线的判定，角平分线的意义，解本题的关键是用角平分线
的意义得到 ， .
例题5
如图，将一副直角三角板摆放，点C在EF上，AC经过点D，已知∠A=∠EDF=90°，AB=AC，∠E=30°，∠BCE=40°，则∠CDF=（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由AB=AC，∠A=90°， 根据等腰直角三角形的性质可得∠ACB=45°， 即可求得∠ACE=85°，
又因∠ACE=∠F+∠CDF，∠F=60°， 由此可得∠CDF=25°.
【详解】
∵AB=AC，∠A=90°，
∴∠ACB=45°，
∵∠BCE=40°，
∴∠ACE=85°，
∵∠ACE=∠F+∠CDF，∠F=60°，
∴∠CDF=25°，
故选B．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是熟
练掌握基本知识，属于中考常考题型．1.如图，下列能判定 的条件有（ ）个．
（1） ；（2） ；（3） ；（4） ．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】
根据平行线的判定定理分别进行判断即可．
【详解】
解：当∠B+∠BCD=180°，AB∥CD，符合题意；
当∠1=∠2时，AD∥BC，不符合题意；
当∠3=∠4时，AB∥CD，符合题意；
当∠B=∠5时，AB∥CD，符合题意．
综上，符合题意的有3个，
故选：C．
【点睛】
本题考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平
行；同旁内角互补，两直线平行．
2.如图，在下列四组条件中，能判断 的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据平行线的判定方法一一判断即可．
【详解】
解：∵∠1=∠2，∴AD∥BC，故A选项不符合题意；
∵∠ABD=∠BDC∴AB∥CD，故B选项符合题意；
∵∠3=∠4，∴AD∥BC，故C选项不符合题意；
∵∠ABC+∠BAD=180°，∴AD∥CB．故D选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】
本题考查平行线的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
3.如图，点E在BC的延长线上，下列条件中不能判定AB∥CD的是（ ）
A．∠1=∠2 B．∠3=∠4
C．∠B=∠DCE D．∠D+∠DAB=180°
【答案】B
【分析】
结合图形根据平行线的判定定理对选项逐一判断即可求解．
【详解】
解：A. ∠1=∠2，根据内错角相等，两直线平行，得到AB∥CD，不合题意；
B. ∠3=∠4，根据内错角相等，两直线平行，得到AD∥BC，符合题意；
C. ∠B=∠DCE，根据同位角相等，两直线平行，得到AB∥CD，不合题意；
D. ∠D+∠DAB=180°，根据同旁内角互补，两直线平行，得到AB∥CD，不合题意．
故选：B
【点睛】
本题考查了平行线的判定定理，熟练掌握平行线的判定定理是解题关键．
4.如图，下列条件中，能判定DE∥AC的是（ ）A．∠EDC＝∠EFC B．∠AFE＝∠ACD
C．∠3＝∠4 D．∠1＝∠2
【答案】C
【分析】
可以从直线DE、AC的截线所组成的“三线八角”图形入手进行判断．
【详解】
解：∠EDC＝∠EFC不是两直线被第三条直线所截得到的，因而不能判定两直线平行，A选
项错误；
∠AFE＝∠ACD，∠1＝∠2是EF和BC被AC和EC所截得到的同位角和内错角，因而可以判
定EF∥BC，但不能判定DE∥AC，B选项和D选项错误；
∠3＝∠4这两个角是AC与DE被EC所截得到的内错角，可以判定DE∥AC，C选项正确．
故选：C．
【点睛】
正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不
能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角
相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．
5.有下列命题：①对顶角相等：②垂直于同一条直线的两直线垂直；③平行于
同一条直线的两直线平行；④内错角相等.其中假命题有( )
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
【答案】C
【分析】
根据对顶角的性质、平行线的判定和性质定理判断即可．
【详解】
解：对顶角相等，①是真命题；
垂直于同一条直线的两直线平行，②是假命题；
平行于同一条直线的两直线平行，③是真命题；两直线平行，内错角相等，④是假命题；
故选：C．
【点睛】
本题考查的是命题的真假判断和平行线的判定和性质，正确的命题叫真命题，
错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
6.如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边 上（ ∥ ），若
∠1=25°，则∠2的度数为（ ）
A．55° B．25° C．60° D．65°
【答案】D
【分析】
先根据平行线的性质求出∠3的度数，再由余角的定义即可得出结论．
【详解】
如图，∵∠1＝25°，∠3与∠1互余，
∴∠3=90°−25°＝65°，
又 ∥
∴∠2＝∠3=65°．
故选：D．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，直角三角形的性质，熟记平行线的性质是解题的关键．
7.如图所示，在△ABC中，内角∠BAC与外角∠CBE的平分线相交于点P，BE＝
BC，PB与CE交于点H，PG∥AD交BC于F，交AB于G，连接CP,下列结论：①∠ACB＝2∠APB；②S ：S ＝AC：AB；③BP垂直平分CE；④∠PCF＝
△PAC △PAB
∠CPF;其中，正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】
①分别用外角减去内角表示∠ACB和∠APB，即可得到结论；
②根据角平分线的性质和三角形的面积公式即可求出结论；
③根据线段垂直平分线的性质即可得结果；
④根据角平分线的性质和平行线的性质即可得到结果．
【详解】
①∠ACB=∠CBE-∠CAB=2∠PBE－2∠PAB=2（∠PBE－∠PAB）=2∠APB.
②∵AP平分∠BAC，
∴P到AC，AB的距离相等，
∴S :S =AC:AB，
△PAC △PAB
③∵BE=BC，BP平分∠CBE，
∴BP垂直平分CE(三线合一)，
④∵∠BAC与∠CBE的平分线相交于点P，可得点P也位于∠BCD的平分线上，
∴∠DCP=∠BCP，
又∵PG∥AD，
∴∠FPC=∠DCP，
故①②③④都正确.
故答案选：D.
【点睛】
本题考查了角平分线与平行线的性质，解题的关键是熟练的掌握角平分线与平
行线的性质.
8.如图，已知D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A=∠ABD，若
AC=9，BC=5，则CD的长为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
延长BD与AC交于点E，由题意可推出 ，依据CD平分∠ACB，BD⊥CD，即可得等
腰三角形BCE，可推出 根据 ，即可推出 的长
度，继而求得答案．
【详解】
延长BD与AC交于点E，
∵∠A=∠ABD，
∴BE=AE，
∵BD⊥CD，即BE⊥CD，
又∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD=∠ECD，
∴∠EBC=∠BEC，
∴△BEC为等腰三角形，
∴BC=CE，
∵BE⊥CD，
∴2BD=BE，
∵AC=9，BC=5，
∴CE=5，
∴AE=AC-EC=9-5=4，
∴BE=4，∴BD=2．
在Rt△CBD中，BC=5，BD=2，
∴
故选：C．
【点睛】
本题主要考查等腰三角形的判定与性质，关键在于正确地作出辅助线，构建等
腰三角形，通过等量代换，即可推出结论．
9.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交
BC于点E，若∠C=15°，EC=8，则△AEC的面积为( )
A．16 B．32 C．64 D．128
【答案】A
【分析】
根据垂直平分线的性质和三角形外角定理得到∠1=30 ，再利用 角所对直角边等于斜边
一半求得 ，然后用三角形面积公式即可求得答案.
【详解】
∵ED是AC的垂直平分线，∠C=15°，
∴EA=EC，
∴∠EAC=∠C，
∴∠1=2∠C=30 ，在 中，EA=EC=8，∠1=30 ，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
【点睛】
此题主要考查线段的垂直平分线的性质，三角形外角定理， 角所对直角边等
于斜边一半，三角形面积公式等几何知识．要理解线段的垂直平分线上的点到
线段的两个端点的距离相等，得到并应用 是正确解答本题的关键．
10.如图，把△ABC沿EF对折，叠合后的图形如图所示．若∠A=60°，
∠1=85°，则∠2的度数（ ）
A．24° B．25° C．30° D．35°
【答案】D
【分析】
首先根据三角形内角和定理可得∠AEF+∠AFE=120°，再根据邻补角的性质可得
∠FEB+∠EFC=360°-120°=240°，再根据由折叠可得：∠B′EF+∠EFC′=∠FEB+∠EFC=240°，然后
计算出∠1+∠2的度数，进而得到答案．
【详解】
解：∵∠A=60°，
∴∠AEF+∠AFE=180°-60°=120°，
∴∠FEB+∠EFC=360°-120°=240°，
∵由折叠可得：∠B′EF+∠EFC′=∠FEB+∠EFC=240°，
∴∠1+∠2=240°-120°=120°，
∵∠1=85°，
∴∠2=120°-85°=35°.故选D．
【点睛】
此题主要考查了翻折变换，关键是根据题意得到翻折以后，哪些角是对应相等
的．
11.以下命题的逆命题为真命题的是( )
A．对顶角相等 B．如果a=0，b=0，那么ab=0
C．若a>b，则a2>b2 D．同旁内角互补，两直线平行
【答案】D
【分析】
先求出各个命题的逆命题，再判断真假．
【详解】
A. 对顶角相等的逆命题是：相等的角是对顶角，不正确，相等的角不一定是对顶角；
B. 如果a=0，b=0，那么ab=0的逆命题是：如果ab=0，那么a=0，b=0，不正确，如果
ab=0，那么a=0或b=0；
C. 若a>b，则a2>b2的逆命题是：若a2>b2，则a>b，不正确，反例： ，
有a2>b2，但 .
D. 同旁内角互补，两直线平行的逆命题是：两直线平行，同旁内角互补，正确，逆命题符
合平行线的判定；
【点睛】
本题考查命题的真假判断，逆命题的概念．关键先找出逆命题，再进行判断．
12.如图，将一副直角三角板摆放，点C在EF上，AC经过点D，已知
∠A=∠EDF=90°，AB=AC，∠E=30°，∠BCE=40°，则∠CDF=（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【分析】
由AB=AC，∠A=90°， 根据等腰直角三角形的性质可得∠ACB=45°， 即可求得∠ACE=85°，
又因∠ACE=∠F+∠CDF，∠F=60°， 由此可得∠CDF=25°.
【详解】
∵AB=AC，∠A=90°，
∴∠ACB=45°，
∵∠BCE=40°，
∴∠ACE=85°，
∵∠ACE=∠F+∠CDF，∠F=60°，
∴∠CDF=25°，
故选B．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是熟
练掌握基本知识，属于中考常考题型．
13．如图，△ABC中，BC=10，AC−AB=4，AD是∠BAC的角平分线，CD⊥AD，
则S 的最大值为______.
△BDC
【答案】10
【分析】
延长AB，CD交点于E，可证△ADE≌△ADC（ASA），得出AC＝AE，DE＝CD，则S ＝
△BDC
S ，当BE⊥BC时，S 最大面积为20，即S 最大面积为10．
△BCE △BEC △BDC
【详解】
如图：延长AB，CD交点于E，∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠EAD，
∵CD⊥AD，
∴∠ADC＝∠ADE＝90°，
在△ADE和△ADC中，
，
∴△ADE≌△ADC（ASA），
∴AC＝AE，DE＝CD；
∵AC﹣AB＝4，
∴AE﹣AB＝4，即BE＝4；
∵DE＝DC，
∴S ＝ S ，
△BDC △BEC
∴当BE⊥BC时，S 面积最大，
△BDC
即S 最大面积＝ × ×10×4＝10．
△BDC
故答案为：10．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质、角平分线定义、全等三角形的判定与性质等知
识；利用三角形中线的性质得到S ＝ S 是解题的关键．
△BDC △BEC14.如图，已知 ， ，点P是射线AM上一动点（与点A不重
合），BC，BD分别平分 和 ，分别交射线AM于点C，D．
（1）求 的度数
（2）当点P运动时， 的比值是否随之变化？若不变，请求出这个
比值；若变化，请找出变化规律；
（3）当点P运动到某处时， ，求此时 的度数．
【答案】（1）60°；（2）不变，∠APB：∠ADB=2：1；（3）30°
【分析】
（1）根据角平分线的定义只要证明∠CBD= ∠ABN即可；
（2）不变．可以证明∠APB=∠PBN，∠ADB=∠DBN= ∠PBN．
（3）想办法证明∠ABC=∠CBP=∠DBP=∠DBN即可解决问题；
解：（1）∵AM∥BN，
∴∠ABN=180°-∠A=120°，
又∵BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，
∴∠CBD=∠CBP+∠DBP= （∠ABP+∠PBN）= ∠ABN=60°，
（2）不变．理由如下：
∵AM∥BN，
∴∠APB=∠PBN，∠ADB=∠DBN，
又∵BD平分∠PBN，
∴∠ADB=∠DBN= ∠PBN= ∠APB，
∴∠APB：∠ADB=2：1．（3）∵AM∥BN，
∴∠ACB=∠CBN，
又∵∠ACB=∠ABD，
∴∠CBN=∠ABD，
∴∠ABC=∠ABD-∠CBD=∠CBN-∠CBD=∠DBN，
∴∠ABC=∠CBP=∠DBP=∠DBN，
∴∠ABC= ∠ABN=30°，
【点拨】本题考查平行线的性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知
识解决问题，属于中考常考题型．
15. 如图所示，直线AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于E、F两点，∠BEF、∠DFE
的平分线相交于点K．
（1）求∠EKF的度数；
（2）如图（2）所示，作∠BEK、∠DFK的平分线相交于点K ，问∠K 与∠K的度数是否
1 1
存在某种特定的等量关系？写出结论并证明．
（3）在图（2）中作∠BEK 、∠DFK 的平分线相交于点K ，作∠BEK 、∠DFK 的平分
1 1 2 2 2
线相交于点K ，依此类推，……，请直接写出∠K 的度数．
3 4
【答案】（1）∠EKF＝90°；（2）∠K＝2∠K ，证明见解析；（3）∠K ＝5.625°．
1 4
【分析】
（1）过K作KG∥AB，交EF于G，根据平行于同一条直线的两直线平行可得
AB∥KG∥CD，从而得出∠BEK＝∠EKG，∠GKF＝∠KFD，
∠BEK+∠FEK+∠EFK+∠DFK＝180°，然后根据角平分线的定义即可求出∠BEK+∠DFK
＝90°，从而得出结论；
（2）根据角平分线的定义可得∠BEK＝∠KEK ，∠KFK ＝∠DFK ，结合（1）的结论可
1 1 1 1得∠BEK+∠DFK ＝45°，从而求出∠K ，即可得出结论；
1 1 1
（3）根据（2）中的规律即可得出结论．
【详解】
（1）如图（1），过K作KG∥AB，交EF于G，
∵AB∥CD，
∴AB∥KG∥CD，
∴∠BEK＝∠EKG，∠GKF＝∠KFD，∠BEK+∠FEK+∠EFK+∠DFK＝180°，
∵EK、FK分别为∠BEF与∠EFD的平分线，
∴∠BEK＝∠FEK，∠EFK＝∠DFK，
∴2（∠BEK+∠DFK）＝180°，
∴∠BEK+∠DFK＝90°，
则∠EKF＝∠EKG+∠GKF＝90°；
（2）∠K＝2∠K ，理由为：
1
∵∠BEK、∠DFK的平分线相交于点K ，
1
∴∠BEK＝∠KEK ，∠KFK ＝∠DFK ，
1 1 1 1
∵∠BEK+∠FEK+∠EFK+∠DFK＝180°，即2（∠BEK+∠KFD）＝180°，
∴∠BEK+∠KFD＝90°，即∠BEK+∠DFK ＝45°，
1 1
同（1）得∠K ＝∠BEK+∠DFK ＝45°，
1 1 1
则∠K＝2∠K ；
1
（3）如图（3），
根据（2）中的规律和推导方法可得：∠K ＝ ∠K ＝22.5°，∠K ＝ ∠K ＝11.25°，∠K
2 1 3 2 4＝ ∠K ＝5.625°．
3
【点睛】
此题考查的是平行线的性质及判定，掌握平行线的各个性质定理是解题关键．
