文档内容
专题7.9 《平行线的证明》全章复习与巩固（知识讲解）
【学习目标】
1．了解定义及命题的概念与构成，并能通过证明或举反例判定命题的真假；
2. 区别平行线的判定与性质，并能灵活运用；
3. 理解并能灵活运用三角形的内角和定理及其推论.
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、定义、命题及证明
1.定义：一般地，用来说明一个名词或者一个术语的意义的句子叫做定义.
2.命题：判断一件事情的句子，叫做命题.
特别说明：
（1）命题一般由条件和结论组成.
（2）正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题.
（3）公认的真命题叫做公理.
(4) 经过证明的真命题称为定理.
3.证明: 除了公理外，其它的真命题的正确性都要通过推理的方法进行证实，这种演绎推
理的过程叫做证明.
特别说明：实验、观察、操作所得出的结论不一定都正确，必须推理论证后才能得出正确
的结论．
要点二、平行线的判定与性质
1．平行线的判定判定方法1：同位角相等，两直线平行．
判定方法2：内错角相等，两直线平行．
判定方法3：同旁内角互补，两直线平行．
特别说明：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有：
（1）平行线的定义：在同一平面内，如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行.
（2）如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行（平行线的传递性）.
（3）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行.
（4）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.
2．平行线的性质
性质1：两直线平行，同位角相等；
性质2：两直线平行，内错角相等；
性质3：两直线平行，同旁内角互补.
特别说明：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的性质还有：
（1）若两条直线平行，则这两条直线在同一平面内，且没有公共点．
（2）如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线垂直．
要点三、三角形的内角和定理及推论
三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°．
推论：（1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
（2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．
特别说明：
（1）由一个公理或定理直接推出的真命题，叫做这个公理或定理的推论.
（2）推论可以当做定理使用.
【典型例题】
类型一、定义、命题及证明
1. 当n为正整数时， 的值一定是质数吗？
【答案】不一定
【分析】寻找一个正整数n，代入代数式求解出结果，使得这个结果不是质数即可．
解：不一定．
∵当 时， ，是一个合数，
∴n为正整数时， 的值不一定是质数．
【点拨】本题意在让学生继续体会：实验、观察、归纳得到的结论可能正确，也可能
不正确，明白为什么需要证明．
举一反三：
【变式】下列命题的条件是什么？结论是什么?
（1）如果两个三角形的两边及其夹角分别相等，那么这两个三角形全等；
（2）如果一个三角形中有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形；（3）直角三角形的两锐角互余；
（4）两直线平行，同位角相等．
【答案】（1）条件：两个三角形的两边及其夹角分别相等；结论：这两个三角形全等；
（2）条件：一个三角形中有两个角相等；结论：这个三角形是等腰三角形；（3）条件：
一个三角形是直角三角形；结论：它的两锐角互余；（4）条件：两直线平行；结论：这两
条直线被同一条直线截出的两个同位角相等．
【分析】
（1）根据命题的定义（一般地，在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以
判断真假的陈述句叫做命题）即可得；
（2）根据命题的定义即可得；
（3）根据命题的定义即可得；
（4）根据命题的定义即可得．
解：（1）条件：两个三角形的两边及其夹角分别相等；结论：这两个三角形全等；
（2）条件：一个三角形中有两个角相等；结论：这个三角形是等腰三角形；
（3）条件：一个三角形是直角三角形；结论：它的两锐角互余；
（4）条件：两直线平行；结论：这两条直线被同一条直线截出的两个同位角相等．
【点拨】本题考查了命题，熟记命题的定义是解题关键．
2.用反证法证明：
两条直线被第三条直线所截．如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．
已知：如图，直线l，l 被l 所截，∠1+∠2=180°．
1 2 3
求证：l l
1 2
证明：假设l l，即l 与l 交与相交于一点P．
1 2 1 2
则∠1+∠2+∠P 180°
所以∠1+∠2 180°，这与 矛盾，故 不成立．
所以 ．
【答案】 ；不平行； ；三角形内角和定理； ；∠1+∠2=180°；假设；结论成立，l∥l．
1 2
【分析】先假设l 不平行l，根据三角形的内角和定理，可得∠1+∠2+∠P=180°，从而
1 2
得到∠1+∠2＜180°，与已知矛盾，即可求证．
已知：如图，直线l，l 被l 所截，∠1+∠2=180°．
1 2 3
求证：
证明：假设l 不平行l，即l 与l 交与相交于一点P．
1 2 1 2
则∠1+∠2+∠P=180°（三角形内角和定理），
所以∠1+∠2＜180°，
这与∠1+∠2=180°矛盾，故假设不成立．
所以结论成立，l∥l．
1 2
【点拨】本题主要考查了反证法，熟练掌握反证法证明的基本过程，解题的关键是找
到与已知相矛盾的条件．
【变式】设a，b，c是不全相等的任意实数，若 ．求
证：x，y，z至少有一个大于零．
【分析】假设x，y，z都小于零，列出算式，根据完全平方公式把原式变形，根据偶
次方的非负性判断即可．
【详解】
解：假设x，y，z都小于零，
则 ，
∴ ，
∴ ，
这与偶次方的非负性相矛盾，
∴假设不成立，
∴x，y，z至少有一个大于零．【点拨】本题考查的是反证法的应用，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成
立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定
原命题的结论正确．
类型二、平行线的性质与判定
3. 如图，已知∠1+∠AFE=180°，∠A=∠2，求证：∠A=∠C+∠AFC
证明：∵ ∠1+∠AFE=180°
∴ CD∥EF（ ， ）
∴ A=∠2 ∴∵∠（ ）
（ ， ）
∴ AB∥CD∥EF（ ， ）
∴ ∠A= ，∠C= ，
（ ， ）
∵ ∠AFE =∠EFC+∠AFC ，∴ = ．
【答案】同旁内角互补两直线平行；AB∥CD；同位角相等，两直线平行；两条直线都
与第三条直线平行，则这两直线也互相平行；∠AFE，∠EFC；两直线平行，内错角相等；
∠A，∠C+∠AFC ．
【分析】根据同旁内角互补，两直线平行可得 CD∥EF，根据∠A=∠2利用同位角相等，
两直线平行，AB∥CD，根据平行同一直线的两条直线平行可得AB∥CD∥EF根据平行线的
性质可得∠A=∠AFE ，∠C=∠EFC，根据角的和可得 ∠AFE =∠EFC+∠AFC 即可．
证明：∵ ∠1+∠AFE=180°
∴ CD∥EF（同旁内角互补，两直线平行），
∵∠A=∠2 ，
∴（ AB ∥ CD ） （同位角相等，两直线平行），
∴ AB∥CD∥EF（两条直线都与第三条直线平行，则这两直线也互相平行）
∴ ∠A= ∠ AFE ，∠C= ∠ EFC ，（两直线平行，内错角相等）
∵ ∠AFE =∠EFC+∠AFC ，∴ ∠ A = ∠ C + ∠ AFC ．
故答案为同旁内角互补两直线平行；AB∥CD；同位角相等，两直线平行；两条直线都
与第三条直线平行，则这两直线也互相平行；∠AFE，∠EFC；两直线平行，内错角相等；
∠A，∠C+∠AFC ．
【点拨】本题考查平行线的性质与判定，角的和差，掌握平行线的性质与判定是解题
关键．
4. 如图，已知：点A、B、C在一条直线上．
（1）请从三个论断：①AD∥BE； ②∠1=∠2；③∠A=∠E中，选两个作为条件，另
一个作为结论构成一个真命题：
条件：
结论：
（2）证明你所构建的命题是真命题．
【答案】（1）AD∥BE， ； ；（2）见解析
【分析】
（1）根据命题的概念，写出条件、结论；
（2）根据平行线的判定的礼盒性质定理证明．
解：（1）条件：①AD∥BE；②∠1＝∠2；
结论：③∠A＝∠E，
故答案为：①AD∥BE，②∠1＝∠2；③∠A＝∠E；
（2）证明：∵AD∥BE，
∴∠A＝∠EBC，
∵∠1＝∠2，
∴DE∥BC，
∴∠E＝∠EBC，
∴∠A＝∠E．
【点拨】本题考查的是命题的概念、平行线的性质，掌握平行线的判定定理和性质定
理是解题的关键．举一反三：
【变式1】如图，已知∠1＋∠2＝180°，∠DEF＝∠A，求证：∠ACB＝∠DEB．
【分析】利用邻补角定义得到∠2与∠BDC互补，再由∠1与∠2互补，利用同角的补
角相等得到一对同位角相等，利用同位角相等两直线平行得到EF与AB平行，利用两直线
平行内错角相等得到∠DEF＝∠A，等量代换得到一对同位角相等，利用同位角相等两直线
平行得到DE与AC平行，利用两直线平行同位角相等即可得证．
证明：∵∠2＋∠BDC＝180°，∠1＋∠2＝180°，
∴∠1＝∠BDC，
∴EF∥AB，
∴∠DEF＝∠BDE，
∵∠DEF＝∠A，
∴∠BDE＝∠A，
∴DE∥AC，
∴∠ACB＝∠DEB．
【点拨】此题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的
关键．
【变式2】如图，点 ， 分别在 ， 上， ，垂足为点 ．已知
， ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ， ，求点 到直线 的距离．【答案】（1）证明过程见解析；（2）
【分析】
（1）应用平行线的判定与性质进行求解即可得出答案；
（2）设点 到直线 的距离为 ，根据等面积法可得 ，代入
计算即可得出 的值，即可得出答案．
（1）证明：因为 （已知），
所以 （同位角相等，两直线平行），
因为 （已知），
所以 （垂直的性质），
所以 （垂直的定义），
又因为 （平角的定义）．
即 ，
又因为 ，
所以 （同角的余角相等），
所以 （内错角相等，两直线平行）；
（2）解：因为 （已证），且 ， ， ．
设点 到直线 的距离为 ．
所以 ，
所以 ，
即 ，
所以点 到直线 的距离为 ．
【点拨】本题主要考查了平行线的判定与性质及点到直线的距离，解题的关键是熟练
应用平行线的判定与性质和点到直线的距离计算方法进行计算．
类型三、三角形的内角和定理及推论
5.如图，BC⊥AD，垂足为点C，∠A27°，∠BED44°． 求：
（1）∠B的度数；
（2）∠BFD的度数．【答案】（1）63°；（2）107°
【分析】
（1）根据垂直的定义可得 ，进而根据三角形内角和定理即可求得 ；
（2）根据三角形的外角的性质即可求得．
解：（1） BC⊥AD，∠A27°，
（2） ∠BED44°,
【点拨】本题考查了三角形的内角和定理与三角形的外角性质，掌握以上知识是解题
的关键．
举一反三：
【变式1】已知，如图，在△ABC中，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线．
（1）若∠B＝30°，∠C＝50°，求∠DAE的度数；
（2）探索∠DAE与∠C－∠B的关系，并说明．
【答案】(1)∠DAE＝10°．（2）∠DAE＝ （∠C−∠B）．
【分析】
（1）先根据三角形内角和得到∠CAB＝180°−∠B−∠C＝100°，再根据角平分线与高线的定义得到∠CAE＝ ∠CAB＝50°，∠ADC＝90°，则∠CAD＝90°−∠C＝40°，然后利用
∠DAE＝∠CAE−∠CAD计算即可．
（2）根据题意可以用∠B和∠C表示出∠CAD和∠CAE，从而可以得到∠DAE与
∠C−∠B的关系．
解：(1)∵∠B＝30°，∠C＝50°，
∴∠CAB＝180°−∠B−∠C＝100°，
∵AE是△ABC角平分线，
∴∠CAE＝ ∠CAB＝50°，
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CAD＝90°−∠C＝40°，
∴∠DAE＝∠CAE−∠CAD＝50°−40°＝10°．
（2）∠DAE＝ （∠C−∠B），
理由：∵∠CAB+∠B+∠C=180°，
∴∠CAB =180°-∠B-∠C，
∵AE是△ABC角平分线，
∴∠CAE＝ ∠CAB＝ ，
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CAD＝90°−∠C，
∴∠DAE＝∠CAE−∠CAD
= ．
＝
=
＝ （∠C−∠B）．
【点拨】本题考查三角形内角和定理、角的平分线的性质、直角三角形的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
【变式2】如图，已知∠A＝20°，∠B＝37°，AC⊥DE，垂足为点F，求∠1和∠D的
度数各是多少．
【答案】∠1=110°，∠D=33°．
【分析】根据外角的性质即可求出∠1的度数；根据三角形内角和定理即可求出∠D
的度数．
解：∵AC⊥DE，
∴∠AFE=90°，
∵∠1是△AFE的外角，
∴∠1=∠A+∠AFE．
∵∠A=20°，
∴∠1=20°+90°=110°；
在△BDE中，
∠1+∠D+∠B=180°，
∵∠B=37°，
∴∠D=180°-110°-37°=33°．
【点拨】此题考查了三角形外角的性质和三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握
三角形外角的性质和三角形内角和定理．
类型四、实际应用
6.已知：平面直角坐标系中，点A（a，b）的坐标满足|a－b|＋b2－8b＋16＝0．
（1）如图1，求证：OA平分∠xOy；
（2）如图2，过A作OA的垂线，交x轴正半轴于点B，点M、N分别从O、A两点
同时出发，在线段OA上以相同的速度相向运动（不包括点O和点A），过A作AE⊥BM
交x轴于点E，连BM、NE，猜想∠ONE与∠NEA之间有何确定的数量关系，并证明你的
猜想．【答案】（1）见解析；（2） ，见解析
【分析】
（1）根据完全平方公式和绝对值的非负性化简|a－b|＋b2－8b＋16＝0，求出点A（a，
b）的坐标，即可证明；
（2）过A点作 交BM于K，NE与BM交于点G，首先根据ASA
，然后根据SAS证明 ，得到 ，最后根据直角三角
形中两锐角互余即可得出∠ONE与∠NEA之间的数量关系．
解：（1）依题意得：∵|a－b|＋b2－8b＋16＝0，
∴ ，
∴
∴ ，
∴
∴OA平分 ．
（2） 与 的数量关系是： ．
过A点作 交BM于K，NE与BM交于点G，
∴ ， ，
又 ，
∴
∴ （ ）
∴
∵
∴
在 和 中，， ，
∴ （ ）
∴
又 又
∴ 又
∴ ．
【点拨】此题考查了绝对值的意义和完全平方公式的运用，三角形内角和定理以及三
角形全等的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握绝对值的意义和完全平方公式的运
用，三角形内角和定理以及三角形全等的性质和判定．
【变式】已知∠MON＝40°，OE平分∠MON，点A，B，C分别是射线OM，OE，
ON上的动点（A，B，C不与点O重合），连接AB，连AC交射线OE于点D，设∠BAC
＝α．
（1）如图1，若AB∥ON，
①求∠ABO的度数；
②当α为何值时，D为OB中点，并说明理由．
（2）在一个四边形中，若存在一个内角是它的对角的2倍，我们称这样的四边形为
“完美四边形”，如图2，若AB⊥OM，延长AB交射线ON于点F，当四边形DCFB为
“完美四边形”时，求α的值．
【答案】（1）①20°；②当α＝70°时，D为OB中点，理由见解析；（2）30°或75°．
【分析】（1）①运用平行线的性质以及角平分线的定义，可得①∠ABO的度数;②根据
∠ABO=∠AOB =20°可得AO = AB，∠OAB =140°，由D为OB中点，根据等腰三角形的
性质可得AD OB，∠OAD =∠BAC，可得α的值；
（2）分两种情况进行讨论:①当∠BDC =2∠BFC时，②当∠DBF=2∠DCF时，分别根
据三角形外角的性质以及三角形内角和定理，直角的度数，可得α的值.
解：（1）如图，
①∵∠MON＝40°，OE平分∠MON，
∴∠AOB＝∠BON＝20°，
∵AB∥ON，
∴∠ABO＝∠BON＝20°；
②当α＝70°时，D为OB中点，理由如下：
∵∠ABO＝∠AOB＝20°，
∴AO＝AB，∠OAB＝140°，
∵D为OB中点，
∴AD⊥OB，∠OAD＝∠BAC，
∴∠OAD＝∠BAC＝70°，
∴α＝70°时，D为OB中点；
（2）①当∠BDC＝2∠BFC时，如图，
∵AB⊥OM，∠MON＝40°，
∴∠BFC＝50°，
∴∠BDC＝2∠BFC＝100°，
∵∠ABO＝∠BFC+∠BON＝50°+20°＝70°，∴∠BAC＝∠BDC﹣∠ABD＝100°﹣70°＝30°，
∴α＝30°；
②当∠DBF＝2∠DCF时，
∵AB⊥OM，∠AOB＝20°，∠MON＝40°，
∴∠DBF＝∠AOB+∠OAB＝20°+90°＝110°，∠BFC＝50°，
∴∠DCF＝ ∠DBF＝55°，
∴∠BAC＝180°﹣∠BFC﹣∠ACF＝80°﹣50°﹣55°＝75°，
∴α＝75°．
综上所述，当四边形DCFB为“完美四边形”时，α的值是30°或75°．
【点拨】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理和三角形的外角性质的应
用，三角形的内角和等于180°，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和.利
用角平分线的性质求出∠ABO的度数是关键，注意分类讨论思想的运用.
