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（北师大版）七年级上册数学《第 5 章 一元一次方程》
专题 一元一次方程中的新定义问题
一、 选择题
1．已知 a、b 为有理数，现规定一种新运算“※”，满足 a※b＝3b﹣ab，若 x※2＝2，则 x 的值为
（ ）
1
A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．
2
2．（2023春•南召县期中）数学小组定义一种新运算“ ”：a b＝a+b+ab﹣1，例如：2 3＝2+3+2×3
﹣1＝10．如果2 x＝5，则x的值是（ ） ⊗ ⊗ ⊗
⊗ 4
A．﹣1 B．1 C． D．2
3
3．规定一种运算法则：a※b＝a2+2ab，若（﹣3）※2x＝﹣3﹣2x，则x的值为（ ）
6 5 6
A． B． C．− D．﹣1
5 6 5
4．（2023秋•拱墅区期末）规定新运算“@”：对于任意实数m，n都有 m@n＝mn﹣m+n，例如：2@3＝
2×3﹣2+3．若2@（x﹣1）的运算结果与（x﹣1）@2的运算结果相同，则x的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2023•淄博开学）用“※”定义一种新运算：对于任意的自然数x和y，满足x※y＝xy+a（x+y）+1
（a为常数）．例如：2※1＝2×1+a（2+1）+1＝3a+3．若3※4的值为20，则a的值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
|a b| |2 3|
6．对于有理数a，b，c，d规定一种新运算： =ad−bc．如 =2×5−3×4=−2，那么当
c d 4 5
|2 x−3 |
=43时，x的值为（ ）
3 4−5x
38 44
A．2 B．﹣2 C．− D．−
13 13
7．（2023秋•随县期末）规定一种新运算：a b＝a2﹣2b，若2 [1 （﹣x）]＝6，则x的值为（ ）
A．﹣1 B．1 ⊗C．2 ⊗ ⊗D．﹣2
18．（2023秋•巴南区期末）若定义一种新运算m♥n
=
{ m−n(m≤n) ，例如；1♥2＝1﹣2＝﹣1；4♥3＝
m+n−2(m＞n)
4+3﹣2＝5，
下列说法：
①﹣7♥9＝﹣16；
②若1♥（2x﹣3）＝2，则x＝1或3.5；
③若﹣2♥（﹣1+|x|）＝﹣2，则x＝±1或x＝±3；
x+1 1 x+3 1
④若关于x的方程﹣x＝（﹣m+2x）♥（3m+x）与 − = + （m为常数）有相同的解，则m
2 6 4 12
＝﹣3或1．
其中正确的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
二、 选择题
9．（2024•宛城区校级开学）对于任意自然数a，b，如果有a*b＝ab+a+b，已知x*（3*4）＝119，则x＝
．
10．（2023秋•耒阳市校级期中）在实数范围内定义一种新运算“ ”，其运算规则为：a b＝2a+b．如：
1 5＝2×1+5＝7．则方程x 4＝0的解是 ． ⊕ ⊕
⊕ ⊕ 1 1
11．（2023秋•印江县期末）规定一种运算“*”：a∗b= a− b，则方程1*x＝x*2的解为 ．
4 3
12．（2023秋•长丰县期末）若有a，b两个数满足关系式：a+b＝ab﹣1，则称a，b为“共生数对”，记
作（a，b）．例如：当2，3满足2+3＝2×3﹣1时，则（2，3）是“共生数对”．若（﹣x，4）是“共
生数对”，则x＝ ．
13．（2023秋•汾阳市期末）现定义一种新运算，对于任意有理数 a，b，c，d满足
(a b)=ad﹣bc，若对
c d
于含未知数x的式子满足
( 3 2 )=−11，则x＝
．
x−1 −2x+1
14．（2024•灞桥区校级一模）用“△”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a△b＝a2b+a﹣b，
如：1△3＝12×3+1﹣3＝1，若2△x＝x+6（其中x为有理数），则x的值为 ．
15．（2023春•祁东县校级期中）定义一种新运算：a☆b {a+2b(a≤b) ，例如：（﹣2）☆1＝﹣2+2×1
=
a−2b(a＞b)
2＝0，3☆（﹣1）＝3﹣2×（﹣1）＝5．若（﹣2）☆b＝16，则b的值是 ．
16．（2023秋•西城区校级期中）对于任意四个有理数 a，b，c，d可以组成两个有理数对（a，b）与
（c，d），我们规定（a，b）★（c，d）＝ad﹣bc．例如：（1，2）★（3，4）＝1×4﹣2×3＝﹣2．
（1）有理数（﹣3，2）★（﹣2，3）＝ ；
（2）当满足等式（2x﹣1，﹣3）★（x+k，k）＝5+2k的x是正整数时，整数k的值是 ．
三、 解答题
17．（2024•仓山区校级开学）A、B表示两个数，A*B＝（A+2B）×B，如5*4＝（5+2×4）×4＝52．
（1）则1*（2*1）＝ ．
（2）如果x*（2*1）＝64，求x的值．
18．（2023秋•新宾县期末）用“*”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a*b＝ab2+2ab﹣b．如：
1*3＝1×32+2×1×3﹣3＝12．
（1）求（﹣2）*4的值；
（2）若（x﹣1）*3＝12，求x的值．
319．用“△”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a△b＝ab2+2ab+b，如：1△3＝1×32+2×1×3+3
＝18．
（1）求（﹣2）△3的值；
（2）若x△（﹣3）＝2x+2，求x的值．
20．（2023秋•龙马潭区月考）十八世纪最杰出的瑞士数学家欧拉，最先把关于 x的多项式用符号“f
（x）”表示，如果f（x）＝﹣2x﹣5．例：当x＝0时，f（0）＝﹣2×0﹣5＝﹣5．
（1）当x＝﹣2时，求f（x）的值．
（2）当|f（x）|＝3时，求x的值．
21．（2023秋•万年县校级月考）定义一种新运算“ ”：a b＝ab﹣a+b．例如：3 1＝3×1﹣3+1＝1，
（2a） 2＝（2a）•2﹣2a+2＝2a+2． ⊕ ⊕ ⊕
（1）计⊕算4 （﹣2）的值；
（2）已知（⊕2m） 3＝2 m，求m的值．
⊕ ⊕
22．定义一种新运算“※”，其规则为x※y＝xy﹣x+y．例如6※5＝6×5﹣6+5＝29．再如：（2a）※3＝
（2a）×3﹣2a+3．
（1）计算5※6值为 ．
（2）若（2m）※3＝2※m，求m的值．
（3）有理数的加法和乘法运算都满足交换律，即a+b＝b+a，ab＝ba，“※”运算是否满足交换律？若满
4足，请说明理由；若不满足，请举例说明．
23．对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对（a，b）与
（c，d）．我们规定：（a，b）★（c，d）＝bc﹣ad．
例如：（1，2）★（3，4）＝2×3﹣1×4＝2．
根据上述规定解决下列问题：
（1）有理数对（3，﹣2）★（1，﹣2）＝ ．
（2）若有理数对（2，2x+1）★（1，2x﹣1）＝7，求x的值．
24．（2023秋•库车市校级期末）规定的一种新运算“*”：a*b＝a2+2ab，例如：3*2＝32+2×3×2＝21．
（1）试求2*（﹣1）的值；
（2）若（﹣3）*x＝3，求x的值；
（3）若（﹣5）*x等于﹣5x+5，求x的值．
|a b| |a b|
25．（2023秋•东海县月考）形如 的式子叫做二阶行列式，它的运算法则用公式表示为 =ad﹣
c d c d
|5 1|
bc．例如： =5×2﹣1×3＝7．
3 2
|−5 2|
（1）计算 的值；
−4 3
5|2 x−1|
（2）已知 =6，求x的值．
1 3
26．（2023春•朝阳区校级期末）新定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，就称这两个方程为
“友好方程”，如：方程2x＝6和3x+9＝0为“友好方程”．
（1）若关于x的方程3x+m＝0与方程2x﹣6＝4是“友好方程”，求m的值．
（2）若某“友好方程”的两个解的差为6，其中一个解为n，求n的值．
27．现定义一种新运算“ ”，规则如下：a b＝ab+2a．如2 3＝2×3+2×2＝10，且在运算过程中，有括
号的要先算括号里面的⊕．请解答下列问题：⊕ ⊕
（1）求3 （﹣1）的值；
⊕ 1
（2）求（﹣2） [（﹣4） ]的值；
2
⊕ ⊕
（3）现改变上述运算规则：当a≥b时，a b＝ab+2a，当a＜b时，a b＝ab﹣2a．若4 x＝30，求x
的值． ⊕ ⊕ ⊕
628．（2024春•淅川县月考）我们规定，若关于 x的一元一次方程ax＝b的解为x＝b﹣a，则称该方程为
“奇异方程”．例如：2x＝4的解为x＝2＝4﹣2，则该方程2x＝4是“奇异方程”．请根据上述规定解
答下列问题：
（1）判断方程5x＝﹣8 （回答“是”或“不是”）“奇异方程”；
（2）若a＝3，有符合要求的“奇异方程”吗？若有，求b的值；若没有，请说明理由．
（3）若关于x的一元一次方程2x＝mn+m和﹣2x＝mn+n都是“奇异方程”，求代数式m﹣n的值．
29．（2023秋•梁园区校级月考）定义：关于x的方程ax﹣b＝0与方程bx﹣a＝0（a，b均为不等于0的常
数）互为“反对方程”．例如：方程2x﹣1＝0与方程x﹣2＝0互为“反对方程”．
（1）若方程5x﹣6＝0与方程6x﹣c＝0互为“反对方程”，则c＝ ；
（2）写出3x+5＝0的“反对方程”： ；
（3）若关于x的方程﹣4x+m+1＝0与方程5x﹣3n﹣2＝0互为“反对方程”，求m，n的值．
30．已知关于x的一元一次方程ax+b＝0（其中a≠0，a、b为常数），若这个方程的解恰好为 x＝a﹣b，
则称这个方程为“恰解方程”，例如：方程 2x+4＝0的解为x＝﹣2，恰好为x＝2﹣4，则方程2x+4＝0
为“恰解方程”．
（1）已知关于x的一元一次方程3x+k＝0是“恰解方程”，则k的值为 ；
（2）已知关于x的一元一次方程﹣2x＝mn+n是“恰解方程”，且解为x＝n（n≠0）．求m，n的值；
（3）已知关于x的一元一次方程3x＝mn+n是“恰解方程”．求代数式3（mn+2m2﹣n）﹣（6m2+mn）
+5n的值．
731．（2023秋•雨花区校级月考）如果两个方程的解相差a，a为正整数，则称解较大的方程为另一个方
程的“a﹣稻香方程”，例如：方程x﹣2＝0是方程x+3＝0的“5﹣稻香方程”．
（1）若方程2x＝5x﹣12是方程3（x﹣1）＝x+1的“a﹣稻香方程”，则a＝ ；
x−2m
（2）若关于x的方程x− =n﹣1是关于x的方程2（x﹣2mn）﹣m＝3n﹣3的“m﹣稻香方程”（m
3
＞0），求n的值；
（3）当a≠0时，如果关于x方程ax+b＝1是方程ax+c﹣1＝0的“3﹣稻香方程”，求代数式6x+2b﹣2
（c+3）的值．
32．（2023秋•于都县期末）我们规定关于x的一元一次方程ax＝b的解为x＝b﹣a，则称该方程是“差
解方程”，例如：3x＝4.5的解为x＝4.5﹣3＝1.5，则该方程3x＝4.5就是“差解方程”，请根据上述规
定解答下列问题：
【定义理解】
（1）判断：方程2x＝4 差解方程；（填“是”或“不是”）
（2）若关于x的一元一次方程4x＝m是“差解方程”，求m的值；
【知识应用】
（3）已知关于x的一元一次方程4x＝ab+a是“差解方程”，则3（ab+a）＝ ．
（4）已知关于x的一元一次方程4x＝mn+m和﹣2x＝mn+m都是“差解方程”，求代数式3（mn+m）﹣9
（mn+n）2的值．
833．（2023秋•九龙坡区期末）若关于x的方程ax+b＝0（a≠0）的解与关于y的方程cy+d＝0（c≠0）的
解满足|x﹣y|＝m（m为正数），则称方程 x+b＝0（a≠0）与方程cy+d＝0（c≠0）是“差m方程”．
例如：方程2x﹣3＝1的解是x＝2，方程y﹣α4＝0的解是y＝4，∵|x﹣y|＝|2﹣4|＝2，∴方程2x﹣3＝1与
方程y﹣4＝0是“差2方程”．
（1）请判断方程x﹣2＝3﹣x与方程y+2＝3（y+1）是不是“差3方程”，并说明理由；
3x+ka
（2）若无论k取任何有理数，关于x的方程 −b＝2k﹣1，（a，b为常数）与关于y的方程3y+5
2
＝y﹣1都是“差1方程”，求a+b的值．
34．（2023春•石狮市校级月考）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美
好方程”．例如：方程4x＝8和x+1＝0为“美好方程”．
（1）若关于x的方程3x+m＝0与方程4x﹣2＝x+10是“美好方程”，则m＝ ；
若“美好方程”的两个解的差为5，其中一个解为n，则n＝ ．
x 3x−2 x+m
（2）若关于x的方程 +m=0与方程 = 是“美好方程”，求m的值；
2 5 2
1 1
（3）若关于x的一元一次方程 x+3=2x+k和 x+1=0是“美好方程”，求关于y的一元一
2022 2022
1
次方程 (y+1)+3=2y+k+2的解．
2022
935．（2023秋•鲤城区校级期中）对于整数a，b，定义一种新的运算“ ”：
当a+b为偶数时，规定a b＝2|a+b|+|a﹣b|； ⊙
当a+b为奇数时，规定a⊙b＝2|a+b|﹣|a﹣b|．
（1）当a＝4，b＝﹣2时⊙，求a b的值．
（2）已知x＞y＞0且为整数，（⊙x﹣y） （x+y﹣1）＝5，请用含x的代数式表示y．
（3）已知（a a） a＝180﹣5a，直接⊙写出a的值．
⊙ ⊙
10
