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（北师大版）七年级上册数学《第 5 章 一元一次方程》
专题 一元一次方程中的新定义问题
一、 选择题
1．已知 a、b 为有理数，现规定一种新运算“※”，满足 a※b＝3b﹣ab，若 x※2＝2，则 x 的值为
（ ）
1
A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．
2
【分析】根据定义的新运算可得：3×2﹣2x＝2，然后进行计算即可解答．
【解答】解：∵x※2＝2，
∴3×2﹣2x＝2，
6﹣2x＝2，
﹣2x＝2﹣6，
﹣2x＝﹣4，
x＝2，
故选：C．
【点评】本题考查了解一元一次方程，有理数的混合运算，理解定义的新运算是解题的关键．
2．（2023春•南召县期中）数学小组定义一种新运算“ ”：a b＝a+b+ab﹣1，例如：2 3＝2+3+2×3
﹣1＝10．如果2 x＝5，则x的值是（ ） ⊗ ⊗ ⊗
⊗ 4
A．﹣1 B．1 C． D．2
3
【分析】由定义可得2+x+2x﹣1＝5，解出x即可．
【解答】解：∵a b＝a+b+ab﹣1，
∴2 x＝2+x+2x﹣⊗1＝5，
∴3⊗x+1＝5，
4
解得x= ，
3
故选：C．
【点评】本题考查一元一次方程的解，理解定义，将所求问题转化为一元一次方程的解是解题的关键．
3．规定一种运算法则：a※b＝a2+2ab，若（﹣3）※2x＝﹣3﹣2x，则x的值为（ ）
16 5 6
A． B． C．− D．﹣1
5 6 5
【分析】根据新运算得出方程，再根据等式的性质求出方程的解即可．
【解答】解：（﹣3）※2x＝﹣3﹣2x，
（﹣3）2+2×（﹣3）×2x＝﹣3﹣2x，
9﹣12x＝﹣3﹣2x，
﹣12x+2x＝﹣3﹣9，
﹣10x＝﹣12，
6
x= ，
5
故选：A．
【点评】本题考查了解一元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键．
4．（2023秋•拱墅区期末）规定新运算“@”：对于任意实数m，n都有 m@n＝mn﹣m+n，例如：2@3＝
2×3﹣2+3．若2@（x﹣1）的运算结果与（x﹣1）@2的运算结果相同，则x的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据运算定义进行列式、求解．
【解答】解：由题意得，
2（x﹣1）﹣2+（x﹣1）＝2（x﹣1）﹣（x﹣1）+2，
解得x＝3，
故选：C．
【点评】此题考查了解一元一次方程的新定义问题的解决能力，关键是能准确根据定义列出方程式并求
解．
5．（2023•淄博开学）用“※”定义一种新运算：对于任意的自然数x和y，满足x※y＝xy+a（x+y）+1
（a为常数）．例如：2※1＝2×1+a（2+1）+1＝3a+3．若3※4的值为20，则a的值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】根据x※y＝xy+a（x+y）+1（a为常数），可以将3※4的值为20转化为一元一次方程，然后求
解即可．
【解答】解：∵x※y＝xy+a（x+y）+1（a为常数），3※4的值为20，
∴3×4+a（3+4）+1＝20，
解得a＝1，
故选：D．
【点评】本题考查新定义、一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
2|a b| |2 3|
6．对于有理数a，b，c，d规定一种新运算： =ad−bc．如 =2×5−3×4=−2，那么当
c d 4 5
|2 x−3 |
=43时，x的值为（ ）
3 4−5x
38 44
A．2 B．﹣2 C．− D．−
13 13
|a b| |2 x−3 |
【分析】根据 =ad−bc， =43，可以列出相应的一元一次方程，然后求解即可．
c d 3 4−5x
|a b| |2 x−3 |
【解答】解：∵ =ad−bc， =43，
c d 3 4−5x
∴2（4﹣5x）﹣3（x﹣3）＝43，
∴8﹣10x﹣3x+9＝43，
∴﹣13x＝26，
∴x＝﹣2，
故选：B．
【点评】本题考查一元一次方程的应用、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义，列出相应
的方程．
7．（2023秋•随县期末）规定一种新运算：a b＝a2﹣2b，若2 [1 （﹣x）]＝6，则x的值为（ ）
A．﹣1 B．1 ⊗C．2 ⊗ ⊗D．﹣2
【分析】首先根据题意，可得：1 （﹣x）＝12﹣2×（﹣x）＝1+2x，所以2 （1+2x）＝6，所以22﹣2
（1+2x）＝6；然后根据解一元一次⊗方程的方法，求出x的值为多少即可． ⊗
【解答】解：∵a b＝a2﹣2b，
∴1 （﹣x）＝12⊗﹣2×（﹣x）＝1+2x，
∵2⊗[1 （﹣x）]＝6，
∴2⊗（⊗1+2x）＝6，
∴2⊗2﹣2（1+2x）＝6，
去括号，可得：4﹣2﹣4x＝6，
移项，可得：﹣4x＝6﹣4+2，
合并同类项，可得：﹣4x＝4，
系数化为1，可得：x＝﹣1．
故选：A．
【点评】此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去
3括号、移项、合并同类项、系数化为1．
{ m−n(m≤n)
8．（2023秋•巴南区期末）若定义一种新运算m♥n = ，例如；1♥2＝1﹣2＝﹣1；4♥3＝
m+n−2(m＞n)
4+3﹣2＝5，
下列说法：
①﹣7♥9＝﹣16；
②若1♥（2x﹣3）＝2，则x＝1或3.5；
③若﹣2♥（﹣1+|x|）＝﹣2，则x＝±1或x＝±3；
x+1 1 x+3 1
④若关于x的方程﹣x＝（﹣m+2x）♥（3m+x）与 − = + （m为常数）有相同的解，则m
2 6 4 12
＝﹣3或1．
其中正确的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】①根据已知条件中的新定义，列出算式进行计算即可判断；
②③均根据已知条件中的新定义，列出方程，解方程即可判断；
④根据新定义和同解方程的定义，先求出已知条件中方程的解，再把 x的值代入根据新定义列出的方
程方程进行解答，然后判断即可．
{ m−n(m≤n)
【解答】解：①∵m♥n = ，﹣7＜9，
m+n−2(m＞n)
∴﹣7♥9＝﹣7﹣9＝﹣16，
故①正确；
{ m−n(m≤n)
②∵m♥n = ，1♥（2x﹣3）＝2，
m+n−2(m＞n)
∴1﹣（2x﹣3）＝2或1+2x﹣3﹣2＝2，
1﹣2x+3＝2或2x﹣4＝2，
2x＝2或2x＝6，
∴x＝1或x＝3，
故②错误；
{ m−n(m≤n)
③∵m♥n = ，﹣2♥（﹣1+|x|）＝﹣2，
m+n−2(m＞n)
4∴﹣2﹣（﹣1+|x|）＝﹣2或﹣2﹣1+|x|﹣2＝﹣2，
﹣2+1﹣|x|＝﹣2或﹣5+|x|＝﹣2，
|x|＝1或|x|＝3，
∴x＝±1或±3（舍去），
故③错误；
{ m−n(m≤n)
∵m♥n = ，﹣x＝（﹣m+2x）♥（3m+x），
m+n−2(m＞n)
∴﹣x＝﹣m+2x﹣3m﹣x或﹣x＝﹣m+2x+3m+x﹣2，
﹣x＝﹣4m+x或﹣x＝2m+3x﹣2，
2x＝4m或4x＝2﹣2m，
1−m
x＝2m或x= ，
2
x+1 1 x+3 1
∵ − = + ，
2 6 4 12
6（x+1）﹣2＝3（x+3）+1，
6x+6﹣2＝3x+9+1，
6x+4＝3x+10，
3x＝6，
x＝2，
1−m
把x＝2分别代入x＝2m或x= 得：
2
m＝1或﹣3，
故④正确，
综上可知：正确的是①④，共2个，
故选：C．
【点评】本题主要考查了解一元一次方程和新定义，解题关键是熟练掌握解一元一次方程的一般步骤和
新定义的含义．
二、 选择题
9．（2024•宛城区校级开学）对于任意自然数a，b，如果有a*b＝ab+a+b，已知x*（3*4）＝119，则x＝
．
【分析】根据新定义运算，列出一元一次方程，然后再根据解一元一次方程的方法求解即可．
5【解答】解：∵a*b＝ab+a+b，
∴3*4＝3×4+3+4＝19，
∴x*19＝19x+x+19＝119，
移项、合并同类项，得20x＝100，
将系数化为1，得x＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了新定义运算，解一元一次方程，掌握新定义运算，解一元一次方程的方法是解题的
关键．
10．（2023秋•耒阳市校级期中）在实数范围内定义一种新运算“ ”，其运算规则为：a b＝2a+b．如：
1 5＝2×1+5＝7．则方程x 4＝0的解是 ． ⊕ ⊕
【⊕分析】根据新定义把x 4⊕＝0转化为一元一次方程求解即可．
【解答】解：∵a b＝2a⊕+b，
∴x 4＝0可化为⊕2x+4＝0，
解得⊕x＝﹣2．
故答案为：x＝﹣2．
【点评】本题考查了新定义，解一元一次方程，根据新定义把x 4＝0化为2x+4＝0求解是解答本题的
关键． ⊕
1 1
11．（2023秋•印江县期末）规定一种运算“*”：a∗b= a− b，则方程1*x＝x*2的解为 ．
4 3
【分析】先根据新运算得出关于x的一元一次方程，再解方程即可．
【解答】解：由题意可得：
1 1 1 1
×1− x= x− ×2，
4 3 4 3
1 1 1 2
x+ x= + ，
3 4 4 3
4x+3x＝3+8，
7x＝11，
11
x= ．
7
11
故答案为：x= ．
7
【点评】本题考查了解一元一次方程，掌握新定义得出方程是解此题的关键．
12．（2023秋•长丰县期末）若有a，b两个数满足关系式：a+b＝ab﹣1，则称a，b为“共生数对”，记
6作（a，b）．例如：当2，3满足2+3＝2×3﹣1时，则（2，3）是“共生数对”．若（﹣x，4）是“共
生数对”，则x＝ ．
【分析】根据已知条件中的新定义，列出关于x的方程，解方程即可．
【解答】解：∵（﹣x，4）是“共生数对”，
∴﹣x+4＝﹣4x﹣1，
﹣x+4x＝﹣1﹣4
3x＝﹣5，
5
x=− ，
3
5
故答案为：− ．
3
【点评】本题主要考查了解一元一次方程，解题关键是熟练掌握解一元一次方程和新定义的含义．
13．（2023秋•汾阳市期末）现定义一种新运算，对于任意有理数 a，b，c，d满足
(a b)=
ad﹣bc，若对
c d
于含未知数x的式子满足
( 3 2 )=−11，则x＝
．
x−1 −2x+1
【分析】根据新运算的运算法则可得3（﹣2x+1）﹣2（x﹣1）＝﹣11，然后根据解一元一次方程的方法，
求出x的值即可．
【解答】解：由题意可得，
( 3 2 )=3（﹣2x+1）﹣2（x﹣1）＝﹣11，
x−1 −2x+1
去括号得，﹣6x+3﹣2x+2＝﹣11，
移项、合并同类项得，﹣8x＝﹣16，
化系数为1得，x＝2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查解一元一次方程，能根据已知新运算的运算法则列出方程是解题关键．
14．（2024•灞桥区校级一模）用“△”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a△b＝a2b+a﹣b，
如：1△3＝12×3+1﹣3＝1，若2△x＝x+6（其中x为有理数），则x的值为 ．
【分析】先根据已知条件中的新定义，列出关于x的一元一次方程，解方程求出x即可．
【解答】解：∵a△b＝a2b+a﹣b，
∴2△x＝x+6，
22x+2﹣x＝x+6，
74x﹣x﹣x＝6﹣2，
2x＝4，
x＝2，
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了解一元一次方程和新定义，解题关键是熟练掌握解一元一次方程的一般步骤．
{a+2b(a≤b)
15．（2023春•祁东县校级期中）定义一种新运算：a☆b = ，例如：（﹣2）☆1＝﹣2+2×1
a−2b(a＞b)
＝0，3☆（﹣1）＝3﹣2×（﹣1）＝5．若（﹣2）☆b＝16，则b的值是 ．
【分析】根据新定义的运算，分b≥﹣2和b＜﹣2两种情况进行求解即可．
【解答】解：当b≥﹣2时，（﹣2）☆b＝﹣2+2b＝16，
解得b＝9；
当b＜﹣2时，（﹣2）☆b＝﹣2﹣2b＝16，
解得b＝﹣9，
∴b的值为±9．
故答案为：±9．
【点评】本题考查解一元一次方程、有理数的混合运算，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解
决问题．
16．（2023秋•西城区校级期中）对于任意四个有理数 a，b，c，d可以组成两个有理数对（a，b）与
（c，d），我们规定（a，b）★（c，d）＝ad﹣bc．例如：（1，2）★（3，4）＝1×4﹣2×3＝﹣2．
（1）有理数（﹣3，2）★（﹣2，3）＝ ；
（2）当满足等式（2x﹣1，﹣3）★（x+k，k）＝5+2k的x是正整数时，整数k的值是 ．
【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值；
（2）原式利用题中的新定义计算，求出整数k的值即可．
【解答】解：（1）（﹣3，2）★（﹣2，3）＝﹣3×3﹣2×（﹣2）＝﹣9+4＝﹣5；
故答案为：﹣5；
（2）∵（2x﹣1，﹣3）★（x+k，k）＝5+2k，
∴k（2x﹣1）+3（x+k）＝5+2k，
2kx﹣k+3x+3k＝5+2k，
（2k+3）x＝5，
5
∴x= ，
2k+3
8∵x是正整数，
∴2k+3＝1或5，
∴k＝±1．
故答案为：±1．
【点评】此题考查了新定义，解一元一次方程和有理数的计算，能正确利用新定义列等式是本题的关键．
三、 解答题
17．（2024•仓山区校级开学）A、B表示两个数，A*B＝（A+2B）×B，如5*4＝（5+2×4）×4＝52．
（1）则1*（2*1）＝ ．
（2）如果x*（2*1）＝64，求x的值．
【分析】（1）根据新定义运算解答即可；
（2）先根据新定义运算计算，然后再根据解一元一次方程的方法求解即可．
【解答】解：（1）由题意，得2*1＝（2+2×1）×1＝4，
∴1*4＝（1+2×4）×4
＝9×4
＝36，
∴1*（2*1）＝36．
故答案为：36；
（2）由（1）得2*1＝（2+2×1）×1＝4，
∴x*（2*1）＝x*4＝（x+2×4）×4＝64，
即4（x+8）＝64，
∴x+8＝16，
移项．合并同类项，得x＝8．
【点评】本题考查了新定义运算，解一元一次方程，掌握新定义运算，解一元一次方程的方法是解题的
关键．
18．（2023秋•新宾县期末）用“*”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a*b＝ab2+2ab﹣b．如：
1*3＝1×32+2×1×3﹣3＝12．
（1）求（﹣2）*4的值；
（2）若（x﹣1）*3＝12，求x的值．
【分析】（1）按规定的运算程序运算求值即可；
（2）根据新运算，先把方程转化为一元一次方程，再求x的值．
9【解答】解：（1）（﹣2）*4
＝﹣2×42+2×（﹣2）×4﹣4
＝﹣32﹣16﹣4
＝﹣52；
（2）由题可知，（x﹣1）*3＝12，
则（x﹣1）×32+2（x﹣1）×3﹣3＝12，
整理得：15x＝30，
解得：x＝2．
【点评】本题考查了新定义运算及解一元一次方程，掌握新定义运算的运算过程是解决本题的关键．
19．用“△”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a△b＝ab2+2ab+b，如：1△3＝1×32+2×1×3+3
＝18．
（1）求（﹣2）△3的值；
（2）若x△（﹣3）＝2x+2，求x的值．
【分析】（1）原式利用题中的新定义化简，计算即可得到结果；
（2）已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出x的值．
【解答】解：（1）根据题中的新定义得：
（﹣2）△3
＝（﹣2）×32+2×（﹣2）×3+3
＝﹣18+（﹣12）+3
＝﹣27；
（2）由题意，得x×（﹣3）2+2×x×（﹣3）+（﹣3）＝2x+2，
整理，得：9x﹣6x﹣3＝2x+2，
解得：x＝5．
【点评】此题考查了解一元一次方程，以及有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
20．（2023秋•龙马潭区月考）十八世纪最杰出的瑞士数学家欧拉，最先把关于 x的多项式用符号“f
（x）”表示，如果f（x）＝﹣2x﹣5．例：当x＝0时，f（0）＝﹣2×0﹣5＝﹣5．
（1）当x＝﹣2时，求f（x）的值．
（2）当|f（x）|＝3时，求x的值．
【分析】（1）根据题意代入求值即可；
（2）根据题意列出方程，解方程即可．
【解答】解：（1）当x＝﹣2时，
10f（﹣2）＝﹣2×（﹣2）﹣5
＝4﹣5
＝﹣1．
（2）当|f（x）|＝3时，即f（x）＝±3，
当f（x）＝3时有：
﹣2x﹣5＝3，
x＝﹣4；
当f（x）＝﹣3时有：
﹣2x﹣5＝﹣3，
x＝﹣1，
∴当|f（x）|＝3时，x的值为﹣4或﹣1．
【点评】此题考查了新定义运算，代数式求值，一元一次方程的解法，熟练掌握代数式的求值和解一元
一次方程是解题的关键．
21．（2023秋•万年县校级月考）定义一种新运算“ ”：a b＝ab﹣a+b．例如：3 1＝3×1﹣3+1＝1，
（2a） 2＝（2a）•2﹣2a+2＝2a+2． ⊕ ⊕ ⊕
（1）计⊕算4 （﹣2）的值；
（2）已知（⊕2m） 3＝2 m，求m的值．
【分析】（1）根据⊕题目所⊕给的新定义进行求解即可；（2）根据题目所给的新定义建立方程6m﹣2m+3
＝2m﹣2+m，解方程即可得到答案．
【解答】解：（1）由题意得：4 （﹣2）＝4×（﹣2）﹣4+（﹣2）＝﹣14；
（2）∵（2m） 3＝2 m， ⊕
∴6m﹣2m+3＝2⊕m﹣2+⊕m，
解得m＝﹣5．
【点评】本题主要考查了解一元一次方程，有理数的四则混合计算，正确理解题意是解题的关键．
22．定义一种新运算“※”，其规则为x※y＝xy﹣x+y．例如6※5＝6×5﹣6+5＝29．再如：（2a）※3＝
（2a）×3﹣2a+3．
（1）计算5※6值为 ．
（2）若（2m）※3＝2※m，求m的值．
（3）有理数的加法和乘法运算都满足交换律，即a+b＝b+a，ab＝ba，“※”运算是否满足交换律？若满
足，请说明理由；若不满足，请举例说明．
【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值；
11（2）已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出m的值；
（3）“※”不满足交换律，举例即可．
【解答】解：（1）根据题中的新定义得：
原式＝5×6﹣5+6
＝30﹣5+6
＝31；
故答案为：31；
（2）根据题中的新定义化简得：
6m﹣2m+3＝2m﹣2+m，
解得：m＝﹣5；
（3）“※”运算不满足交换律，
例如：2※3＝6﹣2+3＝7，3※2＝6﹣3+2＝5，即2※3≠3※2．
【点评】此题考查了解一元一次方程，以及有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
23．对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对（a，b）与
（c，d）．我们规定：（a，b）★（c，d）＝bc﹣ad．
例如：（1，2）★（3，4）＝2×3﹣1×4＝2．
根据上述规定解决下列问题：
（1）有理数对（3，﹣2）★（1，﹣2）＝ ．
（2）若有理数对（2，2x+1）★（1，2x﹣1）＝7，求x的值．
【分析】（1）根据规定直接计算求值；
（2）根据规定计算得方程，求解即可．
【解答】解：（1）（3，﹣2）★（1，﹣2）
＝（﹣2）×1﹣3×（﹣2）
＝﹣2+6
＝4；
故答案为：4；
（2）由题意，得（2x+1）×1﹣2（2x﹣1）＝7，
2x+1﹣4x+2＝7
﹣2x＝4．
x＝﹣2．
【点评】本题考查了解一元一次方程及有理数的混合运算，掌握一元一次方程的解法和有理数的混合运
12算是解决本题的关键．
24．（2023秋•库车市校级期末）规定的一种新运算“*”：a*b＝a2+2ab，例如：3*2＝32+2×3×2＝21．
（1）试求2*（﹣1）的值；
（2）若（﹣3）*x＝3，求x的值；
（3）若（﹣5）*x等于﹣5x+5，求x的值．
【分析】（1）根据新运算列式计算；
（2）根据新运算列出方程，解出一元一次方程；
（3）根据新运算列出方程，解出一元一次方程．
【解答】解：（1）2*（﹣1）
＝22+2×2×（﹣1）
＝4﹣4
＝0；
（2）（﹣3）*x＝3，
（﹣3）2+2×（﹣3）x＝3，
9﹣6x＝3，
﹣6x＝3﹣9，
﹣6x＝﹣6，
x＝1；
（3）（﹣5）*x＝﹣5x+5，
（﹣5）2+2×（﹣5）x＝﹣5x+5，
25﹣10x＝﹣5x+5，
﹣10x+5x＝5﹣25，
﹣5x＝﹣20，
x＝4．
【点评】本题主要考查了解一元一次方程、有理数混合运算，掌握有理数混合运算顺序及解一元一次方
程步骤，理解题意列出算式或方程是解题关键．
|a b| |a b|
25．（2023秋•东海县月考）形如 的式子叫做二阶行列式，它的运算法则用公式表示为 = ad﹣
c d c d
|5 1|
bc．例如： = 5×2﹣1×3＝7．
3 2
13|−5 2|
（1）计算 的值；
−4 3
|2 x−1|
（2）已知 = 6，求x的值．
1 3
【分析】（1）根据已知条件中的新定义，列出算式进行计算即可；
（2）根据已知条件和新定义，列出关于x的方程，解方程即可．
|a b|
【解答】解：（1）∵ = ad﹣bc，
c d
|−5 2|
∴
−4 3
＝﹣5×3﹣2×（﹣4）
＝﹣15+8
＝﹣7；
|a b|
（2）∵ = ad﹣bc，
c d
|2 x−1|
∴ = 6，
1 3
2×3﹣（x﹣1）＝6，
6﹣x+1＝6，
﹣x+7＝6，
﹣x＝﹣1，
x＝1．
【点评】本题主要考查了有理数的混合运算和解一元一次方程，解题关键是熟练掌握有理数混合运算法
则、新定义的含义和解一元一次方程的一般步骤．
26．（2023春•朝阳区校级期末）新定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，就称这两个方程为
“友好方程”，如：方程2x＝6和3x+9＝0为“友好方程”．
（1）若关于x的方程3x+m＝0与方程2x﹣6＝4是“友好方程”，求m的值．
（2）若某“友好方程”的两个解的差为6，其中一个解为n，求n的值．
【分析】（1）求得方程2x﹣6＝4解为x＝5，利用“友好方程”的定义得到方程3x+m＝0的解，利用方
程解的定义解答即可；
（2）利用“友好方程”的定义得到方程的另一个解为﹣n，再利用定义列出关于n的等式解答即可．
【解答】解：（1）方程2x﹣6＝4解为x＝5，
∵关于x的方程3x+m＝0与方程2x﹣6＝4是“友好方程”，
14∴关于x的方程3x+m＝0的解为x＝﹣5，
∴3×（﹣5）+m＝0，
∴m＝15；
（2）∵某“友好方程”的一个解为n，
∴“友好方程”的另一个解为﹣n，
∴n﹣（﹣n）＝6或﹣n﹣n＝6，
∴n＝3或n＝﹣3．
∴n＝±3．
【点评】本题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，本题是阅读型题目，理解新定义并熟练
应用新定义解答是解题的关键．
27．现定义一种新运算“ ”，规则如下：a b＝ab+2a．如2 3＝2×3+2×2＝10，且在运算过程中，有括
号的要先算括号里面的⊕．请解答下列问题：⊕ ⊕
（1）求3 （﹣1）的值；
⊕ 1
（2）求（﹣2） [（﹣4） ]的值；
2
⊕ ⊕
（3）现改变上述运算规则：当a≥b时，a b＝ab+2a，当a＜b时，a b＝ab﹣2a．若4 x＝30，求x
的值． ⊕ ⊕ ⊕
【分析】（1）根据a b＝ab+2a，进行计算即可解答；
（2）根据a b＝ab+⊕2a，进行计算即可解答；
（3）分两种⊕情况，当4≥x时，当4＜x时．
【解答】解：（1）3 （﹣1）
＝3×（﹣1）+2×3 ⊕
＝﹣3+6
＝3；
1
（2）（﹣2） [（﹣4） ]
2
⊕ ⊕
1
＝（﹣2） [（﹣4）× +2×（﹣4）]
2
⊕
＝（﹣2） （﹣10）
＝﹣2×（﹣⊕10）+2×（﹣2）
＝20﹣4
＝16；
15（3）分两种情况：
当4≥x时，4 x＝30，
4x+2×4＝30，⊕
4x＝22，
11
x= （舍去），
2
当4＜x时，4 x＝30，
4x﹣2×4＝30，⊕
4x＝38，
19
x= ，
2
19
综上所述：x的值为： ．
2
【点评】本题考查了解一元一次方程，有理数的混合运算，理解材料中定义的新运算是解题的关键．
28．（2024春•淅川县月考）我们规定，若关于 x的一元一次方程ax＝b的解为x＝b﹣a，则称该方程为
“奇异方程”．例如：2x＝4的解为x＝2＝4﹣2，则该方程2x＝4是“奇异方程”．请根据上述规定解
答下列问题：
（1）判断方程5x＝﹣8 （回答“是”或“不是”）“奇异方程”；
（2）若a＝3，有符合要求的“奇异方程”吗？若有，求b的值；若没有，请说明理由．
（3）若关于x的一元一次方程2x＝mn+m和﹣2x＝mn+n都是“奇异方程”，求代数式m﹣n的值．
【分析】（1）解方程，并计算对应b﹣a的值与方程的解不相等，所以不是奇异方程；
（2）根据奇异方程的定义即可得出关于b的方程，解方程即可；
（3）根据奇异方程的概念列式得到关于m、n的两个方程，联立求解得到m、n的关系．
【解答】解：（1）∵5x＝﹣8，
8
∴x=− ，
5
∵﹣8﹣5＝﹣13，
8
− ≠−13，
5
∴5x＝﹣8不是奇异方程；
故答案为：不是；
（2）有，理由如下：
∵a＝3，
16∴x＝b﹣3，
b
∴b﹣3= ，
3
9
∴b= ，
2
9
即b= 时有符合要求的“奇异方程”；
2
4
（3）且由题可知：mn+m＝4，mn+n=− ，
3
16
两式相减得，m﹣n= ．
3
【点评】本题考查了一元一次方程的解，读懂题意，理解奇异方程的概念并根据概念列出方程是解题的
关键．
29．（2023秋•梁园区校级月考）定义：关于x的方程ax﹣b＝0与方程bx﹣a＝0（a，b均为不等于0的常
数）互为“反对方程”．例如：方程2x﹣1＝0与方程x﹣2＝0互为“反对方程”．
（1）若方程5x﹣6＝0与方程6x﹣c＝0互为“反对方程”，则c＝ ；
（2）写出3x+5＝0的“反对方程”： ；
（3）若关于x的方程﹣4x+m+1＝0与方程5x﹣3n﹣2＝0互为“反对方程”，求m，n的值．
【分析】（1）根据“反对方程”的定义，求解即可；
（2）把3x+5＝0化为3x﹣（﹣5）＝0，结合“反对方程”的定义，求解即可；
{−m−1=5
（3）根据“反对方程”的定义，得到 ，再求解即可；
3n+2=−4
【解答】解：（1）∵方程5x﹣6＝0与方程6x﹣c＝0互为“反对方程”，
∴c＝5．
故答案为：5；
（2）∵3x+5＝0，
∴3x﹣（﹣5）＝0，
∴3x+5＝0的“反对方程”为﹣5x﹣3＝0．
故答案为：﹣5x﹣3＝0；
（3）将﹣4x+m+1＝0写成﹣4x﹣（﹣m﹣1）＝0的形式，
将5x﹣3n﹣2＝0写成5x﹣（3n+2）＝0的形式，
∵﹣4x﹣（﹣m﹣1）＝0与方程5x﹣（3n+2）＝0互为“反对方程”，
17{−m−1=5
∴ ，
3n+2=−4
{m=−6
解得： ，
n=−2
∴m，n的值分别是﹣6，﹣2；
【点评】本题考查了解一元一次方程，新定义运算，掌握“反对方程”的定义，解一元一次方程的方法
是解题的关键．
30．已知关于x的一元一次方程ax+b＝0（其中a≠0，a、b为常数），若这个方程的解恰好为x＝a﹣b，
则称这个方程为“恰解方程”，例如：方程2x+4＝0的解为x＝﹣2，恰好为x＝2﹣4，则方程2x+4＝0
为“恰解方程”．
（1）已知关于x的一元一次方程3x+k＝0是“恰解方程”，则k的值为 ；
（2）已知关于x的一元一次方程﹣2x＝mn+n是“恰解方程”，且解为x＝n（n≠0）．求m，n的值；
（3）已知关于x的一元一次方程3x＝mn+n是“恰解方程”．求代数式3（mn+2m2﹣n）﹣（6m2+mn）
+5n的值．
【分析】（1）利用“恰解方程”的定义，得出关于k的一元一次方程，解方程即可得出k的值；
（2）将x＝n代入方程可得﹣2n＝mn+n，由﹣2x＝mn+n是“恰解方程”得出x＝﹣2+mn+n，再结合x
＝n，即可求出m，n的值；
9
（3）根据“恰解方程”的定义得出mn+n=− ，把3（mn+2m2﹣n）﹣（6m2+mn）+5n化简后代入计算
2
即可．
【解答】解：（1）解方程3x+k＝0得：
k
x=− ，
3
∵3x+k＝0是“恰解方程”，
∴x＝3﹣k，
k
∴− = 3﹣k，
3
9
解得：k= ，
2
9
故答案为： ；
2
（2）∵﹣2x＝mn+n是“恰解方程”，
∴x＝﹣2+mn+n，
18∴n＝2+mn+n，
∴mn＝2，
∵x＝n，
∴﹣2n＝mn+n，
2
解得：n=− ，
3
2
把n=− 代入mn＝2，
3
解得：m＝﹣3；
（3）解方程3x＝mn+n得：
mn+n
x= ，
3
∵方程3x＝mn+n是“恰解方程”，
∴x＝3+mn+n，
mn+n
∴ = 3+mn+n，
3
9
∴mn+n=− ，
2
∴3（mn+2m2﹣n）﹣（6m2+mn）+5n
＝3mn+6m2﹣3n﹣6m2﹣mn+5n
＝2mn+2n
＝2（mn+n）
9
＝2×（− ）
2
＝﹣9．
【点评】本题考查了一元一次方程的解，理解“恰解方程”的定义是解题的关键．
31．（2023秋•雨花区校级月考）如果两个方程的解相差a，a为正整数，则称解较大的方程为另一个方
程的“a﹣稻香方程”，例如：方程x﹣2＝0是方程x+3＝0的“5﹣稻香方程”．
（1）若方程2x＝5x﹣12是方程3（x﹣1）＝x+1的“a﹣稻香方程”，则a＝ ；
x−2m
（2）若关于x的方程x− =n﹣1是关于x的方程2（x﹣2mn）﹣m＝3n﹣3的“m﹣稻香方程”（m
3
＞0），求n的值；
19（3）当a≠0时，如果关于x方程ax+b＝1是方程ax+c﹣1＝0的“3﹣稻香方程”，求代数式6x+2b﹣2
（c+3）的值．
【分析】（1）先分别解方程2x＝5x﹣12、3（x﹣1）＝x+1，再根据“a﹣稻香方程”的定义即可求解；
x−2m
（2）解关于x方程x− =n﹣1，再根据“m﹣稻香方程”的定义进行计算可以得解；
3
（3）依据题意，先解方程ax+b＝1和ax+c﹣1＝0，再根据“3﹣稻香方程”的定义，求出x，b，c，即可
求解．
【解答】（1）解：2x＝5x﹣12，
∴﹣3x＝﹣12．
∴x＝4．
又3（x﹣1）＝x+1，
∴x＝2．
∵方程2x＝5x﹣12是方程3（x﹣1）＝x+1的“a﹣稻香方程”，
∴a＝4﹣2＝2．
故答案为：2．
x−2m 3n−3−2m
（2）解：解关于x方程x− =n﹣1，得x= ，
3 2
4mn+m+3n−3
解关于x的方程2（x﹣2mn）﹣m＝3n﹣3，得x= ，
2
x−2m
关于x的方程x− =n﹣1是关于x的方程2（x﹣2mn）﹣m＝3n﹣3的“m﹣稻香方程”（m＞0），
3
3n−3−2m 4mn+m+3n−3
∴ − = m．
2 2
整理得﹣4mn＝5m，
又m＞0，
∴﹣4n＝5．
5
∴n=− ．
4
（3）解：∵a≠0，
1−b 1−c
∴关于x方程ax+b＝1的解是x= ，关于x方程ax+c﹣1＝0的解是x= ，
a a
∵关于x方程ax+b＝1是方程ax+c﹣1＝0的“3﹣稻香方程”，
201−b 1−c
∴ − = 3．
a a
∴3a+b＝c．
∴6a+2b﹣2（c+3）＝2（3a+b）﹣2c﹣6＝2c﹣2c﹣6＝﹣6．
【点评】本题为新定义问题，考查了一元一次方程的解法，理解新定义，熟练解一元一次方程是解题关
键．
32．（2023秋•于都县期末）我们规定关于x的一元一次方程ax＝b的解为x＝b﹣a，则称该方程是“差
解方程”，例如：3x＝4.5的解为x＝4.5﹣3＝1.5，则该方程3x＝4.5就是“差解方程”，请根据上述规
定解答下列问题：
【定义理解】
（1）判断：方程2x＝4 差解方程；（填“是”或“不是”）
（2）若关于x的一元一次方程4x＝m是“差解方程”，求m的值；
【知识应用】
（3）已知关于x的一元一次方程4x＝ab+a是“差解方程”，则3（ab+a）＝ ．
（4）已知关于x的一元一次方程4x＝mn+m和﹣2x＝mn+m都是“差解方程”，求代数式3（mn+m）﹣9
（mn+n）2的值．
【分析】（1）根据差解方程的定义判断即可；
（2）根据差解方程的定义即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论；
（3）根据差解方程的定义即可得出关于a、b的二元二次方程，整理即可得出；
（4）根据差解方程的概念列式得到关于m、n的两个方程，联立求解得到m、n的关系，得出3（mn+m）
＝16，9（mn+n）2＝16，然后代入代数式进行计算即可求解．
【解答】解：（1）∵方程2x＝4的解为x＝2＝4﹣2，
∴方程2x＝4是差解方程．
故答案为：是；
m
（2）由题意可知x＝m﹣4，由一元一次方程可知x= ，
4
m
∴m−4= ，
4
16
解得m= ；
3
（3）∵方程4x＝ab+a是“差解方程”，
∴x＝ab+a﹣4，
21ab+a
解方程4x＝ab+a，得x= ，
4
ab+a
∴ab+a−4= ，
4
∴3ab+3a＝16，即3（ab+a）＝16．
故答案为：16；
（4）∵一元一次方程4x＝mn+m是“差解方程”，
∴x＝mn+m﹣4，
mn+m
解方程一元一次方程4x＝mn+m得x=
4
mn+m
∴mn+m−4= ，
4
整理得3（mn+m）＝16，
∵一元一次方程﹣2x＝mm+m是“差解方程”，
∴x＝mn+m+2，
mn+m
解方程一元一次方程﹣2x＝mm+m得x=−
2
mn+m
∴mn+m+2=− ，
2
整理得9（mn+n）2＝16，
∴3（mn+m）﹣9（mm+n）2
＝16﹣16
＝0．
【点评】本题考查了一元一次方程的解，解题的关键是读懂题意，理解差解方程的概念并根据概念列出
方程．
33．（2023秋•九龙坡区期末）若关于x的方程ax+b＝0（a≠0）的解与关于y的方程cy+d＝0（c≠0）的
解满足|x﹣y|＝m（m为正数），则称方程 x+b＝0（a≠0）与方程cy+d＝0（c≠0）是“差m方程”．
例如：方程2x﹣3＝1的解是x＝2，方程y﹣α4＝0的解是y＝4，∵|x﹣y|＝|2﹣4|＝2，∴方程2x﹣3＝1与
方程y﹣4＝0是“差2方程”．
（1）请判断方程x﹣2＝3﹣x与方程y+2＝3（y+1）是不是“差3方程”，并说明理由；
3x+ka
（2）若无论k取任何有理数，关于x的方程 −b＝2k﹣1，（a，b为常数）与关于y的方程3y+5
2
＝y﹣1都是“差1方程”，求a+b的值．
225 1
【分析】（1）分别求出x﹣2＝3﹣x的解为x= ，y+2＝3（y+1）的解为y=− ，再由定义判断即可；
2 2
（2）根据可得|x+3|＝1，求出x＝﹣2或x＝﹣4，当x＝0时（a﹣4）k＝2b+4，根据题意求出a＝4，b＝
﹣2，则a+b＝2；当x＝﹣4时，（a﹣4）k＝10+2b，根据题意求出a＝4，b＝﹣5，则a+b＝﹣1．
5
【解答】解：（1）x﹣2＝3﹣x的解为x= ，
2
1
y+2＝3（y+1）的解为y=− ，
2
5 1
∵| −（− ）|＝3，
2 2
∴方程x﹣2＝3﹣x与方程y+2＝3（y+1）是“差3方程”；
（2）3y+5＝y﹣1的解为y＝﹣3，
3x+ka
∵关于x的方程 −b＝2k﹣1，（a，b为常数）与关于y的方程3y+5＝y﹣1都是“差1方程”，
2
∴|x+3|＝1，
解得x＝﹣2或x＝﹣4，
ka
当x＝﹣2时，﹣3+ −b＝2k﹣1，
2
∴（a﹣4）k＝4+2b，
∵k取任何有理数，
∴a＝4，b＝﹣2，
∴a+b＝2；
ka
当x＝﹣4时，﹣6+ −b＝2k﹣1，
2
∴（a﹣4）k＝10+2b，
∵k取任何有理数，
∴a＝4，b＝﹣5，
∴a+b＝﹣1；
综上所述：a+b＝2或a+b＝﹣1．
【点评】本题考查解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法，绝对值的运算，弄清定义是解题的
关键．
34．（2023春•石狮市校级月考）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美
好方程”．例如：方程4x＝8和x+1＝0为“美好方程”．
23（1）若关于x的方程3x+m＝0与方程4x﹣2＝x+10是“美好方程”，则m＝ ；
若“美好方程”的两个解的差为5，其中一个解为n，则n＝ ．
x 3x−2 x+m
（2）若关于x的方程 +m=0与方程 = 是“美好方程”，求m的值；
2 5 2
1 1
（3）若关于x的一元一次方程 x+3=2x+k和 x+1=0是“美好方程”，求关于y的一元一
2022 2022
1
次方程 (y+1)+3=2y+k+2的解．
2022
【分析】（1）分别求得两个方程的解，利用“美好方程”的定义列出关于 m的方程和n的方程解答即
可；
（2）分别求得两个方程的解，利用“美好方程”的定义列出关于m的方程解答即可；
1 1
（3）求得方程 x+1=0的解，利用“美好方程”的定义得到方程 x+3=2x+k的解，将关于
2022 2022
1
y的方程 (y+1)+3=2y+k+2变形，利用同解方程的定义即可得到y+1的值，从而求得方程的解．
2022
【解答】解：（1）∵方程4x﹣2＝x+10的解为x＝4，
m
方程3x+m＝0的解为x=− ，
3
而方程3x+m＝0与方程4x﹣2＝x+10是互为“美好方程”，
m
∴− +4=1，
3
∴m＝9；
∵“美好方程”的一个解为n，则另一个解为1﹣n，
依题意得1﹣n﹣n＝5或n﹣（1﹣n）＝5，
解得n＝2或n＝3．
故答案为：9；2或3；
x
（2）解：关于x的方程 +m=0的解为x＝﹣2m，
2
3x−2 x+m
方程 = 的解为x＝5m+4，
5 2
x 3x−2 x+m
∵关于x的方程 +m=0与方程 = 是“美好方程”，
2 5 2
∴﹣2m+5m+4＝1，
24∴m＝﹣1；
1
（3）解：方程 x+1=0的解为x＝﹣2022，
2022
1 1
∵关于x的方程 x+3=2x+k和 x+1=0是“美好方程”，
2022 2022
1
∴关于x的方程 x+3=2x+k的解为x＝2023．
2022
1 1
∵关于y的方程 (y+1)+3=2y+k+2就是 (y+1)+3=2(y+1)+k，
2022 2022
∴y+1＝x＝2023，
∴y＝2022．
1
∴关于y的方程 (y+1)+3=2y+k+2的解为：y＝2022．
2022
【点评】本题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，利用同解方程的意义解答是解题的关键，
本题是新定义型，理解并熟练应用新定义解答也是解题的关键．
35．（2023秋•鲤城区校级期中）对于整数a，b，定义一种新的运算“ ”：
当a+b为偶数时，规定a b＝2|a+b|+|a﹣b|； ⊙
当a+b为奇数时，规定a⊙b＝2|a+b|﹣|a﹣b|．
（1）当a＝4，b＝﹣2时⊙，求a b的值．
（2）已知x＞y＞0且为整数，（⊙x﹣y） （x+y﹣1）＝5，请用含x的代数式表示y．
（3）已知（a a） a＝180﹣5a，直接⊙写出a的值．
【分析】（1）⊙先求⊙出2+（﹣4）的结果，判断奇数还是偶数，根据已知条件中的新定义，列出算式进
行计算即可；
（2）先求出x﹣y与+﹣1的和，判断奇数还是偶数，根据已知条件中的新定义，列出算式，然后根据x
＞y＞0且为整数，判断2﹣1和2+1的正负，从而得出x与y的关系式，变形即可用含x的代数式表示
y；
（3）先求出a+a的结果，判断其奇数还是偶数，然后分两种情况讨论：当a为奇数和当a为偶数时，
分别通过新定义，进行计算推导即可．
【解答】解：（1）∵a＝2，b＝﹣4，a+b＝2+（﹣4）＝﹣2，为偶数，
∴a b＝2|a+b|+|a﹣b|
＝2⊙|2+（﹣4）|+|2﹣（﹣4）|
＝2|﹣2|+|6|＝2×2+6
25＝4+6
＝10；
（2）∵（x﹣y）+（x+y﹣1）＝x﹣y+x+y﹣1＝2x﹣1，是奇数，
∴（x﹣y） （x+y﹣1）＝2×|x﹣y+x+y﹣1|﹣|x﹣y﹣（x+y﹣1）|＝5，
∴2×|2x﹣1|⊙﹣|﹣2y+1|＝5，即2×|2x﹣1|﹣|2y﹣1|＝5，
∵x＞y＞0且为整数，
∴2x﹣1＞0，2y﹣1＞0，
∴2（2x﹣1）﹣（2y﹣1）＝8，
∴4x﹣2﹣2y+1＝5
∴4x﹣2y＝6，
∴2y＝4x﹣6，
∴y＝2x﹣3；
（3）∵a+a＝2a，为偶数，
∴a a＝2|a+a|+|a﹣a|＝4|a|，是偶数，
分两⊙种情况讨论：
当a为奇数时：
（a a） a＝4|a| a＝2|4|a|+a|﹣|4|a|﹣a|，
①当⊙a为⊙负奇数时⊙，
2|4|a|+a|﹣|4|a|﹣a|＝﹣6a+5a＝﹣a，
∴﹣a＝180﹣5a，
∴4a＝180，
a＝45＞0（舍去）；
②当a为正奇数时，
2|4|a|+a|﹣|4|a|﹣a|＝2×|4a+a|﹣|4a﹣a|＝10a﹣3a＝7a，
∴7a＝180﹣5a，
12a＝180，
a＝15；
当a为偶数时：
（a a） a＝4|a| a＝2|4|a|+a|+|4|a|﹣a|
①当⊙a为⊙负偶数时⊙，
2|4|a|+a|+|4|a|﹣a|＝2|﹣4a+a|+|﹣4a﹣a|＝2|﹣3a|+|﹣5a|＝﹣6a﹣5a＝﹣11a，
26∴﹣11a＝180﹣5a，
﹣6a＝180，
a＝﹣30＜0，
②当a为正偶数时，
2|4|a|+a|+|4|a|﹣a|＝2|4a+a|+|4a﹣a|＝2|5a|+|3a|＝10a+3a＝13a，
∴13a＝180﹣5a，
18a＝180，
a＝10＞0，
综上可知：a的值为15或﹣30或10．
【点评】本题是新定义题型，主要考查了有理数的混合运算，绝对值，解题关键是理解新定义的含义，
熟练掌握分类讨论的解题思想．
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