专题4.1成比例线段+4.2平行线分线段成比例+4.3相似多边形（原卷版）_北师大初中数学_9上-北师大版初中数学_06专项讲练

专题4.1 成比例线段+4.2 平行线分线段成比例+4.3 相似多边形 【学习目标】 1、理解线段的比及成比例线段的区别与联系； 2、掌握比例的基本性质及应用（黄金分割）； 3、掌握平行线分线段成比例的基本事实及推论，并能熟练运用（长度计算）； 4、了解相似多边形和相似比的概念； 5、会根据条件判断两个多边形是否为相似多边形。 【知识梳理】 1．两条线段的比：在使用同一长度单位的情况下，表示两条线段长度的数值的比，叫做这两 条线段的比. 2．成比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等， 如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 3．比例的基本性质：如果 那么ad=bc. （1）a，b，c，d叫做这个比例的项，a，b叫做比例外项，b，c叫做比例内项. （2）若a:b=b:c，则b2=ac（b称为a,c的比例中项） 4．比例的性质：（1）合分比性质：如果 那么 ； （b+d+……+n≠0），那么 （2）等比性质：如果 5.平行线分线段成比例，一般地，有如下基本事实： 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例. 上 上 上 上 左上 左全 = , = , = 下 下 全 全 右上 右全 (1).对应线段成比例可用下面的语言形象表示： 等等. （2）有推论可以得出以下结论： 平行线分线段成比例及其推论的应用主要是来求线段的长度. 6.相似多边形：各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形.它的符号是“∽”，读作“相似于”. 相似比：相似多边形的对应边的比叫做相似比. （1）相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；（2）“全等”是“相似”的 注意： 一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形是全等.（3）相似多边形的定义 既是判定方法，又是它的性质． 7.黄金分割定义：一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC两段,如果 ,那么 线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比. 51 ≈0.618AB (0.618是黄金分割的近似值， 是黄金分割的准确值). 2 注意:一条线段的黄金分割点有两个. 【高频考点精讲】 【高频考点1】比例的性质 例1.（2022·成都市·九年级期中）如果 (其中 ， )，那么下列式子中不正确的是 （ ） A． B． C． D． 2b 3 a 变式1.（2022·炎陵县·九年级期末）已知 = ，则 = ． 3a−b 4 b a c e 2 a+c+e 变式2.（2022•梁溪区期末）若 = = = （b+d+f≠0），则 = ． b d f 3 b+d+f 【高频考点2】成比例线段 例2.（2022·重庆第二外国语学校九年级月考）线段 、 、 、 是成比例线段， 、 、 ，则 的长为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式1．（2022·辽宁·沈阳市九年级月考）下列四组长度的线段中，是成比例线段的是（ ） A．4cm，5cm，6cm，7cm B．3cm，4cm，5cm，8cm C．5cm，15cm，3cm，9cm D．8cm，4cm，1cm，3cm 变式2．（2022·江苏亭湖区·景山中学九年级）已知线段a，b，c，其中c是a和b的比例中项， a＝4，b＝9，则c=（ ） A．4 B．6 C．9 D．36 变式3．（2022·上海市金山初级中学九年级月考）钓鱼岛列岛是我国最早发现、命名，并行使主权的，在一幅比例尺是1：100000的地图上，测得钓鱼岛的东西走向长为3.5厘米，那么它的 东西走向实际长大约为 ___千米． 【高频考点3】黄金分割 例3.（2022·广东·佛山市华英学校九年级月考）如图，若芭蕾舞者抬起的脚尖点C分线段AB近 似于黄金分割（AC＜BC）．已知AB＝160cm，BC的长为 ___cm．（结果保留根号） 变式1．（2022·江苏宜兴·九年级月考）电视节目主持人在主持节目时，站在舞台黄金分割点处 最自然得体，若舞台AB长20m，试计算主持人应走到离A至少多少米处是比较得体的位置?(A 在B左边，主持人在A处) （ ） A．7.64m B．12.3m C．13.4 m D．6m 变式2.（2022·广西八步区·九年级期中）如图所示，已知点C是线段AB的黄金分割点，AC＞ BC，且AB＝2，则AC的长约为（ ） A．1.543 B．1.236 C．1.123 D．1.618 【高频考点4】由平行判定成比例的线段 例4．（2022·江苏宝应·）如图， 中，点 分别在 上且 ，则下列 结论错误的是（ ） A． B． C． D． 变式1．（2022·安徽肥东县·）如图，AB//CD//EF，下列等式成立的是（ ）A．AC·CE=BD·DF B．AC·AE=BD·BF C．AC·DF=CE·BD． D．CD2=AB·EF 变式2．（2022·天津·九年级月考）如图，已知AB//CD// EF，那么下列结论中正确的是（ ） CD AD AB BC AD AF CE AF A．  B．  C．  D．  EF AF CD EC BC BE BE AD 【高频考点5】由平行截线求相关线段的长度或比值 例5．（2022·江苏·扬州九年级月考）如图，直线l 1 //l 2 //l 3 ，直线AC和DF被l 1 ，l 2 ，l 3 所截， 如果AB3，BC5，EF 4，那么DE的长是___________. 变式1．（2022·陕西·九年级期中）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝3，将△ABC的 一角沿着MN折叠，点B'落在AC上，若B'M∥AB，则BM的长度为___． 变式2．（2022·浙江龙游县·）如图，直线l //l //l，直线AC分别交l，l，l 于点A，B，C； 1 2 3 1 2 3 DE 直线DF分别交l，l，l 于点D，E，F．且AB＝3，AC＝8，则 的值为（ ） 1 2 3 EF5 5 3 3 A． B． C． D． 3 8 5 8 【高频考点6】相似图形与相似多边形 例6．（2022·山东市北区·九年级期末）如图，细线平行于正多边形一边，并把它分割成两部分， 则阴影部分多边形与原多边形相似的是（ ） A． B． C． D． 变式1．（2022·重庆九年级课时练习）已知矩形ABCD中，AB4,BC 3，下列四个矩形中与 矩形ABCD相似的是（ ） A． B． C． D． 变式2．（2022·江苏海陵·初三期中）下列四组图形中，一定相似的是（ ） A．矩形与矩形 B．正方形与菱形 C．菱形与菱形 D．正方形与正方形 【高频考点7】相似多边形的性质 例7．（2022·子长县齐家湾中学九年级期末）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，M为AB上一 点，MN∥BC，交CD于N，AD=2，BC=8，当MN=_____时，MN所分的梯形AMND与梯形 MBCN相似 变式1．（2022·山东垦利·初二期末）如果一个矩形的宽与长的比等于黄金数 （约为 0.618），就称这个矩形为黄金矩形．如图，矩形ABCD为黄金矩形，宽AD＝ ，则长AB 为_____．变式2．（2022·江苏如皋·）如图，一块矩形ABCD绸布的长AB=a，宽AD=3，按照图中的方式 将它裁成相同的三面矩形彩旗，如果裁出的每面彩旗与矩形ABCD绸布相似，则a的值等于（ ） A．3 2 B．2 2 C．3 3 D．2 3 【高频考点8】平行线分线段成本比例的综合运用（辅助线） 例8．（2022·江苏南京市·）如图，在△ABC中，点E在BC上，且BE＝3EC．D是AC的中点， AF AE、BD交于点F，则 的值为______． EF 变式1．（2022·山西九年级）如图，在ABC中，ACB90,AC 8,BC 6,AD为边BC上的 中线，BE是ABC的角平分线，AD,BE交于点F．则EF的长为______． 变式2．（2022·浙江·九年级月考）如图，在△ABC中，点D在AC边上，AD：DC=1：2，点E 是BD的中点，连接AE并延长交BC于点F，BC=12，则BF=_________．【能力提升】 一．选择题 1.（2022·浙江温州市·九年级期末）已知 ，则下列结论一定成立的是（ ） A． ， B． C． D． 2．（2022·江苏阜宁县·九年级期末）在比例尺为1:500000的交通地图上，阜宁到盐城的长度约为 11.7cm，则它的实际长度约为（ ） A．0.585 km B．5.85 km C．58.5 km D．585km 3.（2022•岳阳县期中）在同一单位长度下，下列各组中的四条线段成比例的是（ ） A．1、2、20、30 B．1、2、3、4 C．4、2、1、3 D．5、10、10、20 4．（2022·上海）下列命题中，是真命题的有（ ） （1）两条线段长度的比叫做两条线段的比；（2）两个矩形一定是相似形； （3）任意两个相似多边形，它们的对应角相等，对应边也相等； （4）若线段a与b的比是3:5，则a=3，b=5. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（2022·河北初三期中）手工制作课上，小红利用一些花布的边角料，剪裁后装饰手工画，下 面四个图案是她剪裁出的空心不等边三角形，等边三角形，正方形，矩形花边，其中，每个图案 花边的宽度都相等，那么，每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不相似的是( ) A． B． C． D． 6．（2022·山东市南区·）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分 割”，如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），则下列结论中正确的是（ ）AP 51 BP 51 A．AB2＝AP2+BP2 B．BP2＝AP•BA C．  D．  BP 2 AP 2 ab bc ca 7．（2022·山东九年级月考）已知abc≠0，且 ＝ ＝ ＝k，则k的值为（ ） c a b A．2 B．1 C．2或﹣1 D．2或1 8．（2022上海市万里城实验学校九年级月考）在△ABC中，点D、E分别在△ABC的边AB、 AC上，且不与△ABC的顶点重合，下列条件中，不一定能得到DE∥BC的条件是（ ） AE AB DE AE AD AB AD AC A． ＝ B． ＝ C． ＝ D． ＝ DB EC DB EC BC AC AE AC 9．（2022·四川成都市·）已知M，N分别为AB,AC上的两点，且MN //BC,AN :AC 4:5，若 AB10，则AM 的长为（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 AE 1 10．（2022·山东桓台县·八年级期末）在△ABC中，点E在AC上，且  ，F为BE中点， EC 2 BD AF的延长线交BC于D，则 ＝（ ） DC A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．2：3 二．填空题 11．（2022·浙江·温州市九年级月考）若线段a＝4，b＝9，则线段a，b的比例中项为 ____________．12．（2022·陕西·西安九年级月考）若a、b、c满足a:b:c2:3:4，且4a3bc6，则 2a5b3c的值为_________． 13.（2022·陕西·交大附中分校九年级期中）已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP＜PB，若 AB＝2，则BP＝_______________（结果保留根号）． 14．（2022·厦门市第九中学九年级）如图，在菱形ABCD中，E是AC的中点，EF//CB，交 AB于点F，如果EF 1，那么菱形ABCD的周长为__________ 15．（2022·佛山市华英学校）如图，一个矩形广场的长为90m，宽为60m，广场内有两横，两 纵四条小路，且小路内外边缘所围成的两个矩形相似，如果两条横向小路的宽均为1.2m，那么 每条纵向小路的宽为__m． 16．（2022·北京·九年级月考）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，若四边 形EFGH与四边形ABCD相似，则四边形EFGH的面积是 ___． 51 17．（2021·四川德阳市·中考真题）我们把宽与长的比是 的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形 2 给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金 矩形的设计．已知四边形ABCD是黄金矩形，边AB的长度为 51，则该矩形的周长为 __________________． 18．（2022·台州市初三月考）如图，在6×6的菱形网格中，连结两网格线上的点A，B，线段 AB与网格线的交点为M，N，则AM：MN：NB=三．解答题 19．（2022·广东顺德·九年级月考）如图，a//b//c，直线m，n交于点O，且分别与直线a，b， c交于点A，B，C和点D，E，F ，已知OA1，OB2，BC 4，EF 5，求DE的长度． 20．（2022·江苏初三课时练习）已知：平行四边形 ， 是 延长线上一点， 与 、 交于 、 ．求证： ． 21．（2022·浙江·九年级单元测试）如图，在ABC中，DF//AC，DE//BC. BF CE 1求证： FC  EA ；2若 AE4 ， EC 2 ， BC 10 ，求 BF 和 CF 长． 22．（2022·广东九年级课时练习）如图，矩形草坪的长为a米，宽为b米（ab），沿草坪四 周外围有宽为x米的环形小路．（1）草坪的长与宽的比值m________，外围矩形的长与宽的比值n________；（用含有a、 b、x的代数式表示）（2）请比较m与n的大小；（3）图中的两个矩形相似吗？为什么？ AC CB 23．（2021·广东黄埔区·九年级）如图1所示，点C把线段 分成 与 ，若  ， AB AC CB AB AC 则称线段AB被点C黄金分割（goldensection），点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的 比叫做黄金比． （1）根据上述定义求黄金比； （2）在图2中，利用尺规按以下步骤作图，井保留作图痕迹．①作线段AB的垂直平分线，得 线段AB的中点M；②过点B作AB垂线l；③以点B为圆心，以BM 为半径作圆交l于N；④连 接AN、BN ，以N为圆心，以NB为半径作圆交AN于P；⑤以点A为圆心，以AP为半径作圆 交AB于C． （3）证明你按以上步骤作出的C点就是线段AB的黄金分割点． 24．（2021·河北高阳县·九年级）（1）观察下列式子： 2 21 2 22 2 23 2 24  ，  ，  ，  … 3 31 3 32 3 33 3 34 2 发现：对于真分数 ，当分子、分母同时加上同一个大于0的数时，所得分数的值 3 _____________；（选填“变大”“变小”或“不变”） b bc （2）类比猜想：由（1）猜想分式 和 （其中， ， ）的大小关系，并说明理 a ac ab0 c0 由； （3）解决问题：某公司建居民住宅时，要求窗户与卧室地面面积的比值达到15%左右，显示这 个比值越大采光条件越好，如果同时减少相等的窗户面积和地面面积，那么采光条件 ___________；A．变差了 B．变好了 C．没有改变 （4）联想拓展：如图所示，一个长为acm宽为bcm的矩形（ab），四周都增加1cm，所得大 矩形与原来的矩形相似吗？____________（直接填“是”或“否”）